高等数学函数练习题

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高等数学函数练习题

习题1-1

13、用区间表示满足下列不等式的所有x的集合

|x|?3；[?3,3]

|x?2|?1；[1,3]

|x?a|??；

|x|?5；

|x?1|?2. ?

14、用区间表示满足下列点集,并在数轴上表示出来：

A?{x||x?3|?2}；

B?{x|1?|x?2|?3}.?

习题1-2

2、求下列函数的自然定义域 1?x?2； 1?x

1x20x1解：D?[?2,?1)??. x??2x?2?0??y?

y?arcsin

解：

y?x?1； x?1?1?|x?1|?2?D?[?1,3].ln； |x|?1

3x0x3D. |x|10|x|1

2x?1. y?x2?x?6

?2x?1?1?2x?1?7?－3?x?4?解：x?? 或

x?3?0x2?x??cos令2T?2? cos2x

2016

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y?cos ;

解：y?f?cos,由于

f?cos?cos,

, y?cos是以

2??为周期的周期函数.

注：f?cos

y?cos令?T?2?cos 1. x

解：y?f?cos

8、设f为定义在内的奇函数,若f在内单调增加,证明f在内也单调增加.

解：?x1?x2?,有?x2??x1?, 1不是周期函数.因为假设有T,使得f?f, x1111?cos2k? 那么

cosx?Txx?Tx?x?x?T?2k?x?T?2k?x ? k?0?T?0.

f,ff,

又f为奇函数,则

f??f??f?f,

所以f在内也单调增加.

习题1-3

3、指出下列函数的复合过程

y?cos2x；

解：y?cosu,u?2x.

y?e；

2016

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解：y?eu,u?

1x1. x

y?esinx；

3解：y?eu,u?v,v?sinx.

y?arcsin[lg]；

解：y?arcsinu,u?lgv,v?2x?1.

4、设f?cos2x?1,求f. 解：由于f??2?31?cos2x?2??2sin2x?2,

可见f??2t2?2,所以f??2cos2x?2?2sin2x.

解2：令t?sinx,则f?cos2x?1??1??2t2?2,

所以f??2cos2x?2?2sin2x.

1,求f. x2

11122解：由于f?x?2??2, xxx

可见f?t2?2, 所以f?x2?2. 设f?x2?

解2：令t?x?1x111,则f?x2?2?2?2?t2?2, xxx

所以f?x2?2.

5、已知f?x3?x,??sin2x,求f[?],?[f]. 解：f[?]?f?sin32x?sin2x,

[f][x3x]sin2.

习题1-4

2、下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？

2016

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y?e?x2?sin2x;

此函数显然是初等函数.

y?1x?ln;

解：此函数显然是初等函数.

y1,x?0, ?3, x?0.

解：此函数不是初等函数.

y1?x?0,?x?1,?2x?1, 0?x?1.?

u?v?|u?v|图形> plot; 解：令u?x?1,v??2x?1,?1?x?1，有 y?min{u,v}?

[?]2

2

2?x?2

, ?1?x?1，故此函数是初等函数. ?2

3、函数y2?x, x?1,能用一个解析式表示吗？为什么？ x?1.?x,

u?v?|u?v|图形> plot; 解：令u?2?x,v?x,有

y?max{u,v}?

x[x]222

2?1,2

故此函数能用一个解析式表示,当然是初等函数.

4、由y?2的图形作下列函数的图形 x

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1、函数

f?x??x2

x3?1

x1与函数g?x??x?1相同．

错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴

f?x??x2

x3?1

x1与g?x??函数关系相同，但定义域不同，所以f?x?与g?x?

x?1

是不同的函数。

2、如果f?x??M，则f?x?为无穷大． 错误根据无穷大的定义，此题是错误的。、如果数列有界，则极限存在．

错误如：数列xn1?是有界数列，但极限不存在

n

4、n??

liman?a，liman?a．

n??

n

n

n??

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错误如：数列an1?，lim

x??

1，但limn不存在。

n??

5、如果limf?x??A，则f?x??A??． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。、如果?～?，则o???．

1，是 ?

∴lim?lim?1???0，即是?的高阶无穷小量。

2

7、当x?0时，1?cosx与x是同阶无穷小．

2

xx??2sin2sin?

1?cosx11 ??lim?lim2??∵limx?0x?0x?04?x?2x2x2

2?

正确∵lim

11

limxlimsin0．

x?0xx?0x?0x

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正确

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1

错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

x?0x

8、 limxsin

1

9、 lim?1e．

x?0

x

1

错误∵lim?1e

x??

x

x

10、点x?0是函数y?的无穷间断点． x

xx?xx

lim??1错误 lim?x?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0x

x

∴点x?0是函数y?的第一类间断点． x

2016lim?lim?1

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，

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1

11、函数f?x??必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值．

x

1

x

x

错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，f?x??

∴函数f?x??

