(数电知识)原码、反码与补码知识

2.1 原码、反码与补码

在计算机内的数（称之为“机器数”）值有3种表示法：原码、反码和补码。所谓原码就是带正、负号的二进制数，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。由此可见，这三种表示法中，关键是负数的表示方式不一样。

2.2.1 正负数表示、定点数与浮点数

在计算机内，通常把1个二进制数的最高位定义为符号位，用“0”表示正数，“1”表示负数；其余位表示数值。

规定小数点位置固定不变的数称为“定点数”；小数点的位置不固定，可以浮动的数称为“浮点数”。

2.2.2 原码

原码表示法是定点数的一种简单的表示法。用原码表示带符号二进制数时，符号位用0表示正，1表示负；数值位保持不变。原码表示法又称为符号-数值表示法。

1. 小数原码表示法

设有一数为x，则原码表示可记作[x]原（下标表示）。例如，X1= ＋1010110 ；X2= -1001010

原码表示数的范围与二进制位数有关。设二进制小数X=±0.X1X2…Xm，则小数原码的定义如下：

例如：X=+0.1011时， 根据以上公式可得[X]原=0.1011；X=－0.1011时，根据以上公式可得[X]原= 1-（-0.1011）=1.1011=1.1011

当用8位二进制来表示小数原码时，其表示范围为：最大值为0.1111111，其真值约为（0.99）10 ；最小值为1.1111111，其真值约为（-0.99）10。根据定义，小数“0”的原码可以表示成0.0…0或1.0…0。

2. 整数原码表示法

整数原码的定义如下：

例如：X=+1101时，根据以上公式可得[X]原=01101；X=－1101时，根据以上公式可得[X]原=24-（-1101）=10000+1101=11101

当用8位二进制来表示整数原码时，其表示范围为：最大值为01111111，其真值为（127）10 ；最小值为11111111，其真值为（-127）10 。同样，整数“0”的原码也有两种形式，即00…0和10…0。

2.2.3 反码

用反码表示带符号的二进制数时，符号位与原码相同，即用0表示正，用1表示负；数值位与符号位相关，正数反码的数值位和真值的数值位相同；而负数反码的数值位是真值的数值位按位变反。

1. 小数反码表示法

设二进制小数X=±0.x1x2…xm，则其反码定义为：

例如，X=+0.1011时，根据以上公式可得［X］反=0.1011；当X=-0.1011时，根据以上公式可得[X］反=2-2-4+X=10.0000-0.0001-0.1011=1.0100。根据定义，小数“0”的反码有两种表示形式，即0.0…0和1.1…1。

2. 整数反码表示法

设二进制整数X=±Xn-1Xn-2…X0，则其反码定义为：

例如，X=+1001时，根据以上公式可得［X］反 = 01001；当X=-1001时，根据以上公式可得［X］反 = （25-1）+X= （100000-1）+（-1001）= 11111-1001=10110

同样，整数“0”的反码也有两种形式，即00…0和11…1。

采用反码进行加、减运算时，无论进行两数相加还是两数相减，均可通过加法实现。加、减运算规则如下：

[X1+X2］反 =［X1］反 +［ X2］反

[X1-X2］反 =［X1］反 +［-X2］反

运算时符号位和数值位一样参加运算。当符号位有进位时，应将进位加到运算结果的最低位，才能得到最后结果。

2.2.4 补码

用补码表示带符号的二进制数时，符号位与原码、反码相同，即用0表示正，用1表示负；数值位与符号位相关，正数补码的数值位与原码、反码相同。而负数补码的数值位是真值的数值位按位变反，并在最低位加1。

1. 小数补码的定义

设二进制小数X=±0.X-1X-2…X-m，则其补码定义为：

例如，X= + 0.1011时，根据以上公式可得［X］补= 0.1011；X = - 0.1011时，

根据以上公式可得[X］补 = 2 + X = 10.0000 - 0.1011 = 1.0101

小数“0”的补码只有一种表示形式，即0.0…0。

2. 整数补码表示法

设二进制整数X=±Xn-1Xn-2…X0，则其补码定义为：

例如，X = +1010时，根据以上公式可得［X］补 = 01010；X = -1010时，根据以上公式可得[X］补 = 25+ X = 100000-1010 = 10110。同样，整数“0”的补码也只有一种表示形式，即00…0。采用补码进行加、减运算时，可以将加、减运算均通过加法实现，运算规则如下：

［X1 + X2］补 =［X1］补 +［X2］补

［X1 - X2］补 =［X1］补 +［-X2］补

运算时，符号位和数值位一样参加运算，若符号位有进位产生，则应将进位丢掉后才得到正确结果。例如，若X1 = -1001，X2 = +0011，则采用补码求X1-X2的运算如下：［X1-X2］补=［X1］补+［-X2］补= 10111+11101。即：［X1-X2］补= 10100 。因符号位为1，表示是负数，故X1-X2 = -1100

