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2023年12月17日发(作者：二类容器多大压力)
因式分解的欧拉公式
在代数式中一定满足的恒等式：
A³+b³+c³−3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
证明： a³+b³+c³−3abc
=[(a+b) ³−3ab(a+b)]+c³−3abc
=[(a+b)+c] ³−3(a+b)c(a+b+c)−3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca−3ab−3bc−3ca)
=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
但是这是恒等式，也就是事实。把右边拆开就能得到左边，中考考到了的话简单推导即可，竞赛直接使用。
推论
若实数a、b、c满足 a³+b³+c³=3abc ，那么一定有 a+b+c=0 或 a=b=c 。
证明：
因为a³+b³+c³=3abc，所以 (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)=0 ，因此 a+b+c=0 或 a²+b²+c²−ab−bc−ca=0 。
当 a²+b²+c²−ab−bc−ca=0 时，一定有
2a²+2b²+2c²−2ab−2bc−2ca=0
∴(a²+b²−2ab)+(b²+c²−2bc)+(c²+a²−2ca)=0
∴(a−b) ²+(b−c) ²+(c−a) ²=0
而 (a−b) ²+(b−c) ²+(c−a) ²≥0+0+0=0 ，且当且仅当 a=b=c 时取到等号，故 a=b=c 。
综上所述， a+b+c=0 或 a=b=c
例题：已知 a−b=3 ，求 a³−b³−9ab
解答： a³−b³−9ab=[a³+(−b) ³+(−3) ³−3a(−3)(−b)]+27
=(a−b−3)(a²+b²+9+ab−3a+3b)+27=27
a²b+b²c+c²a−ab²−bc²−ca² 的因式分解
a²b+b²c+c²a−ab²−bc²−ca²
=a²(b−c)+a(c²−b²)+(b²c−bc²)
=a²(b−c)−a(b+c)(b−c)+bc(b−c)
=(b−c)[(a−b)(a−c)]
=−(a−b)(b−c)(c−a)
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