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2023年12月24日发(作者:html怎么写java代码)

高中数学函数知识点总结(全)

高中数学函数知识点总结

1.在处理集合时,需要注意集合的代表元素以及元素的“确定性、互异性、无序性”。在进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。可以借助数轴和文氏图来解决集合问题。需要注意空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。例如,对于集合A={x|x^2-2x-3=0}和B={x|ax=1},若B是A的子集,则实数a的值构成的集合为。

2.注意以下性质:(1)集合{a1,a2,……,an}的所有子集的个数是2n;这是因为每个元素都有两种选择(在或不在),所以总共有2n种情况。但要注意,这2n种情况中包含了所有元素都在或都不在的情况,因此真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.(2)若A是B的子集,则A∩B=A,A∪B=B;(3)德摩根定律:C∪(A∪B)=(C∪A)∩(C∪B),C∩(A∩B)=(C∩A)∪(C∩B)。需要注意的是,有些版本可能使用不同的符号表示这些定律。

4.在解决问题时,可以使用补集思想(排除法、间接法)。例如,已知关于x的不等式ax-5<0的解集为M,若3∈M且5∉M,则求实数ax^2-a的取值范围。

7.映射是指函数f:A→B,其中A中元素任意,B中元素唯一对应。可以构成一对一映射、多对一映射、允许B中有元素无原象的映射。映射个数的求法为nm,其中m和n分别为集合A和B中元素的个数。例如,若A={1,2,3,4},B={a,b,c},则A到B的映射有4*3=12个,B到A的映射有3*3=9个,A到B的一一映射有6个。

8.函数的三要素是定义域、对应法则和值域。要比较两个函数是否相同,需要注意它们的表达式是否相同以及定义域是否一致。

9.求函数的定义域时,需要注意分式中的分母不为零,偶次方根下的数(或式)大于或等于零。例如,函数y=x(4-x)/lg(x-3)^2的定义域为。

10.求复合函数的定义域时,需要注意两个函数的定义域是否相容,即后一个函数的值域是否在前一个函数的定义域内。

1.函数值域的求法

1.1 直接观察法

对于一些比较简单的函数,可以通过观察得到其值域。

例如,求函数 $y=leftlfloorfrac{1}{x}rightrfloor+1$ 的值域。

1.2 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如,求函数 $y=x^2-2x+5$,$xin[-1,2]$ 的值域。

1.3 判别式法

对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面。

1.3.1 二次函数

对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$,其值域为

$[frac{Delta}{4a},+infty)$ 或 $(-infty,frac{Delta}{4a}]$,其中 $Delta=b^2-4ac$。

例如,求函数 $y=x^2-2x+5$ 的值域。

1.3.2 分式函数

对于分式函数 $y=frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$,其值域为 $(-infty,frac{4ac-b^2}{4ad})cup[frac{4ac-b^2}{4ad},+infty)$。

例如,求函数 $y=frac{x^2-2x+5}{x+1}$ 的值域。

1.4 函数有界性法

直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。

例如,求函数 $y=sin x+cos x$ 的值域。

1.5 函数单调性法

通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容。

例如,求函数 $y=x^3-3x^2+3x$ 的值域。

1.6 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。

例如,求函数 $y=x+sqrt{1-x^2}$ 的值域。

1.7 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。

例如,求函数 $y=sqrt{1-x^2}$ 的值域。

1.8 倒数法

有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况。

例如,求函数 $y=frac{1}{x^2+2x+2}$ 的值域。

2.求函数的解析式时,注意函数的定义域

在求函数的解析式时,要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商。

例如,求函数 $f(x)=frac{x-2}{x^2+2x+2}$ 的值域。

3.如何用定义证明函数的单调性?

可以通过取值、作差、判正负等方法,利用函数的定义证明其单调性。

例如,证明函数 $f(x)=x^2$ 在 $[0,+infty)$ 上单调递增。

判断函数单调性的方法有三种:

1) 定义法:根据定义,设任意的x1和x2,找出f(x1)和f(x2)之间的大小关系。可以变形为求(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)与0或1的关系。

2) 参照图象:若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。

3) 利用单调函数的性质:①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的;②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的;③如果函数f1(x)和f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;④如果正值函数f1(x)和f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(x)和f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;⑤函数f(x)与1/f(x)在f(x)的同号区间里反向变化;⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的;⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。

函数f(x)具有奇偶性的条件是什么?若f(-x)=-f(x)总成立,则f(x)为奇函数,即函数图象关于原点对称;若f(-x)=f(x)总成立,则f(x)为偶函数,即函数图象关于y轴对称。

注意如下结论:在公共定义域内,两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

2.若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)=0.

