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2023年12月24日发(作者：repository name翻译)
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反比例函数难题
1、如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn-1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y=4（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An-1An都在x轴上．则点A10的坐标为
x
2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=k的图象上．
x
（1）求AB的长；
（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=图2），求k1的值；
（3）在条件（2）下，直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交第一象限内的双曲线kk的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=
1的图象（如xxy=k于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明x理由．
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1.已知反比例函数y=k和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），2x（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：
（3）根据函数图象，求不等式k＞2x-1的解集；
2x（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
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1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝m (m≠0)的图象交x于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段OA＝5，E为x轴负半轴上4一点，且sin∠AOE＝．
5(1)求该反比例函数和一次函数；
(2)求△AOC的面积．
4(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝ ，OA＝5，
5∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝ADAD4 ＝＝ ，
AO55.
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∴AD＝4，DO＝OA2-DA2=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为(－3，4)，
mm12将A的坐标为(－3，4)代入y＝ ，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y＝－，
x-3x∵点B在反比例函数y＝－1212的图象上，∴n＝－＝－2，点B的坐标为(6，－2)，
x6k＝－2，－3k＋b=4，3 ∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过A、B两点，∴，∴ 6k＋b＝－2 b＝22 ∴ 该一次函数解析式为y＝－x＋2．
322(2)在y＝－x＋2中，令y＝0，即－x＋2=0，∴x=3，
3311∴点C的坐标是（3，0），∴OC＝3， 又DA=4， ∴S△AOC＝×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6．
22练习1.已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y
= 的图象上，3且sin∠BAC= ．
5（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标．
kx（1）把C（1，3）代入y
= 得k=3
kx
CD3设斜边AB上的高为CD，则sin∠BAC==
AC5∵C（1，3） ∴CD=3，∴AC=5
（2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有：AD=5－3=4，AO=4－1=3
∵△ACD∽ABC ∴AC=AD·AB
AC25∴AB==
AD42513∴OB=AB－AO=－3= 图1
4413此时B点坐标为（，0）
4
2222.
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图2
y
C
当点B在点A左侧时，如图2
此时AO=4＋1=5
255OB= AB－AO=－5=
445此时B点坐标为（－，0）
4135所以点B的坐标为（，0）或（－，0）．
44
A
O
D B x
1.如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．
（1）求两函数的解析式．
（2）求两函数的交点A、C的坐标．
（3）若点P是y轴上一动点，且求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得
-k=3
∴
，
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）由，解得，，3），（3，
） ∴点A、C的坐标分别为（（3）设点P的坐标为（0，m）
直线与y轴的交点坐标为M（0，2）
∵
.
.
∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，
∴点P的坐标为（0，）或（0，）
1.
如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．
解：（1）在上 ．
反比例函数的解析式为：．
点在经过上
，
，
解之得（2）是直线与
轴的交点一次函数的解析式为：当时， 点
1.(1)探究新知
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，
试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
① 如图2，点M，N在反比例函数试证明：MN∥EF．
② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行。
解：（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，
垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．
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（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．
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∴ CG∥DH．
∵ △ABC与△ABD的面积相等，
∴ CG＝DH．
∴ 四边形CGHD为平行四边形
∴ AB∥CD
（2）①证明：连结MF，NE．
利用同底等高的三角形面积相等，可知
∴S△EFM ＝S△EF N
由（1）中的结论可知：MN∥EF．
②如图所示， MN∥EF．
已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当（3）过点线段作直线与取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
过点于点作直线轴，交轴于点；是反比例函数图象上的一动点，其中轴交轴于点，交直线．当四边形的面积为6时，请判断的大小关系，并说明理由．
（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得
k=6,a=，正比例函数为(2)0 ,反比例函数为 (3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（ 由四边形OADM的面积为6得 3+6+3=3t 解得t=4 故点M为（ D点为（3，4） 从而M点为BD中点，BM=DM .
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