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2023年12月25日发(作者：telomeres)

高中数学：高斯函数[x]

一、定义

1、定义：设xR,用[x]表示不超过x的最大整数。通常称函数y[x]为取整函数，也叫高斯函数。

显然，其定义域是R，值域是Z。2、进一步，记{x}=x[x]则称函数y{x}为小数部分函数，它表示的是x的小数部分，显然，其定义域是R，值域是[0,1)。

二、高斯函数y=[x]的性质

性质1：xR,x1[x]x.性质2：函数y[x]是不减的函数，即x1,x2R,若x1x2,则[x1][x2].性质3：若mZ,则有[mx]m[x],(其中xR).

性质4：若x1,x2R,则[x1x2][x1][x2].性质5：若nN*,则[nx]n[x],(其中xR).x[x]性质6：若nN*,则[][],(其中xR).nn三、函数y={x}的性质

性质1：{x}0的充要条件是xZ.性质2：若mZ,则有{mx}{x},(其中xR).性质3：若maqr,mZ,aN*,mr0ra,则{}{}.aa

例1：解方程：x3[x]3.(第20届莫斯科数学竞赛题)

例2：用[x]表示不大于实数x的最大整数，

方程lg2x[lgx]20的实根的个数是多少？（1995年全国高中数学联赛试题）例3：求2004!末尾的0的个数。

例4：求证：当且仅当存在某个正整数k,使得n2k1时,2n1能整除n!.(加拿大数学奥林匹克试题)

例5设n0为一个正整数,问方程x2[x2](x[x])2在区间[1,n0]上有多少个解？

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例6.求证：方程[x][2x][4x][8x][16x][32x]12345无实数解。例7.对任意nN,x0,证明:[nx](第10届美国数学竞赛题)例8：[xyy]xyy的正整数解中，使

[x][2x][3x]123[nx].n

x为质数的解有多少个？例9：{a}表示a的正的小数部分，如{1,2}0.2,{0.3}0.7求方程{lg(x2)}{lgx}1在区间(10,60)上的根。1093例10.整数 [31]的末尾两位数字是什么？

103

1920例 11：实数x使得xx100100求[x]的值。305n例 12：计算S=的值。(IMO)

n050350291x546

100

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本文标签： 函数 正整数 数学 表示 试题

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