3.已知f(x)是定义域在(-6,0)、(0,6)上的奇函数,当x>0时f(x)=x,求当x<0时f(x)的值。

判断函数奇偶性的方法:

一、定义域法:一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,这是函数为奇(偶)函数的必要条件。若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数。

二、奇偶函数定义法:在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算f(-x),然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性。这种方法可以做如下变形:

f(x)+f(-x)=0,为奇函数;

f(x)-f(-x)=0,为偶函数;

f(x)/f(-x)=1,为偶函数;

f(x)/f(-x)=-1,为奇函数。

三、复合函数奇偶性:

f(g)奇,g(x)奇或f(g)偶,g(x)偶,结果为奇;

f(g)偶,g(x)奇或f(g)奇,g(x)偶,结果为偶;

f(x)+g(x)为非奇非偶函数;

f(x)*g(x)为偶函数。

18.若存在实数T(T≠0),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数,T是一个周期。例如,若f(x+a)=-f(x),则f(x)以2a为周期。

19.常用的图象变换包括:

f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称;

点(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y);

点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y);

点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y);

f(x)+b的图象上移b个单位;

f(x-b)的图象右移b个单位;

f(ax)的图象横向压缩,a>1时压缩,0

af(x)的图象纵向压缩,a>1时拉伸,0

1.f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称,联想点为(x,y)和(x,-y)。

2.f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称,联想点为(x,y)和(-x,-y)。

3.f(x)与f-1(x)的图象关于直线y=x对称,联想点为(x,y)和(y,x)。

4.f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称,联想点为(x,y)和(2a-x,y)。

5.f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称,联想点为(x,y)和(2a-x,0)。

6.对于函数y=f(x),左移a个单位为y=f(x+a),右移a个单位为y=f(x-a),上移b个单位为y=f(x)+b,下移b个单位为y=f(x)-b。

7.“翻折”变换包括把x轴下方的图像翻到上面,即f(x)变为|f(x)|;把y轴右方的图像翻到左边,即f(x)变为f(|x|)。

8.给定点(a,b)和直线y=kx+b,一次函数的一般式为y=kx+b,反比例函数的一般式为y=k/x,二次函数的一般式为y=ax^2+bx+c。

9.二次函数的顶点式为y=a(x-m)^2+n,其中(m,n)为顶点坐标;二次函数的根的关系为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a,两根的乘积为c/a,两根的差的绝对值为|b|/a。

10.二次函数的三种表达形式为一般式、顶点式和根式。应用包括解二次方程和二次不等式,以及求闭区间上的最值。

给定函数f(x),满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2.要求求出f(x)在区间[-2,1]上的值域。

首先,根据函数的定义式,我们可以得到f(0)=0.然后,我们可以通过代入一些特殊的值来求出函数的一些性质。

令y=-x,我们得到f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)=-f(-x)。因此,f(x)是奇函数。

令y=x,我们得到f(2x)=2f(x),因此f(x)是正比例函数型的抽象函数。

由于f(-1)=-2,我们可以代入x=-1,得到f(-2)=f(-1)+f(-1)=-4.然后,我们可以代入x=1,得到f(2)=2f(1)。由于f(2)=f(-2),我们可以得到2f(1)=-4,即f(1)=-2.

因此,f(x)在[-2,1]上的值域为[-4,-2]。

例2:

已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$均有$f(x+y)+2=f(x)+f(y)$,且当$x>0$时,$f(x)>2$,$f(3)=5$,求不等式$f(a^2-2a-2)<3$的解。

首先,我们可以将不等式中的$a^2-2a-2$写成$(a-1)^2-3$的形式,即$f((a-1)^2-3)<3$。设$t=(a-1)^2-3$,则$t<0$。又因为$f(3)=5$,所以$f(2+(a-1)^2)=f(2)+f((a-1)^2)<7$,即$f(t+2)<7$。将$f(t+2)$表示成$f(t)+f(2)$的形式,得到$f(t)+f(2)<7$,即$f(t)<5$。因此,$t=(a-1)^2-3<0$且$f(t)<5$,解得$-1

例3:

已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$都有$f(xy)=f(x)f(y)$,且$f(-1)=1$,$f(27)=9$,当$0leq x<1$时,$f(x)in[0,1]$。

1)判断$f(x)$的奇偶性;

由$f(-1)=f((-1)^2)=f(1)=f(1)^2$,可知$f(1)=1$或$f(1)=-1$。若$f(1)=-1$,则对任意实数$x$,$f(x)=f(xcdot1)=f(x)f(1)=-f(x)$,即$f(x)=0$,与$f(27)=9$矛盾。因此,$f(1)=1$,即$f(x)$为偶函数。

2)判断$f(x)$在$[0,+infty)$上的单调性,并给出证明;

