16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

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目录

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均匀分布 ...................................................................................................... 1

正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2

指数分布 ...................................................................................................... 2

Beta分布（分布） .............................................................................. 2

Gamma分布 .............................................................................................. 3

倒Gamma分布 ......................................................................................... 4

威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) ..................... 5

Pareto分布 ................................................................................................. 6

Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） .............................. 7

2分布（卡方分布） ......................................................................... 7

......................................................................................................... 8

t分布

F分布 ........................................................................................................ 9

10

二项分布 ................................................................................................

10

泊松分布（Poisson分布） ..............................................................

11

对数正态分布 .......................................................................................

1. 均匀分布

均匀分布X~U(a,b)是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1f(x)

ba .

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E(X)ab

2(ba)2Var(X)

122. 正态分布（高斯分布）

当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作X~N(,2)。正态分布为方差已知的正态分布N(,2)的参数的共轭先验分布。

(x)222f(x)1e2

E(X)

Var(X)2

3. 指数分布

指数分布X~Exp()是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0为尺度参数。指数分布的无记忆性：PXst|XsP{Xt}。

f(x)ex,x0E(X)Var(X)1



21

4. Beta分布（分布）

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Beta分布记为X~Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布B(n,p)中的参数p的先验分布取Beta(a,b)，实验数据（事件A发生y次，非事件A发生n-y次），则p的后验分布Beta(ay,bny)，即Beta分布为二项分布B(n,p)的参数p的共轭先验分布。

(x)tx1etdt

0f(x)(ab)a1x(1x)b1

(a)(b)E(X)Var(X)a

abab

2(ab)(ab1)5. Gamma分布

Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为X~Ga(a,b)。其中a0为形状参数，b0为尺度参数。Gamma分布为指数分布Exp()的参数、Poisson分布P()的参数的共轭先验分布。

baa1bxf(x)xe,x0(a)

a

baVar(X)2

bE(X) .

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6. 倒Gamma分布

倒Gamma分布记为X~IGa(a,b)。若随机变量X~Ga(a,b)，则1~IGa(a,b)。其中a0为形状参数，b0为尺度参数。倒Gamma分布为指X1数分布Exp()的参数、均值已知的正态分布N(,2)的参数2的共轭先验分布。

ba(a1)bxf(x)xe,x0(a)

E(X)b

a1b2Var(X),a2

2(a1)(a2) .

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7. 威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布)

威布尔分布记为X~W(m,)。其中m0为形状参数，0为尺度参数。当m1，它是指数分布；m2时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。

m1xmf(x)mxe,x0

1E(X)1

m2212Var(X)11

mm

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8. Pareto分布

Pareto分布记为X~Pa(a,b)。其中b0为门限参数，a0为尺度参数。Pareto分布是一种厚尾分布。Pareto分布为均匀分布U(0,)的参数的共轭先验分布。

a1abf(x)bxE(X),xb

ab,a1

a1 .

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ab2Var(X),a2

(a1)2(a2)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）

Cauchy分布记为X~Ca(a,b)。其中a为位置参数，b0为尺度参数。中位数Mode(X)a，期望、方差都不存在。如果X1,X2,的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数X1,X2,比较扁、宽的曲线。

,Xn是分别符合柯西分布,Xn/n服从同样的柯西分布。标准柯西分布Ca(0,1)是t分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种f(x)bb2(xa)21

10.

分布（卡方分布）

设X1,X2,2ni12

,Xn是来自N(0,1)的样本，则称统计量Xi2服从自由度为n的2分布，记为2~2(n)。

f(x)1n22n2xnx122e,x0

E(X)n

Var(X)2n

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11. t分布

X服从自Yn由度为n的t分布。记为t~t(n)。当自由度n时，t分布将趋于N(0,1)。有时样本量很小，不知道总体的标准偏差，则可以依赖 t统计量（也称为 t分数）X~t(n1)，其中X是样本均值，μ是总体均值，的分布，其值由下式给出：sns是样本的标准偏差，n是样本大小。

设X~N(0,1)，Y~2(n)，且X，Y相互独立，则称随机变量tn1n1x222f(x)1nn

n2E(X)0

nVar(X),n2

n2 .

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12. F分布

Un设U~2(n1)，V~2(n2)，且U，V相互独立，则称随机变量F1服从Vn2自由度为(n1,n2)的F分布，记为F~F(n1,n2)。设X1,X2,,Xn1与Y1,Y2,,Yn2分2)的样本，别是来自正态总体N(1,12)和N(2,2且这两个样本相互独立。设X，2分别是这两个样本的样本方差，则有Y分别是这两个样本的样本均值；s12，s2s122s212222w222~F(n11,n21)；当12时，(XY)(12)~t(n1n22)，其中11swn1n22(n11)s12(n21)s2。

sn1n22nn1n2n1211x2n2n12f(x)nnn121122n2E(X)xn1n22,x0

n1,n12

n122n12(n1n22)Var(X),n14

n2(n12)2(n14) .

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13. 二项分布

二项分布十分好理解，给你n次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p，问在这n次机会中有k次（k≤n）硬币朝上的概率为多少。记为X~B(n,p)。当n足够大，且p不接近于0也不接近于1时，二项分布B(n,p)可用正态分布N(np,np(1p))来近似。

P(Xk)n!pk(1p)nk,p[0,1]

(nk)!k!E(X)np

Var(X)np(1p)

14. 泊松分布（Poisson分布）

泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”，记为 .

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np当二项分布满足时，二项分布近似为泊松分布。泊松分布P()X~P()。n当足够大时，变成正态分布N(,)。

P(Xk)kek!,0

E(X)

Var(X)

15. 对数正态分布

对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y是正态分布的随机变量，则exp(Y)是对数正态分布；同样，如果X是对数正态分布，则ln(X)为正态分布，如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布，如拟合风速分布模型，记为X~LN(,2)。

f(x)1e2(lnx)222,x0

2

E(X)e222Var(X)(e1)e2

16. 瑞利分布

当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。

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f(x)xe2x222,x0

E(X)2

Var(X)42

2

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