初二函数知识点及经典例题

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第十八章 函数

一次函数

（一）函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数

1、一次函数的定义

一般地，形如ykxb（k，b是常数，且k0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b0时，一次函数ykx，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当b0，k0时，ykx仍是一次函数．

⑶当b0，k0时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

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(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-bk，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-bk，0）

（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

k0k0b0直线经过第一、二、三象限

b0直线经过第一、三、四象限

k0k0b0直线经过第一、二、四象限

直线经过第二、三、四象限

b0（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

一次

函数

kkxbk0

k，b

k0

k0

符号

b0

b0

b0

b0

b0

b0

yyyyyy图象

OxOxOxOxOxOx

y

性质

随x的增大而增大

y

随x的增大而减小

4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先

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描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0 b<0 b=0

经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限

k>0

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

k<0

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

6、正比例函数和一次函数及性质

正比例函数 一次函数

概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做数叫做正比例函数，其中k叫做比例系x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数数 是一种特殊的一次函数.

自变量 X为全体实数

范 围

图 象 一条直线

必过点 （0，0）、（1，k）

（0，b）和（-bk，0）

走 向 k>0时，直线经过一、三象限； k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限

k<0时，直线经过二、四象限 k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限

k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限

k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限

增减性 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）

k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）

倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

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图像的

平 移

b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

6、直线yk1xb1（k10）与yk2xb2（k20）的位置关系

（1）两直线平行k1k2且b1b2 （2）两直线相交k1k2

（3）两直线重合k1k2且b1b2 （4）两直线垂直k1k21

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

反比例函数

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如ykx（k为常数，ko）的函数称为反比例函数。ykx还可以写成ykx1

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数k0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

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⑵反比例函数的图像是双曲线，ykx（k为常数，k0）中自变量x0，函数值y0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是yx或yx）。

⑷反比例函数ykx（k0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线ykx （k0）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4．反比例函数性质如下表：

k的取值

图像所在象限 函数的增减性

ko

一、三象限

在每个象限内，y值随x的增大而减小

ko

二、四象限

在每个象限内，y值随x的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数ykx中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数ykx2k2k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数ykx，（k0）即ykx1（k0）又在第二，四象限内，则k0可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：

2k2k21解得k1或k1k02

k0k1

k1时函数ykx2k2k2为y1x

【例2】在反比例函数y1x的图像上有三点x1，y1，x2，y2，x3，y3 。若x1x20x3则下列各式正确的是（ ）

A．y3y1y2 B．y3y2y1 C．y1y2y3 D．y1y3y2

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得y111x，y21x，y312x

3x1x20x3，y3y1y2所以选A

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解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y1x的图像

描出三个点，满足x1x20x3观察图像直接得到y3y1y2选A

解法三：用特殊值法

xx2,x1120x3,令x121,x31y12,y21,y31,y3y1y2

【例3】如果一次函数ymxnm0与反比例函数y3nm1x的图像相交于点（2，2），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

【解析】

直线ymxn与双曲线y3nm11mn2m2xx相交于2，2，

2解得3nm1n1y2x1直线为y2x1,双曲线为y1x解方程组1yx得x11y11

x12y222另一个点为1，1

【例4】 如图，在RtAOB中，点A是直线yxm与双曲线ymx在第一象限的交点，且SAOB2，则m的值是_____.

图

解:因为直线yxm与双曲线ymx过点A,设A点的坐标为xA,yA.

则有ymAxAm,yAx.所以mxAyA.

A 又点A在第一象限,所以OBxAxA,AByAyA.

所以SAOB12OBAB112xAyA2m.而已知SAOB2.

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所以m4.

三、练习题

1.反比例函数y2x的图像位于（ ）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

2.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（ ）

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（ ）

y

y

y

y

o

x

o

x

o

x

o

x

A B C D

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，

气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3

)

的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A、不小于535333

4m B、小于4m C、不小于445m D、小于5m5．如图 ，A、C是函数y1x的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S

y1，RtΔCOD的面积为S2则 （ ）

A． S1 ＞S2 B． S1

AC． S1=S2 D． S1与S2的大小关系不能确定

OBx6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=n1CDx的图象都经过点A（-2，1）.

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；（3）△AOB的面积．

7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（12，m）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

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AOCB

8． 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.

（1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数ymx的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积。

四、课后作业

1．对与反比例函数y2x，下列说法不正确的是（ ）

A．点（2,1）在它的图像上 B．它的图像在第一、三象限

C．当x0时，y随x的增大而增大D．当x0时，

y随x的增大而减小

2.已知反比例函数ykxk0的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ）

A、（2，1） B、（2，-1） C、（2，4） D、（-1，-2）

3．在同一直角坐标平面内，如果直线ykk21x与双曲线yx没有交点，那么k1和k2的关系一定是（ ）

A.

k1+k2=0 B.

k1·k2<0 C.

k1·k2>0 D.k1=k2

4. 反比例函数y＝kx的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．

5. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝1x的图象上，则m＝__________．

6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．

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7. 已知反比例函数y12m的图象上两点Ax1,y1,Bx2,y2，当x10x2时，有y1y2，则m的取值范围是？

x(1)求y和x之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y的值； (3)y＝-2时，x的值。

8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：

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