1

在x?0处不连续 x

1

在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值 x

二、填空题：

1、设y?f?x?的定义域是?0,1?，则

f?1?sinx?的定义域是fex的定义域是；

f?lgx?的定义域是． 答案：∵0?e?1 ∵0?1?sinx?1

∵0?lgx?1

2x

； xx??k,?x Z）

2??

2016

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x22x0

x?0的定义域是2、函数f?x0．

x230x4

3、设f?x??sinx2，??x??x2?1，则fx．

2

x

＝．

n??n

xxsinsin

x?lim?x?x ∵limnsin?lim

n??n??xnn??1

nnx??1?1?x

x?

5、设f?xcos，limf?x??． ?1?x?1，则limf?x??

x?1?0x??1?02?

x?1??x?1

∵limf?x??lim?2，limf?x??lim?x?1??0

4、limnsin

x??1?0

x??1?0

2016

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x?1?0

x?1?0

1cosx1x0

6、设f?xx2，如果f?x?在x?0处连续，则a?．

2?x?0?a

1?cosx11?cosx1

x?0?lim??f?0??a ??∵lim，如果在处连续，则fx22x?0x?022xx

7、设x0是初等函数f?x?定义区间内的点，则limf?x??．

∵初等函数f?x?在定义区间内连续，∴limf?x??f?x0?

x?x0x?x0

8、函数y? ∵lim

x?1

1

x?12

2

当x?时为无穷大，当x?时为无穷小．

1

x?1??，lim

x??

1

2016

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9、若lim

∵

x

x

x?12

0

1

）．

2

x1axb0，则a?，b?．

11?

xx2?x?2

11、f?x??2的连续区间是．

x?4x?3ax?2sinx

2，则a?12、若lim．

x??x

∴aax?2sinxsinx??lim?lim?a?2?a?0??a?0?2??limx??x??xxx

1

2

13、lim

sinx

2016

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is，limxn

x??x??x

1

x

x?0

1

， x

kx

lim?1?x?

1k

，lim?1． ?

x??x??

sin1

x?1

k

∵lim

sinx11

limsinx0 limxsinlim

x??x??xx??xxx??1

x

lim?1?x??lim?1??

x?0

201612 / 28

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x?0

1x1

x

1??1??

e1 lim1limxek

x??x??x??x??

x

kx

14、x??

limsin?iclarcont，m

n??

x?

三、选择填空：

1、如果limxn?a，则数列xn是

a.单调递增数列b．有界数列 c．发散数列 3

2、函数f?x??logax?

x2?1是

a．奇函数 b．偶函数c．非奇非偶函数 ∵ f??x??loga??x?2

1

log1a

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x?x2

1

logax?x2?1f?x?

3、当x?0时，ex

1是x的

a．高阶无穷小 b．低阶无穷小 c．等价无穷小

4、如果函数f?x?在x0点的某个邻域内恒有f?x?M，则函数f?x?在该邻域内条件下趋于??. a．x?1 b．x?1?0

c．x?1?0

6、设函数f?x??sinx

x

，则limx?0f?x??

a．１ b．－１c．不存在 ∵sinx

xlim

lim

sinxsinx00xx00xxlim00x

1

limsinxsinx0x?xlim?0?0x

1 x0根据极限存在定理知：limx?0

f?x?不存在。

7、如果函数f?x?当x?x0时极限存在，则函数f?x?2016

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在x0点 a．有定义?b．无定义 c．不一定有定义

∵f?x当x?x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。、数列１，１，

12，２，13，３，…，1

n

，n，…当n??时为 a．无穷大?b．无穷小c?．发散但不是无穷大

9、函数fx?在x0点有极限是函数f?x在x0点连续的

a．充分条件b．必要条件c．充分必要条件 10、点x?0是函数arctan

1

x

的 a．连续点b．第一类间断点 c．第二类间断点

∵1xlim?0?0

arctan

x 1?xlim?0?0arctanx?2

根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点x?0是函数sin

1

x

的 a．连续点b．第一类间断点 c．第二类间断点 四、计算下列极限：

2016

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nn

1、lim1?n??3n

n

解

limn1?n??3n?limn??n13?n)?3

4

c ）

2、lim

tan3x

x?0sin2x

tanx33x3li?lim? 解 x?0

sinx2x?02x2

3、lim??x?

x

lim

x

x

lim

x?x?x??

x??x??

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x??x?x??x?x??x??

lim

x

2

x??x?1

1

2lim

4、lim

n??

x

n

2

n1n2n

解

limn2?n?1?n2

n??

n

nlim

n??

2

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n1n2n

2

n

2

n1n2n

2

n?n?1?n?n

12?

2n?1?lim?lim?1

n??

111 n2?n?1?n2?nn??

2nnn

x3?x2

5、lim

x?0?0x?sinx

x3?x2x

xlimlimlimx00xsinxx00xsinxx

00

xsin

x?

x?1

2

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x?0

x1

sinx1

x

x2?

