《函数的概念及其表示》教案完美版

?函数的概念及其表示?教案

第一课时： 1.2.1 函数的概念〔一〕

教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此根底上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间〞的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2 .回忆初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、讲授新课：

1.教学函数模型思想及函数概念：

①给出三个实例：

A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h〔米〕与时间t〔秒〕的变化规律是h130t5t2.

B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.〔见书P16页图〕

C.国际上常用恩格尔系数〔食物支出金额÷总支出金额〕反映一个国家人民生活质量的上下。“八五〞方案以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 〔见书P17页表〕

②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:AB

③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数〔function〕，记作：yf(x),xA.

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域〔domain〕，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域〔range〕.

④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？

一次函数yaxb(a0)、二次函数yax2bxc(a0)的定义域与值域？

⑤练习：f(x)x22x3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求yx22x3,x{1,0,1,2}值域.

2.教学区间及写法：

① 概念：设a、b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a

{x|a≤x

② 符号：“∞〞读“无穷大〞；“－∞〞读“负无穷大〞；“+∞〞读“正无穷大〞

③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

④ 用区间表示：函数y＝x的定义域 ，值域是 。 〔观察法〕

3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

三、稳固练习： 1. 函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)

2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象？

3. 课堂作业：书P21 1、2题.

第二课时： 1.2.1 函数的概念〔二〕

教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间〞的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：值域求法。

教学过程：

一、复习准备：

3x21. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？

xk2. 用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝的定义域与值域.

x二、讲授新课：

1.教学函数定义域：

①出例如1：求以下函数的定义域〔用区间表示〕

xx3 f(x)=2； f(x)=2x9； f(x)=x1－

2xx2学生试求→订正→小结：定义域求法〔分式、根式、组合式〕

②练习：求定义域〔用区间〕→

1x2 f(x)＝

3x4； f(x)＝9x＋x3x4③小结：求定义域步骤：列不等式〔组〕 → 解不等式〔组〕

2.教学函数相同的判别：

①讨论：函数y=x、y=(x)、y=2x3x2、y=4x4、y=x2有何关系？

②练习：判断以下函数f〔x〕与g〔x〕是否表示同一个函数，说明理由？

A. f ( x ) = (x －1)

0；g ( x ) = 1 ; B. f ( x ) = x； g ( x ) =

、x2

x2 C．f ( x ) = x

2；f ( x ) = (x + 1)

2

D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) =

②小结：函数是否相同，看定义域和对应法那么。

3.教学函数值域的求法：

① 例2：求值域〔用区间表示〕：y＝x－2x＋4；y＝25x2；f(x)＝x23x4 ；f(x)＝

x3x3先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个

②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、根本函数法

11三、稳固练习： 1.求以下函数定义域：f(x)1x；f(x)

11/xx42. f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)。 变：f(x)2x1，求f(f(x))

x1 解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；〔换元法〕 解法二：先求f(x)，利用凑配法；

解法三：令x＋1=－1，那么x＝－2,再代入求。〔特殊值法〕

3.f(x)的定义域是[0,1]，那么f(x＋a)的定义域是 。

4.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。

解法〔数形结合法〕：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域

5.课堂作业：书P27 1、2、3题。

第三课时： 1.2.2 函数的表示法〔一〕

2

教学要求：明确函数的三种表示方法〔解析法、列表法、图像法〕，了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：函数的概念？函数的三要素？

2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

1.教学函数的三种表示方法：

① 结合实例说明三种表示法 → 比拟优点

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反响变化趋势。

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值。

具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表。

②出例如1. 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

师生共练→小结：函数“y=f(x)〞有三种含义〔解析表达式、图象、对应值表〕．

③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y〔元〕. 试用三种方法表示此实例中的函数.

④看书P22例4.下表是某班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

甲

98 87 91 92 88 95

乙

90 76 88 75 86 80

丙

68 65 73 72 75 82

班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

提问：分析什么〔成绩的变化、成绩的比拟〕？借助什么进行分析？

小结解答步骤：分别作点→连线→观察→结论

讨论：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？

2．教学分段函数：

①出例如2：写出函数解析式，并画出函数的图像。

邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元。每封x克〔0

〔学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正 〕

②练习：A. 写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。批发x千克应付的钱数〔元〕。

B. 画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像。

③提出: 分段函数的表示法与意义〔一个函数，不同范围的x，对应法那么不同〕→ 生活实例

3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段

2x3,x(,0)三、稳固练习：1.f(x)＝2，求f(0)、f[f(-1)]的值。 2.作业：P27 7,8，9题

2x1,x[0,)第四课时：1.2.2 函数的表示法〔二〕

教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．

教学重点：映射的概念．

教学难点：理解概念。

教学过程：

一、复习准备：

1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，假设将其中的条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞，按照某种法那么可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射〔mapping〕.

二、讲授新课：

1. 教学映射概念：

① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意

A{1,4,9},

B{3,2,1,1,2,3}，对应法那么：开平方；

A{3,2,1,1,2,3}，B{1,4,9}，对应法那么：平方；

231,,}, 对应法那么：求正弦；

222② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射〔mapping〕．记作“f:AB〞

A{30,45,60},

B{1, 关键: A中任意，B中唯一；对应法那么f.

