三角函数公式大全(很详细)

高中三角函数公式大全[图]

1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义

图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图

在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：

•

正弦函数

•

余弦函数

•

正切函数

•

余切函数

•

正割函数

•

余割函数

1.2 直角坐标系中的定义

图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图

在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：

•

正弦函数

•

余弦函数

r

•

正切函数

•

余切函数

•

正割函数

•

余割函数

2 转化关系2.1 倒数关系

2.2 平方关系

2 和角公式

3 倍角公式、半角公式

3.1 倍角公式

3.2 半角公式

3.3 万能公式

4 积化和差、和差化积

4.1 积化和差公式

证明过程

首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）

因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）

则

sin(α-β)

=sin[α+(-β)]

=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα

=sinαcosβ-sinβcosα

于是

sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）

将正弦的和角、差角公式相加，得到

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

则

sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）

同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有

cos(α+β)=

sin[π/2-(α+β)]

=sin(π/2-α-β)

=sin[(π/2-α)+(-β)]

=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)

=cosαcosβ-sinαsinβ

于是

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）

那么

cos(α-β)

=cos[α+(-β)]

=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)

=cosαcosβ+sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式）

将余弦的和角、差角公式相减，得到

cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ

则

sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2（“积化和差公式”之二）

将余弦的和角、差角公式相加，得到

cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

则

cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2（“积化和差公式”之三）

这就是积化和差公式：

sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2

sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2

cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2

4.2 和差化积公式

部分证明过程：

sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα

cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβ-cosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

诱导公式

•

•

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

两角和与差的三角函数

•

•

•

•

•

•

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

三角函数和差化积公式

•

•

•

•

sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

积化和差公式

•

•

•

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

二倍角公式

•

•

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

半角公式

•

•

•

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

万能公式

•

•

•

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，•

tan(c)=b/a]

•

a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]

•

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

•

1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

其他非重点三角函数

•

•

csc(a)=1/sin(a)

sec(a)=1/cos(a)

双曲函数

•

•

•

sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2

cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2

tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

常用公式表（一）

1。乘法公式

（1）（a+b）²=a2+2ab+b2

(2)(a-b)²=a²-2ab+b² (3)(a+b)(a-b)=a²-b²

(4)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) (5)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

2、指数公式：

1nmnPP0ma(1)a=1 （a≠0） （2）a=（a≠0） （3）a=a

amnmnmnmnmnmnmn（4）aa=a （5）a÷a=a=a （6）（a）=a

aann2nnn（7）（ab）=ab （8）（b）=b （9）（a）=a

（10）a2=|a|

3、指数与对数关系：

（1）若a=N，则blogaN （2）若10=N，则b=lgN

（3）若eb=N，则b=㏑N

4、对数公式：

（1）logaabb, ㏑e=b （2）alogaNN，e（3）logaN（6）lnblnNnbb=N

lnN （4）abeblna （5）lnMNlnMlnN

lnan1MlnMlnN （7）lnMnnlnM （8）㏑M=lnM

Nn5、三角恒等式：

（1）（Sinα）²+（Cosα）²=1 （2）1+（tanα）²=(secα)²

sincos（3）1+(cotα)²=(cscα)² （4）tan （5）cot

cossin111（6）cot （7）csc （8）sec

tancoscos6、特殊角三角函数值：



α 0

2

6

4

3

2sina 0

12

22

32

1 0 --1 0

cosa 1

32

3

322

1

12

3

3

30 --1 0 1

tana 0 ∞ 0 --∞ 0

cota ∞

3

1 0 --∞ 0 ∞

7.倍角公式：

（1）sin22sincos （2）tan22tan

21tan（3）cos2cos2sin22cos2112sin2

8.半角公式（降幂公式）：

1cosa1cosa2222（1）（sin）= （2）（cos）=

221cosasina（3）tan=sina=1cosa

29、三角函数与反三角函数关系：

（1）若x=siny，则y=arcsinx （2）若x=cosy，则y=arccosx

（3）若x=tany，则y=arctanx （4）若x=coty，则y=arccotx

10、函数定义域求法：

1（1）分式中的分母不能为0， （a α≠0）

（2）负数不能开偶次方， （a α≥0）

（3）对数中的真数必须大于0， （logaN N>0）

（4）反三角函数中arcsinx，arccosx的x满足：（--1≤x≤1）

（5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。

11、直线形式及直线位置关系：

（1） 直线形式：点斜式：yy0kxx0

斜截式：y=kx+b

xx1yy1yy1x2x1 两点式：2

（2）直线关系：l1:yk1xb1

l2:yk2xb2

平行：若l1//l2，则k1k2

垂直：若l1l2，则k1k21

常用公式表（二）

1、求导法则：（1）（u+v）=u+v （2）（u-v）=u-v

uuvuv（3）（cu）=cu （4）（uv）=uv+uv （5）

2vv///////////2、基本求导公式：

（1）（c）=0 （2）（x）=ax/a/a1 （3）（a）=alna

x/x11x/x//axlna（4）（e）=e （5）（㏒x）= （6）（lnx）=x

（7）（sinx）=cosx （8）（cosx）=-sinx

//1/(cosx)22（9）（tanx）==（secx）

12/2(sinx)（10）（cotx）=-=-（cscx）

(11)(secx)=secx*tanx (12)(cscx)=-cscx*cotx

//1/122/1x1x(13)(arcsinx)= (14)(arccosx)=-

1/211x(15)(arctanx)= (16)arccotx1x2

3、微分

（1）函数的微分：dy=ydx

（2）近似计算：|Δx|很小时，fx0x=f（x0）+f//（x0）*x

4、基本积分公式

（1）kdx=kx+c （2）xadx1a1xC

a11dxlnxcxaxC （3）x （4）adxlna（5）xxedxec （6）sinxdxcosxC

（7）cosxdxsinxC （8）sec2xdx21dxtanxC

2cosx1cscxdx2dxcotxcsinx（9）

（10）11x2bdxarcsinxc1dxarctanxc2 （11）1x

5、定积分公式：

（1）af(x)dxf(t)dtaab （2）baaf(x)dx0c

b（3）fxdxfxdx （4）babaf(x)dxf(x)dxf(x)dxac

（5）若f（x）是[-a,a]的连续奇函数，则aaf(x)dx0

（6）若f（x）是[-a,a]的连续偶函数，则:



a

f

(

x

)

dx



2

0

f

(

x

)

dx

6、积分定理：

x（1）ftdtfx

aa

a

bx2axftdtfbxbxfaxax

（3）若F（x）是f（x）的一个原函数，则7.积分表

baf(x)dxF(x)baF(b)F(a)

1secxdxlnsecxtanxC

2cscxdxlncscxcotxC

351x11x4dxarcsinC

dxarctanC2222aaaaxax11xadxlnC

2axax2a28．积分方法

1fxaxb；设：axbt

2fxa2x2；设：xasint

fxx2a2；设：xasect

fxa2x2；设：xatant

3分部积分法：udvuvvdu