6、lim

x?0

xsinx?x?0

x2?

1

5

lim

x?0

1x2

设f?

2x1?x

，求f的定义域及值域。

设f对一切实数

x1，x2成立f?ff，且f?0，f?a，

求f及f．

定义函数I表示不超过x的最大整数叫做x的取整函2016

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数，若f表示将x之值保留二

I位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用

法则保留2位小数，试用I表示g。

表示f。

定义函数I表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若g表示将x依4舍5入

在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t份，而销售量为x份，试将报摊的利润y表示为x的函数。

定义函数I表示不超过??x?I的周期性。

判定函数f??ln的奇偶性。

设f?esinx，问在0，上f是否有界？

函数y?f的图形是图中所示的折线OBA，写出y?f

的表达式。

x，?x， 0?x?2；0?x?4；

设f 求f及??f?．

2?x?4．4?x?6．?x?2，?x?2，

1，x?0；

设f2x?1，求f及??f?．

1，x?0．

2016

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ex，x?0；?0，x?0；

求f的反函数设f2

x， x?0．??x，x?0．

g及f．

2

设f?

x，x?0；，2求f．?x，x?0． 2x，x?0；

设f??求f?f?．

2， x?0．

0，x?0；?x?1，x?1；

设f 求f??．

x，x?0．?x，x?1．

ex， x?0；?

设f??x?1，0?x?4；求f的反函数?．

x?1， ４?x．?

x，x?1；?2

设f??x，1?x?4；求f的反函数?．

x

2，4?x．

2

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1?x，x?0；

设f??求：

x，x?0．

f的定义域；

2

f及f．。

1，x??1；?22

设f??x， x?1；求f?f?5f．

1， x?1．

2x1，x?0；

设f??2求f．

x4，x?0．

x2，x?1；??

设f??，求f及f．

44?log2x，x?1．

1x0；?x?2，

设f??0， x?0；试作出下列函数的图形 x2， x?0．?y?f；y?fy?

ff

2

201622 / 28

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．

：

2x0；??x，

设f??1，x?0试作出下列函数的图形

x?2，0?x?2?

f?f

y?f；y?f；y?．

2

：

2x,x?1；

设f?? 试画出y?f，y??f,y?f的图形。 1?x?2．x?1，

1x0，，

设f??求?，使f在??1，1?上是偶函数。 2

0x1．?x?x，

，当x?0时，?

设f??0， 当x?0时，

1

，当x?0时．?x?x?求f；

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求?，使f在是奇函数。

1x0；?0， ?

设f??x， 0?x?1；F?f，

2x， 1?x?2．?

求F的表达式和定义域；画出F的图形。

0， ?1?x?0;?

设f??x?1， 0?x?1；求f的定义域及值域。

2x， 1?x?2．

1x，x?0；

设f??x求f、f及f的值。

2，x?0.

2??x?x?1，x?1；

设f??求f?f，其中a?0．

2

2x?x，x?1

求函数y?lnx?1的反函数，并作出这两个函数的图形。

求函数y?sin的反函数y??，并作出这两个函数的图形。

求函数y?tan的反函数y??，并作出这两个函数的图形。 利用图形的叠加作出函数y?x?sinx的图形。

利用图形的叠加作出函数y?x?

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1x

的图形。

作函数y?

1x?1

的图形。

作函数y?ln的图形。 作函数y?arcsin的图形。

作出下列函数的图形：

y?x?1；y??x；

22

2

y?．

设函数y?lgax，就a?1和a??2时，分别作出其草图。

利用y?2的图形作出下x

列函数的图形

：

y?2x

1；y?

1x3

2

．

利用y?sinx的图形作出下y?sin2x；y?sin。

2016

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列函数的图形：

利用y?sinx的图形作出下列函数的图形：y?y?

1212sinx；sinx?1

π

π2

x

的反函数，并指出其定义域。x

求函数y?ch的反函数，并指出其定义域。

3x

求函数y?Sh的反函数，并指出其定义域。

3求函数y?ln

求函数，y?

ee

2x2x

11

的反函数，并指出其定义域。

验证1?cthx??验证1?thx?

2

2

1shx

2

2

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。

1

chx

验证Ch?Ch?Ch??Sh?Sh?。

验证Ch?Ch?Ch??Sh?Sh?。 验证Sh?Sh?Ch??Ch?Sh?。

验证Sh?Sh?Ch??Ch?Sh?。

。

验证2Shx?Chx?Sh2x。

证明Shx?Chx?Ch2x。

设f?arctanx ，??

x?a

，

1?ax

2

2

，验证：ff?f。

x?1，求f。

设f?1?lnx，??

设f?

x1?x

2

，??

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x

1x

，求f。

设f?sinx，??2，求f、??f?及f?f?。

2016

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