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2023年12月24日发(作者:delphi xe 时间选择控件)

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质

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对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+(接下来写作f(x)=ax+b/x)。

当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。

当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:

a>0 b>0 a<0 b<0

当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。)

对勾函数的图像(ab同号)

对勾函数的图像(ab异号)

一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到:

当x>0时,。

当x<0时,即对勾函数的定点坐标:

(三) 对勾函数的定义域、值域

由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到:

y

O

y=ax

(六) 对勾函数的奇偶性

对勾函数在定义域内是奇函数,

X


本文标签: 函数 性质 图象 定义域