③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？

④ 讨论：映射的一些对应情况？〔一对一；多对一〕 一对多是映射吗？

→ 举例一一映射的实例 〔一对一〕

2.教学例题：

① 出例如1. 探究从集合A到集合B一些对应法那么，哪些是映射，哪些是一一映射？

A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；

A={ P | P是平面直角体系中的点}，

B{(x,y)|xR,yR}； A={高一某班学生}，B= ？

〔 师生探究从A到B对应关系 → 区分是否映射？一一映射？ → 小结：A中任意，B中唯一〕

② 讨论：如果是从B到A呢？

③ 练习：判断以下两个对应是否是集合A到集合B的映射？

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法那么f:x2x1；

AN*,B{0,1}，对应法那么f:xx除以2得的余数；

AN，B{0,1,2}，f:xx被3除所得的余数；

111设X{1,2,3,4},Y{1,,,}f:xx取倒数；

234

A{x|x2,xN},BN，f:x小于x的最大质数

3. 小结：映射概念.

三、稳固练习： 1. 练习：书P26 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题.

第五课时 1.2 函数及其表示 〔练习课〕

教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．

教学难点：函数记号的理解.

教学过程：

一、根底习题练习： 〔口答以下根底题的主要解答过程 → 指出题型解答方法〕

1. 说出以下函数的定义域与值域：

y2.

f(x)81；

yx24x3；

y2.

3x5x4x31，求f(2)，

f(f(3))，

f(f(x)).

x10(x0)3.

f(x)(x0)，作出f(x)的图象，求f(1),f(1),f(0),f{f[f(1)]}的值.

x1(x0)二、教学典型例题：

f(x)记号的理解与运用：

① 出例如1. f(x)=x21 g(x)=x1求f[g(x)]

〔师生共练→小结：代入法；理解中间自变量〕

② 练习：f(x)=xx+3 求： f(x+1), f(221)

x函数f(x)=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].

③ 出例如2. 假设f(x1）x2x,求f(x）

分析：如何理解f(x1？ 如何转化为f(x）

） 解法一：换元法，设tx1，那么……

解法二：配元法，f(x1）x2x(x1)21，那么……

解法三：代入法，将x用(x1)2(x1)代入，那么……

讨论：f(x）中，自变量x的取值范围？

④ 练习：假设f()1xx， 求f(x）.

1x2. 函数应用问题：

①出例如3. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通〞，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行〞不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 假设一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y2〔元〕. Ⅰ.写出y1,y2与x之间的函数关系式？ Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ Ⅲ.假设某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

〔 师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？ → 小结：简单函数应用模型 〕

三、稳固练习：1.

f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x).

1xyf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x)f(x)的定义域

1414

f(x)满足f(x2)f(2x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.

风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。

春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。 我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界说明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？ 如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却突然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不成认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。 我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间

三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。 这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。 我有所感事，结在深深肠。 你一定要“离开〞才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。 刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。 与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。 曾经沧海难为水，除却巫山不是云。 回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。 半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，假设没有栖息的地方，到哪里都是流浪...如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于情。不畏将来，不念过往。如此，安好。 笑，全世界便与你同声笑，哭，你便单独哭。 一辈子，不说懊悔，不诉离伤。上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。跟着你，在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜 我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，假设不学会遗忘，就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。 因为有了因为，所以有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。

如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人，贯彻未来，数遍生命的公路牌。 岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界，也是你。个人的遭遇，命运的多舛都使我被迫成熟，这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人，有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有那么一个时侯，你突然会觉得很绝望，觉得全世界都背弃了你，活着就是承当屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说，没关系，很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当你尚在年少，你受的苦，吃的亏，担的责，扛的罪，忍的痛，到最后都会变成光，照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化，不准偷偷想念，不准回头看。去过自己另外的生活。你要听话，不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说，鲁迅是杂文，胡适是评论；鲁迅是酒，胡适是水。酒让人看到真性情，也看到癫狂，唯有水，才是日常所需，是真生活。有时候会很自豪地觉得，我唯一的优势就是，比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文，只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。再也找不见慷慨的遗恨，只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也不去期待历史的震颤，只有凛然安坐着的万古湖山。 呼兰河这小城里边，以前住着我的祖父，现在埋着我的祖父。 诗意上来时，文字不要破坏它。 水，看似柔顺无骨，却能变得气势滚滚，波涌浪叠，无比强大；看似无色无味，却能挥洒出茫茫绿野，累累硕果，万紫千红；看似自处低下，却能蒸腾九霄，为云为雨，为虹为霞…… 一切达观，都是对悲苦的省略 我们孩还发多夫道知道了，就得看不我们后心回的〞家“，不是起用看把一个有邮递区号、邮差找得到的家，后心天能们后心回的〞家“，不是空于而，风每都到小是一段时光。 它们能够躲过所有凝视的目光，却躲不过那些出其不意投来的目光。

中国人对待自然环境与外国人截然不同，外国人注意到的是人如何改变土地，而中国人关注的是土地怎样改变了人。、堂皇转眼凋零，喧腾是短命的别名。在流光溢彩的日子里，生命被铸上妖冶的印记。托尔斯泰说：“忧来无方，窗外下雨，坐沙发，吃巧克力，读狄更斯，心情又会好起来，和世界妥协。〞 成熟是一种明亮而不刺眼的光芒，一种圆润而不腻耳的声响，一种不再需要对别人察言观色的沉着，一种终于停止向周围申诉求告的大气，一种不理会喧闹的微笑，一种洗刷了偏激的冷淡，一种无需声张的厚实，一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂，我只要底线。因为没有底线，就没有自由。

宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗，你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀，我就不能保护你。如果我有刀，我就不能拥抱你。“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快乐。这就是成功。〞 没有悲剧就没有悲壮，没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里，但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒，权力与财富只使人更粗俗

堕落。 满地都是六便士，他却抬头看见了月亮。走出酒吧的那一刹，我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼，我想起了我的收音机。它已经很旧很老，退役多年了。