当$x>0$时,$f(x)>0$。因为$f(x)>0$,所以$f(sqrt{x})=f(sqrt{x}cdotsqrt{x})=f(x)>0$,即$f(x)$在$(0,+infty)$上单调递增。

3)若$f(x)$在$(0,+infty)$上是增函数,解不等式$f(x)+f(x-frac{1}{x})leq0$。

首先,$x>0$时,$f(x)>0$,且$f(-1)=1>0$。因此,$f(x)$在$(-infty,0)$上单调递减。设$t=x-frac{1}{x}$,则$x^2-tx-1=0$,解得$x=frac{t+sqrt{t^2+4}}{2}$。因为$f(x)>0$,所以$f(t+sqrt{t^2+4})=f(x^2)>0$。又因为$f(x)$在$(0,+infty)$上单调递增,所以$f(t)0$,所以$f(x)+f(x-frac{1}{x})>0$,不等式$f(x)+f(x-frac{1}{x})leq0$无解。

例4:

设函数$f(x)$的定义域是$(-infty,+infty)$,满足条件:存在$x_1neq x_2$,使得$f(x_1)neq f(x_2)$;对任何$x$和$y$,$f(x+y)=f(x)f(y)$成立。

1)求$f(0)$;

当$x=y=0$时,$f(0)=f(0)^2$,即$f(0)=0$或$f(0)=1$。如果$f(0)=0$,则对任何$x$,$f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$,与存在$x_1neq x_2$,使得$f(x_1)neq f(x_2)$矛盾。因此,$f(0)=1$。

2)对任意值$x$,判断$f(x)$值的符号。

当$x=0$时,$f(x)=f(0)=1>0$。当$x>0$时,$f(x)=f(frac{x}{2}+frac{x}{2})=f(frac{x}{2})^2>0$。当$x0$。因此,$f(x)>0$。

例5:

是否存在函数$f(x)$,使下列三个条件:①$f(x)>0,xin N$;②$f(a+b)=f(a)f(b),a,bin N$;③$f(2)=4$同时成立?若存在,求出$f(x)$的解析式,若不存在,说明理由。

设$f(1)=a$,则$f(2)=f(1+1)=f(1)^2=a^2=4$,解得$a=2$。因为$f(a+b)=f(a)f(b)$,所以$f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=2cdot4=8$,$f(4)=f(2+2)=f(2)^2=16$,$f(5)=f(2+3)=f(2)f(3)=64$,$f(6)=f(3+3)=f(3)^2=64$,$f(7)=f(2+5)=f(2)f(5)=512$,$f(8)=f(4+4)=f(4)^2=256$,$f(9)=f(3+6)=f(3)f(6)=512$,$f(10)=f(5+5)=f(5)^2=4096$,$f(11)=f(2+9)=f(2)f(9)=$,$cdots$,可以发现,$f(n)=2^{2^{lfloorlog_2nrfloor-1}}$。因此,存在函数$f(x)$,满足条件①、②、③,其解析式为$f(x)=2^{2^{lfloorlog_2xrfloor-1}}$。

例6:

设$f(x)$是定义在$(0,+infty)$上的单调增函数,满足$f(xy)=f(x)+f(y)$,$f(3)=1$,求:(1)$f(1)$;(2)若$f(x)+f(x-8)leq2$,求$x$的取值范围。

1)当$x=1$时,$f(x)=f(1cdot1)=f(1)+f(1)$,即$f(1)=frac{1}{2}f(1)$,解得$f(1)=0$。

2)$f(x)+f(x-8)=f(x)+f(frac{x}{8})leq2$,即$f(x)+f(frac{x}{8})leq2$。因为$f(x)$是单调增函数,所以$f(x)geq f(3)=1$,$f(frac{x}{8})geq f(frac{3}{8})$。因此,$f(x)+f(frac{x}{8})geq f(3)+f(frac{3}{8})>2$。因此,不等式$f(x)+f(x-8)leq2$无解。

例7:

设函数$y=f(x)$的反函数是$y=g(x)$。如果$f(ab)=f(a)+f(b)$,那么$g(a+b)=g(a)cdot g(b)$是否正确,试说明理由。

设$c=f(1)$,则$f(n)=nf(1)=cn$,其中$nin N$。因为$f(ab)=f(a)+f(b)$,所以$c^{ab}=c^acdot c^b$,即$c^{a+b}=c^acdot c^b$。因此,$f(a+b)=f(a)+f(b)$满足Cauchy函数方程,由此可知$f(x)=cx$,$g(x)=frac{x}{c}$。因此,

$g(a+b)=frac{a+b}{c}=frac{a}{c}cdotfrac{b}{c}=g(a)cdot

g(b)$,结论正确。

例9:

