高中文科数学知识点函数

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高中文科数学知识点精编——函数

一、函数的概念：

1.映射：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

2.函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.

4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

二、定义域的求法：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；

(5)指数为零，底不可以等于零；

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

三、值域的求法:

1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：

(1)求常见函数值域；

(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；

(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域

2.函数值域的常用方法：

(1)观察法：

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

(2)配方法：

(二次或四次)转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：f(x)axbxc,x(m,n)的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。

(3)换元法：

代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。

(4)分离常数法：

对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。

(5)反求法：

通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，--完整版学习资料分享----

2

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型如：yaxb,x(m,n)

cxd(6)判别式法：

若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值。

(7)最值法：

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y的值域。

(8)基本不等式法：

转化成型如：yxk(k0)，利用基本不等式公式来求值域。

x(9)单调性法：

函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)

(10)数形结合：

根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

(11)构造法：

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

(12)导数法：

利用导数求值域。

四、解析式的求法：

1.待定系数法：

已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。

2.函数性质法：

如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性），则可利用这些性质求出解析式。

3.图象变换法：

若给出函数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。

4.换元法：

5.配凑法：

6.赋值（式）法：

五、函数图象：

1.定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

2.画法：

（1）描点法：

（2）图象变换法：

常用变换方法有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换

3.区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

六、函数的单调性：

1.定义：

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

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间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质

2.图象的特点：

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

3.函数单调区间与单调性的判定方法：

(1)定义法：

任取x1，x2∈D，且x1

变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(2)图象法(从图象上看升降)

4.函数单调性的常用结论：

(1)若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)g(x)在这个区间上也为增（减）函数；

(2)若f(x)为增（减）函数，则f(x)为减（增）函数；

(3)若f(x)与g(x)的单调性相同，则yf[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则“同增异减”

yf[g(x)]是减函数；其规律：(4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；

(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象；

(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。

七、函数的奇偶性：

1.定义：

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

2.具有奇偶性的函数的图象的特征:

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

3.判断函数奇偶性的步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

确定f(－x)与f(x)的关系；

作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．

4.函数奇偶性的常用结论：

（1）如果一个奇函数在x0处有定义，则f(0)0，如果一个函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)0（反之不成立）

（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

（3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

（4）两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

（5）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为

11f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，

22该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

（6）若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；

若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

（7）多项式函数的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

八、函数的对称性：

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1.函数自对称：

（1）关于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是f(x)f(x)

（2）关于原点0,0对称的函数（奇函数）的充要条件是f(x)f(x)0

（3）关于直线yx对称的函数的充要条件是f1(x)f(x)

ab对称。

2（4）函数yf(x)满足f(ax)f(bx)时，函数yf(x)的图象关于直线x（注：特别地，当a=b=0时，该函数为偶函数）

（5）函数yf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图象关于点（（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数）

2.两个函数的图象对称性：

abc，）对称。22（1）yf(x)与yf(x)关于x轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

（2）yf(x)与yf(x)关于y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

（3）yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

（4）yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

（5）yf(x)与y2bf(2ax)关于点a,b对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点a,b对称。

（6）yf(ax)与y(xb)关于直线x1ab对称。

2（7）yf(x)与yf(x)关于直线yx对称。

九、函数的周期性：

1．定义：

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期。

2．函数周期性的性质：

（1）对于非零常数A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。

（2）对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)（3）对于非零常数A，函数yf(x)满足f(x)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)3.对称性和周期性之间的联系：

（1）函数yf(x)有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。

（2）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c（a≠b）时，函数yf(x)是周期函数。

（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，cc）、（b，）时，函数yf(x)是周期函数，且对称中22心距离的两倍，是函数的一个周期。）

（3）函数yf(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb）（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(ba)

十、一次函数：

形如ykxb,k,bR,k0的函数

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十一、二次函数：

1.一般式：f(x)axbxc,a0

2.顶点式：f(x)a(xm)n,a0

3.零点式：f(x)a(xx1)(xx2),a0

十二、反比例函数：

形如y22k,k0的函数

x1.我们常用分离常数的方法将一个分式型函数转化为反比例函数来研究：

bbbdabda(x)x()axbaaacacaaac或：()(1)(a,c0)

ddddcxdcccc(x)xxxcccc十三、“对号”函数：

b,a,b0的函数

xb1.一般地，对于函数yax,a,b0．

x形如yax（１）当a0,b0时，函数在(,bbbb)及(,)上为增函数，在(,0)及(0,)上aaaa为减函数．函数的值域是(,2ab][2ab,)．

（２）当a0,b0时，函数在(,0)及(0,)上都是增函数，值域为(,)．

十四、指数函数：

1.根式的概念：

①如果xa,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

2.根式的性质：

n①(na)a；

n②当n为奇数时，nana；

当n为偶数时，nan|a|3.分数指数幂的概念：

①规定：1）an个

3）anna (a0)