2.2.5 模

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟中的一个小时就是60分钟，这个60分钟就是“模”。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。表示n位的计算机计量范围是0～2n-1，模=2n。即n位二进制所能表示的无符号整数的范围：0≤x≤2n-1；n位二进制所能表示的有符号整数的范围：-2n-1+1≤x≤2n-1-1；n位二进制补码所能表示的数值范围为：－2n-1≤X≤＋2n-1－1。

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

对于计算机，模也就是相应位数寄存器所能表示的最大数再加1。如8位寄存器所能存储的数是11111111=255，这样8位寄存器的模就等于255+1=256。

2.2.6 BCD码、阶码与移码

1. BCD码

BCD编码将一个字节的8个位拆分成高4位和低4位两个部分，也就是说一个字节能存储两个数字。所以BCD的编码过程就是将数字压缩的过程，将两个字节的数字压缩成一个字节。反之，解码就是把一个字节的数字拆分为两个数字单独存放（大部分的处理都是按字节处理的）。

2. 阶码

对于任意一个二进制数n，可用N=S x 2P表示，其中S为尾数，P为阶码，2为阶码的底，P、S都用二进制数表示，S表示N的全部有效数字，P指明小数点的位置。

3. 移码

浮点数的阶码表示指数大小，有正有负，为避开阶码的符号，对每个阶码都加上一个正的常数（称偏移常数），使能表示的所有阶码都为正整数，变成“偏移”了的阶码，又称“增码”。

2.3 二进制的运算

2.3.1 二进制的四则运算

二进制数与十进制一样，同样可以进行加、减、乘、除四则运算。其算法规则如下：

加运算：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10

减运算：1-1=0，1-0=1，0-0=1，0-1=1

乘运算：0*0=0，0*1=0，1*0=0，1*1=1

除运算：二进制只有两个数（0，1）

具体的四则运算方法参见书本。

2.3.2 补码运算

补码的加法运算规则是：

[X＋Y]补= [X ]补＋[Y]补

该式表明，当有符号的两个数采用补码形式表示时，进行加法运算可以把符号位和数值位一起进行运算（若符号位有进位，则丢掉），结果为两数之和的补码形式。

例如用补码进行下列运算：（＋33）＋（＋15）；（＋33）＋（－15），最终的结果分别是[+48]补和[+18] 补。

补码的减法运算规则是：

[X－Y]补=[X]补＋[－Y]补

该式表明，求[X－Y]补可以用［X］补与 [－Y]补相加来实现。

[－Y]补是对减数进行求负操作。一般称已知 [Y]补求得 [－Y]补的过程叫变补或求负。已知[+Y]补求[-Y]补的规则是全部位（含符号位）按位取反后再加1。

具体的补码计算步骤参见书中介绍。

2.3.3 二进制的逻辑运算

二进制的逻辑运算有“与”、“或”、“非”和“异或”四种。

1. “与”运算（AND）

“与”运算又称逻辑乘，用符号“.”或“∧”来表示。运算规则如下：

0∧0 = 0 0∧1 = 0 1∧0 = 0 1∧1 = 1

即当两个参与运算的数的对应码位中有一个数为0，则运算结果为0，只有两码位对应的数都为1结果才为1。这与前面介绍的二进制乘法运算是一样的。

2. “或”运算（OR）

“或”运算又称逻辑加，用符号“+”或“∨”表示。运算规则如下：

0∨0 = 0 0∨1 = 1 1∨0 = 1 1∨1 = 1

即当两个参与运算数的相应码位只要有一个数为1，则运算结果为1，只有两码位对应的数均为0，结果才为0。如“10111101”进行“非”运算后就得到“01000010”，对比相应位即可验证以上运算规则了。

3. “非”运算（NOT）

“非”运算实现逻辑否定，即进行求反运算，非运算规则：0 = 1，1 = 0。注意“非”运算只是针对一个数所进行的“运算”，这与前面的“与”和“或”运算不一样。它的实质意义就是取反。如“10111101”进行“非”运算后就得到“01000010”，对比相应位即可验证以上运算规则了。

4. “异或”运算（XOR）

“异或”运算用符号“⊕”来表示。其运算规则如下：0⊕ 0 = 0； 0 ⊕ 1 = 1；1

⊕ 0 = 1；1 ⊕ 1 = 0 。即当两个参与运算的数取值相异时，运算结果为1，否则为0。下面两图是两个二进制数异或运算过程。

小数和分数的补码

一、十进制分数补码可以先将分子和分母分别表示成二进制数，然后计算出二进制小数，再按下面第三步的方法将求出小数的补码形式。

37/64=100101B/2^6=0.100101B

-51/128=110011B/2^7=0.0110011B

二、十进制小数的补码也应该先将其转换成二进制小数，再按下面第三步的方法将求出小数的补码形式。

0.375=0.011B

0.5625=0.1001B

三、将二进制小数对应的补码求出

[37/64]补码=[0.100101B]补码=00100101B

[-51/128]补码=[0.0110011B]补码=11001101B

[0.375]补码=[0.011B]补码=00110000B

[0.5625]补码=[0.1001B]补码=01001000B