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2023年12月24日发(作者：fwrite换行)

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幂函数

一、知识点总结

1．幂函数的概念

（1）一般地，幂函数的表达式为yx(R)，其中为常数；其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。

（2）所有的幂函数在区间(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)。

（3）学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点：

①形如y(2x),y2•x,yx2,形式的函数不是幂函数。

②幂函数yx中的为任意实数。

③确定一个幂函数，只需求出即可。

2．幂函数的图象

我们只讨论幂函数yx中1,2,3,,1时的图象。

在同一平面直角坐标系作出幂函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象。

231212（1）列表、（2）描点：3）连线：用光滑的曲线将各点连结起来。如图

（2）记熟上面各函数图象的形状，及它们之间的“高低”关系。（3）函数y1可记为yx1。（4）a0时，图象x都过(0,0)(1,1)点，a0时，只过(1,1)不过(0,0)点。

3．幂函数的性质

从上图可以观察到幂函数的特征如下：

特

征

性

质

函

数

yx

yx

2yx

3yx

12yx1

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

R

R

[0,)

偶

增

x[0,)时，减

x(,0]时，(1,1)

(0,0)

R

[0,)

{x|xR,x0}

R

奇

增

(1,1)

(0,0)

R

奇

增

(1,1)

(0,0)

[0,)

非奇非偶

增

(1,1)

(0,0)

{y|yR,y0}

奇

x(0,)时，减

x(,0)时，减

(1,1)

.

.

结合以上特征得幂函数的性质如下：

（1）所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)；

（2）如果0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0,)上为增函数；

（3）如果0，则幂函数的图象在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；

（4）当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶函数，幂函数为偶函数。

4．求幂函数的定义域、值域

幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解。

5．幂函数的单调性和奇偶性

幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有时也用幂函数的性质加以判断。

6．比较大小

比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”法。

二、经典例题

1.如图，幂函数yxa在第一象限内的图象，已知a取2,1四个值，则相应于曲线2C1,C2,C3,C4的a依次为（ ）

A．2,,,2

C．,2,2,1122121

2mxn112211D．2,,2,

22B．2,,,2

2.如图所示是函数y(m,nN且互质)的图象，则（ ）

A．m,n是奇数，且m1

n

m1

nmC．m是偶数，n是奇数，且1

nmD．n是偶数，m是奇数，且1.

nB．m是偶数，n是奇数，且3.函数y(mx4xm2)214(x2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围

B．(51,)

D．(15,15)

是（ ）

A．(51,2)

C．(2,2)

4．如图所示，幂函数yx在第一象限的图象，比较0,1,2,3,4,1的大小（ ）

.

A．130421

B．012341

C．240311

D．302411

5．y1x1的图象是（ ）

6．函数y(m2m1)xm22m3是幂函数，且x(0,)时为减函数，则实数m的值为（A．m1或2 B．m152 C．m2 D．m1

7．给出下列说法：

①函数yx3的图象关于原点成中心对称；

②函数yx4的图象关于y轴成轴对称；

③函数yx1在(,)上是减函数.

其中正确说法的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

48．函数yx3的图象是

（ ）

A． B． C． D．

19．函数yx3和yx3图象满足 （

A．关于原点对称 B．关于x轴对称

C．关于y轴对称 D．关于直线yx对称

10． 函数yx|x|,xR，满足 （

A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数

.

.

）

） ）

.

C．是奇函数又是增函数

11．函数y

12．函数yx14．yxa2D．是偶函数又是减函数

D．[1,)

1

4

x22x24的单调递减区间是

B．[6,) C．(,1]

（ ）

A．(,6]

2

3

32的定义域是 .

113．幂函数f(x)的图象过点（3,427)，则f4a9(x)的解析式是 .

是偶函数，且在(0,)是减函数，则整数a的值是 .

(1)knm15．幂函数yx(m,n,kN*,m,n互质)图象在一、二象限，不过原点，则k,m,n的奇偶性为 .

16．若102,10

17已知函数f(x)xy3x2y3，则102

13

13

xx51313；g(x)xx.

5（1）证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间；

（2）分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。

.

.

18.比较下列各组数的大小；

17（1）3和3.1； （2）8和()8;

9525278

（3）4.1,3.8和(1.9).

19．已知幂函数f（x）＝x13p2p22252335（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）．

20．已知函数y(a23a2)xa5a5（a为常数）.

（1）a为何值时此函数为幂函数？

（2）a为何值时此函数为正比例函数？

（3）a为何值时此函数为反比例函数？

21．求不等式(3a1)

.

42(1a)4的解集.

.

22．已知函数y＝415－2x－x2．

（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

.


本文标签： 幂函数 函数 图象 实数 单调

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