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2023年12月24日发(作者：模仿网站制作)

反比例函数的典型例题一

例 下面函数中，哪些是反比例函数？

（1）yx81；（2）y；（3）y4x5；（4）y5x1；（5）xy.

3x8k(k0)，它也可变形为ykx1及xykx解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．

说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，y的形式，（4），（5）就是这两种形式．

反比例函数的典型例题二

例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．

(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）；

(2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）；

(3)圆面积与半径的关系 （ ）；

(4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；

(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）；

(6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；

(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）；

(8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；

(9)x越来越大时，y越来越小，y与x的关系 （ ）；

(10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）．

答：

说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义．

反比例函数的典型例题三

例 已知反比例函数y(a2)xa26，y随x增大而减小，求a的值及解析式．

分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题．

解 因为y(a2)xa26是反比例函数，且y随x的增大而减小，

所以a261,a5,a20. 解得

a2.所以a5，解析式为y52x．

反比例函数的典型例题四

例 （1）若函数y(m1)xm22是反比例函数，则m的值等于（ ）

A．±1 B．1 C．3 D．－1

（2）如图所示正比例函数ykx(k0）与反比例函数y1x的两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC．若ABC的面积为S，A．S1 B．S2 C．S3 D．S的值不确定

解：（1）依题意，得m10,m221, 解得m1．

故应选D．

（2）由双曲线y1x关于O点的中心对称性，可知：SOBASOBC．

∴S2SOBA212OBABOBAB1．

故应选A．

图像相交于A、C则：

反比例函数的典型例题五

例 已知yy1y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x1时，y4；当x3时，y5，求x1时，y的值．

分析 先求出y与x之间的关系式，再求x1时，y的值．

解 因为y1与x成正比例，y2与x成反比例，

k2(k1k20)．

xk所以yy1y2k1x2．

x所以y1k1x,y2将x1，y4；x3，y5代入，得

k1k24, 解得

13k1k25.3所以y11k,18

21k.281121x．

88x11214．

88所以当x1时，y说明 不可草率地将k1、k2都写成k而导致错误，题中给出了两对数值，决定了k1、k2的值．

反比例函数的典型例题六

例 根据下列表格x与y的对应数值．

x

……

1 2 3

y

…

4 5 6

…

6 3 2 1.5 1.2 1

…

（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

解：（1）图像如右图所示．

（2）根据图像，设yk(k0)，取x1,y6代入，得x6k． ∴1k6．

∴函数解析式为y6(x0)．

x说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性．

反比例函数的典型例题七

例（1）一次函数yx1与反比例函数y3在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）

x

（2）一次函数ykxk21与反比例函数yk在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）

x

解：yx1的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C；又y故排除D．∴答案应选A．

2（2）若k0，则直线ykx(k1)经过第一、三、四象限，双曲线y3的图像两支在第一、三象限，xk的图像两支在第一、三象x2限，而选择支A、B、C、D中没有一个相符；若k0，则直线ykx(k1)经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C正确．应选C．

反比例函数的典型例题八

例 已知函数ymx4m122是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y随x的增大而减小，3求反比例函数的解析式．

解：因为y是x的反比例函数，

所以4m221，所以m12或m12.

因为此函数图像在每一象限内，y随x的增大而减小，

所以m130，所以m13，所以m12，

所以反比例函数的解析式为y56x.

说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数ykx小，当k0时，y随x增大而增大．

(k0)，当k0时，y随x增大而减

反比例函数的典型例题九

例 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．

（1）写出用高表示长的函数关系式；

（2）写出自变量x的取值范围；

（3）当x3厘米时，求y的值；

（4）画出函数的图像．

分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式．

解 （1）因为长方体的长为y厘米，宽为5厘米，高为x厘米，

所以5xy100，所以y20．

x（2）因为x是长方体的高．所以x0．即自变量x的取值范围是x0．

（3）当x3时，y2026（厘米）

332 5 10 15

…

（4）用描点法画函数图像，列表如下：

x

…

0.5

y

…

40 10 4 2

描点画图如图所示．

11

…

3

反比例函数的典型例题十

例 已知力F所作用的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S的图象大致是（ ）．

说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系．

解 据WFS，得15=FS，即F

15，所以F与S之间是反比例函数关系，故选（B）．

S

反比例函数的典型例题十一

例 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是200Pa，翻过来放，对桌面的压强是多少？

23

解：由物理知识可知，压力F，压强p与受力面积S之间的关系是pF.因为是同一物体，F的数值S不变，所以p与S成反比例．

设下底面是S0，则由上底面积是由p2S0，

3F，且SS0时，p200，

S有FpS200S0200S0.

因为是同一物体，所以F200S0是定值．

所以当S

F200S02300(Pa).

S0时，p23SS03 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕．

说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的．

反比例函数的典型例题十二

例 如图，P是反比例函数yk上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式．

x

分析 求反比例函数的解析式，就是求k的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．

解 设P点坐标为(x,y)．

因为P点在第二象限，所以x0,y0．

所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为x,y．

又xy2，所以xy2．因为kxy，所以k2．

所以这个反比例函数的解析式为y2．

xk中x说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于y的k．

反比例函数的典型例题十三

例 当n取什么值时，y(n22n)xn随x增大而增大还是减小？

分析 根据反比例函数的定义y2k(k0)可知，y(n22n)xnn1是反比例函数，必须且只需x2n1是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，yn22n0且n2n11．

解

y(n22n)xn2n2n0,

2nn11,2n1是反比例函数，则

∴n0且n2,

n0或n1.2即

n1．

故当n1时，y(n22n)xnn1表示反比例函数：y1．

xk10，

∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y随x的增大而增大．


本文标签： 函数 反比例 图像 面积 关系

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