高中数学函数知识点总结

函数一、函数的定义：1．函数的概念：设y=f(x)，x∈A．（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的2．3．函数的表示方法：（y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．函数的三要素：定义域、值域、对应法则1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数的集合C，叫做函数过来，以满足(2) 画法A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。（3）函数图像平移变换的特点： 1 2）加左减右——————只对）上减下加——————只对 3）函数y=f(x)

4）函数y=f(x)

5）函数y=f(x)

6）函数y=f(x)

函数y=| f(x)|

7）函数y=f(x)

二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2．定义域：能使函数式有意义的实数(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；1.

.那么，它的定义域是使各部分都有意义的(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间.

(两点必须同时备) 3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）②定义域一致(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于.

先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

x

y

y=-f(x)

y=f(-x)

y=-f(-x)

x轴上面去，x轴上面图像不动得A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f(x)和它对应，那么就称f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)y=f(x),(x

∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

关于X轴对称得函数关于Y轴对称得函数关于原点对称得函数将x轴下面图像翻到x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：x的值组成

（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5、值域（先考虑其定义域）Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；（2）反表示法：针对分式的类型，把求Y的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。6.分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况．（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数7．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则在集合B中都有唯一确定的元素（对应关系）：A（原象）y与之对应，那么就称对应B（象）”f：Af，使对于集合A中的任意一个元素x，fB为从集合A到集合B的一个映射。记作“对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合(2)集合A中不同的元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；B中对应的象可以是同一个；A中都有原象。(3)不要求集合B中的每一个元素在集合注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数8、函数的单调性(局部性质)及最值（1）、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域时，都有f(x1)

x1，x2，当x1

时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这D上的任意两个自变量的值.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单. 调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的（3）、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取x1，x2∈D，且x1

(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间9：函数的奇偶性（整体性质）（1）、偶函数一般地，对于函数（2）、奇函数一般地，对于函数偶函数的图象关于 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

f(x)的定义域内的任意一个f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；b、确定f(－x)与f(x)的关系；c、作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；，则f(x)是奇函数．若f(－x) =－f(x)

（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数； a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数(1)再根据定义判定;

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;

. (3)利用定理，或借助函数的图象判定10、函数最值及性质的应用（1）、函数的最值a 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值b 利用图象求函数的最大（小）值c 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间（2）、函数的奇偶性与单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。（3）、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与较。（4）、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。（5）、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用数。（高一阶段可以利用奇函数三、基本初等函数指数函数（一）指数f(0)=0）。f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函0作比较，作商法是与1作比[b，c]上单调递减则函数[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；.若对称，或 f(－x)＋f(x) = 0

1、m指数与指数幂的运算：a*a=a(a)=anmnnm+n复习初中整数指数幂的运算性质：mnnn(a*b)=ab2、根式的概念：一般地，若xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N．负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号a的正的n次方根用符号表表示，*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，示。当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数负的n的次方根用符号表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成（a>0）。注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。当n是奇数时，nana，当n是偶数时，nan|a|a(a0)a(a0)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。3、分数指数幂正数的分数指数幂的mmannam(a0,m,nN*,n1)，an11mn(a0,m,nN*,n1)anam0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质（1）ar·arars(a0,r,sR)；（2）(ar)sars(a0,r,sR)；rrs（3）(ab)aa(a0,r,sR)．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂aa（a>0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？2、指数函数的图象和性质a>1 0

R．（二）、指数函数的性质及其特点

1100定义域 R

值域y＞0

在R上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）定义域 R

值域y＞0

在R上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；（3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a；（4）当a>1时，若X1

利用换底公式推导下面的结论（1）logambnnmlogab；（2）logab1logba．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：数函数，而只能称其为对数型函数．2对数函数对底数的限制：○2、对数函数的性质：a>1

y2log2x，ylog5x都不是对5(a0，且a1)．0

110101定义域x＞0

值域为R

在R上递增函数图象都过定点（幂函数1、幂函数定义：一般地，形如2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（（2）1，0）定义域x＞0

值域为R

在R上递减函数图象都过定点（1，0）yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数．0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间1时，幂函数的图象上凸；(0,[0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当0（3）0时，幂函数的图象在区间)上是减函数．在第一象限内，当时，图象在x从右边趋向原点时，图象在x轴正半轴．y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于x轴上方无限地逼近四、函数的应用方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数2、函数零点的意义：函数3、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．，把使成立的实数叫做函数的零点。的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．

4、二次函数的零点：（1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与点．（3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．轴有两个交点，二次函数有两个零点．轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零（2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与