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2023年12月24日发(作者:html怎么写java代码)
高中数学函数知识点总结(全)
高中数学函数知识点总结
1.在处理集合时,需要注意集合的代表元素以及元素的“确定性、互异性、无序性”。在进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。可以借助数轴和文氏图来解决集合问题。需要注意空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。例如,对于集合A={x|x^2-2x-3=0}和B={x|ax=1},若B是A的子集,则实数a的值构成的集合为。
2.注意以下性质:(1)集合{a1,a2,……,an}的所有子集的个数是2n;这是因为每个元素都有两种选择(在或不在),所以总共有2n种情况。但要注意,这2n种情况中包含了所有元素都在或都不在的情况,因此真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.(2)若A是B的子集,则A∩B=A,A∪B=B;(3)德摩根定律:C∪(A∪B)=(C∪A)∩(C∪B),C∩(A∩B)=(C∩A)∪(C∩B)。需要注意的是,有些版本可能使用不同的符号表示这些定律。
4.在解决问题时,可以使用补集思想(排除法、间接法)。例如,已知关于x的不等式ax-5<0的解集为M,若3∈M且5∉M,则求实数ax^2-a的取值范围。
7.映射是指函数f:A→B,其中A中元素任意,B中元素唯一对应。可以构成一对一映射、多对一映射、允许B中有元素无原象的映射。映射个数的求法为nm,其中m和n分别为集合A和B中元素的个数。例如,若A={1,2,3,4},B={a,b,c},则A到B的映射有4*3=12个,B到A的映射有3*3=9个,A到B的一一映射有6个。
8.函数的三要素是定义域、对应法则和值域。要比较两个函数是否相同,需要注意它们的表达式是否相同以及定义域是否一致。
9.求函数的定义域时,需要注意分式中的分母不为零,偶次方根下的数(或式)大于或等于零。例如,函数y=x(4-x)/lg(x-3)^2的定义域为。
10.求复合函数的定义域时,需要注意两个函数的定义域是否相容,即后一个函数的值域是否在前一个函数的定义域内。
1.函数值域的求法
1.1 直接观察法
对于一些比较简单的函数,可以通过观察得到其值域。
例如,求函数 $y=leftlfloorfrac{1}{x}rightrfloor+1$ 的值域。
1.2 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如,求函数 $y=x^2-2x+5$,$xin[-1,2]$ 的值域。
1.3 判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面。
1.3.1 二次函数
对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$,其值域为
$[frac{Delta}{4a},+infty)$ 或 $(-infty,frac{Delta}{4a}]$,其中 $Delta=b^2-4ac$。
例如,求函数 $y=x^2-2x+5$ 的值域。
1.3.2 分式函数
对于分式函数 $y=frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$,其值域为 $(-infty,frac{4ac-b^2}{4ad})cup[frac{4ac-b^2}{4ad},+infty)$。
例如,求函数 $y=frac{x^2-2x+5}{x+1}$ 的值域。
1.4 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例如,求函数 $y=sin x+cos x$ 的值域。
1.5 函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容。
例如,求函数 $y=x^3-3x^2+3x$ 的值域。
1.6 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例如,求函数 $y=x+sqrt{1-x^2}$ 的值域。
1.7 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例如,求函数 $y=sqrt{1-x^2}$ 的值域。
1.8 倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况。
例如,求函数 $y=frac{1}{x^2+2x+2}$ 的值域。
2.求函数的解析式时,注意函数的定义域
在求函数的解析式时,要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商。
例如,求函数 $f(x)=frac{x-2}{x^2+2x+2}$ 的值域。
3.如何用定义证明函数的单调性?
可以通过取值、作差、判正负等方法,利用函数的定义证明其单调性。
例如,证明函数 $f(x)=x^2$ 在 $[0,+infty)$ 上单调递增。
判断函数单调性的方法有三种:
1) 定义法:根据定义,设任意的x1和x2,找出f(x1)和f(x2)之间的大小关系。可以变形为求(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)与0或1的关系。
2) 参照图象:若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。
3) 利用单调函数的性质:①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的;②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的;③如果函数f1(x)和f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;④如果正值函数f1(x)和f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(x)和f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;⑤函数f(x)与1/f(x)在f(x)的同号区间里反向变化;⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的;⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
函数f(x)具有奇偶性的条件是什么?若f(-x)=-f(x)总成立,则f(x)为奇函数,即函数图象关于原点对称;若f(-x)=f(x)总成立,则f(x)为偶函数,即函数图象关于y轴对称。
注意如下结论:在公共定义域内,两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
2.若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)=0.
3.已知f(x)是定义域在(-6,0)、(0,6)上的奇函数,当x>0时f(x)=x,求当x<0时f(x)的值。
判断函数奇偶性的方法:
一、定义域法:一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,这是函数为奇(偶)函数的必要条件。若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数。
二、奇偶函数定义法:在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算f(-x),然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性。这种方法可以做如下变形:
f(x)+f(-x)=0,为奇函数;
f(x)-f(-x)=0,为偶函数;
f(x)/f(-x)=1,为偶函数;
f(x)/f(-x)=-1,为奇函数。
三、复合函数奇偶性:
f(g)奇,g(x)奇或f(g)偶,g(x)偶,结果为奇;
f(g)偶,g(x)奇或f(g)奇,g(x)偶,结果为偶;
f(x)+g(x)为非奇非偶函数;
f(x)*g(x)为偶函数。
18.若存在实数T(T≠0),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数,T是一个周期。例如,若f(x+a)=-f(x),则f(x)以2a为周期。
19.常用的图象变换包括:
f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称;
点(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y);
点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y);
点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y);
f(x)+b的图象上移b个单位;
f(x-b)的图象右移b个单位;
f(ax)的图象横向压缩,a>1时压缩,0
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