已知函数$f(x)(xneq0)$满足$f(xy)=f(x)+f(y)$。

1)求证:$f(1)=f(-1)=0$;

当$x=1$时,$f(y+1)=f(y)+f(1)$,因此,$f(n)=nf(1)$,其中$nin N^*$。当$x=-1$时,$f(-y)=f(-1)+f(y)$,因此,$f(-n)=-nf(1)$,其中$nin N^*$。又因为$f(xy)=f(x)+f(y)$,所以$f(1)=f(-1)=0$。

2)求证:$f(x)$为偶函数;

当$x>0$时,$f(x)=f(sqrt{x}cdotsqrt{x})=f(sqrt{x})+f(sqrt{x})=2f(sqrt{x})$,即$f(x)$为偶函数。当$x<0$时,$f(x)=f(-sqrt{-

x}cdotsqrt{-x})=f(-sqrt{-x})+f(-sqrt{-x})=-2f(sqrt{-x})$,即$f(x)$为偶函数。

3)若$f(x)$在$(0,+infty)$上是增函数,解不等式$f(x)+f(x-frac{1}{x})leq0$。

设$t=x-frac{1}{x}$,则$x^2-tx-1=0$,解得$x=frac{t+sqrt{t^2+4}}{2}$。因为$f(x)>0$,所以$f(frac{t+sqrt{t^2+4}}{2})=f(x^2)>0$。又因为$f(x)$在$(0,+infty)$上单调递增,所以$f(t)0$,所以$f(x)+f(x-frac{1}{x})>0$,不等式$f(x)+f(x-frac{1}{x})leq0$无解。

例10:

已知函数$f(x)$对一切实数$x,y$满足$f(0)neq0$,$f(x+y)=f(x)f(y)$,且当$x1$,求证:

1)当$x>0$时,$0

当$x=0$时,$f(x)=f(0)^2>0$。当$x>0$时,$f(x+y)=f(x)f(y)1$,所以$f(-x)<1$,即$f(x)$在$(0,+infty)$上单调递减,并且$0

2)$f(x)$在$xin R$上是减函数。

当$x>0$时,$f(x+y)=f(x)f(y)frac{1}{f(-1-|x|)}>1$,因此$f(x)$在$(-infty,0)$上单调递减。因此,$f(x)$在$xin R$上是减函数。

1.已知函数f(x)对于所有实数x满足f(x+y)=f(x)f(y),且当x1,则当x>0时,f(x)的取值范围是()

A)(1.+∞)(B)(-∞。1)

C)(0.1)(D)(-1.+∞)

2.函数f(x)关于原点对称,且对于定义域内不同的x1、x2,有f(x1-x2)=1+f(x1)f(x2),则f(x)为()

A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数

C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数

3.已知不恒为零的函数f(x)对于所有实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)是()

A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数

C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数

函数:

1.函数的奇偶性

1)若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x);

2)若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)(在定义域内);

可用于求参数);

3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)+f(-x)=0或f(x)-f(-x)=0(f(x)≠0);

4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;

5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数的有关问题

1)复合函数的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出;

2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;

3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

4)曲线C1:f(x,y)=0,关于点(a,b)的对称曲线C2的方程为f(2a-x,2b-y)=0.

1.方程为:f(2a-x,2b-y)=0.如果函数y=f(x)在x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a对称。如果函数y=f(x-a)和y=f(b-x)的图像关于直线x=0对称,则它们是关于x=0对称的周期函数。

2.函数的周期性:(1) 如果y=f(x)在x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2) 如果y=f(x)是偶函数,并且它的图像关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数;(3) 如果y=f(x)是奇函数,并且它的图像关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函

数;(4) 如果y=f(x)关于点(a,0)和(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;(5) 如果y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6) 如果y=f(x)在x∈R时,f(x+a)=-f(x) (或f(x+a)=f(x)),则y=f(x)是周期为2的周期函数。

3.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)。如果a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min,则y=f(x)是周期为2的周期函数。

4.对于对应是否为映射的判断,需要注意两点:(1) A中的元素必须都有象且唯一;(2) B中的元素不一定都有原象,并且A中不同的元素在B中可以有相同的象。

5.需要熟练掌握函数单调性的定义证明,反函数的求解以及函数奇偶性的判断。

6.关于反函数,需要掌握以下结论:(1) 定义域上的单调函数必有反函数;(2) 奇函数的反函数也是奇函数;(3) 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4) 周期函数不存在反函数;(5) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

与y=f-1(x)互为反函数。设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A)。

处理二次函数问题时,需要结合数学和图形,确保正确性。二次函数在闭区间上必然有最值,可采用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系。

在解决一类参数范围问题时,可以利用一次函数在区间上的保号性和单调性。例如,可以使用(或)符号来表示范围。


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