a (a0)

aaa(nN)；2）a01(a0)；

p1(pQ)

apmn②正数的正分数指数幂的意义是：a0的正分数指数幂等于0

③正数的负分数指数幂的意义是：anam(a0,m,nN,且n1)

mn

1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)

aa0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

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4.分数指数幂的运算性质：

①aaarrsrsr(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

③(ab)ab(a0,b0,rR)（注）上述性质对r、sR均适用。

5.指数函数：

函数名称 指数函数

定义

函数ya(a0且a1)叫做指数函数

xryyaxyaxy图象

y1(0,1)

y1(0,1)O定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

xOx图象过定点(0,1)，即当x0时，y1

非奇非偶

在R上是增函数 在R上是减函数

函数值的

变化情况

a变化

对图象

的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低

十五、对数函数：

1.对数：

①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是aN，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；

2）以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN，记作lnN

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；

2）对数恒等式：loga10，logaa1，a③运算性质：

如果a0,a1,M0,N0，那么

1）加法：logaMlogaNloga(MN)

2）减法：logaMlogaNlogalogaNbN，logaabb

x3）对数式与指数式的互化：xlogaNaN(a0,a1,N0)

M

N--完整版学习资料分享----

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n3）数乘：nlogaMlogaM(nR)

4）换底公式：logaNlogmN(a0,a0,m0,m1,N0)；

logmanlogablogba1；logambnlogab

m对数函数

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数

2.对数函数：

函数名称

定义

y图象

x1

ylogaxyx1

ylogax(1,0)O(1,0)xOx定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

图象过定点(1,0)，即当x1时，y0

非奇非偶

在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数

函数值的

变化情况

a变化

对图象 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高

的影响

十六、幂函数：

1.幂函数的定义

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

2.幂函数的图象

3.幂函数的性质

①图象分布：

幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：

所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)

③单调性：

如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

④奇偶性：

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

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当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq（其中p,q互pqp质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数．

⑤图象特征：

qp幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

十七、复合函数：

1.定义：

设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

2.定义域：

(1)已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：

，的定义域。

，

实际上是已知中间变量的通过解不等式(2)已知的取值范围，即的范围，即为求得的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：

。先利用求得的范围，实际上是已知直接变量的取值范围，即则的范围即是的定义域。

3.值域：

关键是由里向外，逐层解决。

4.解析式：

(1)已知(2)已知1、配凑法就是在成而得

，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代求复合函数求的解析式，直接把中的换成即可。

的常用方法有：配凑法和换元法。

中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换2、换元法就是先设入中消去得到，最后把中的直接换成即得

5.单调性：

（1）引理证明：

已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.

（2）复合函数单调性的判断：

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

增↗

增↗

增↗

减↘

减↘

增↗

减↘

减↘

减↘

增↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：

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1、确定函数的定义域；

2、将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。

3、分别确定分解成的两个函数的单调性；

4、若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。

6.奇偶性：

（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；

（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；

（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。

除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。

十八、抽象函数：

1.定义：

所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。

2.几类常见的抽象函数：

序号

1

抽象函数满足条件 代表函数

正比例函数f(x)kx（k0）

指数函数f(x)a2

（a0,a1）

对数函数f(x)logax（a0,a1）

x3

x或f(1)f(x1)f(x2)

x2xyf(x)

f(y)4

f(x1x2)f(x1)f(x2)或f()

幂函数f(x)x

余弦函数f(x)cosx

正切函数f(x)=tanx

a5

6

7

8

f(x)logax或f(x)x1

x3.定义域：

解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）

4.值域：

解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。

5.单调性：

解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。

6.奇偶性：

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解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。

7.周期性：

解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。

8.对称性：

解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

十九、反函数：

1.定义：

一般地，对于函数yf(x)，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值在D中总有惟一确定的x值与它对应，使yf(x)，这样得到x关于的反函数。记作xf(y)。习惯上，把它改写为yf2.求反函数的基本步骤：

（1）求值域：求原函数的值域

（3）对换：将x与y互换，得yf111y，f(x)y的函数叫函数y(x)(xA)。

（2）反解：视y为常量，从yfx中解出唯一表达式xf1y，

x，并注明定义域。

3.反函数yf1x与原函数yfx的关系：

1（1）yfx的定义域、值域分别为yfx的值域、定义域。

1（2）若yfx存在反函数，且yfx为奇函数，则yfx也为奇函数。

（3）若yfx为单调函数，则yf1x同yfx有相同的单调性。

1（4）yfx和yfx在同一直角坐标系中，图像关于yx对称。

4.存在反函数的条件是：函数为单调函数（或一一对应）

二十、分段函数：

所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

二十一、恒成立问题与存在性问题：

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