第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第四章 指数函数与对数函数

4.1.1根式.......................................................................................................................... 1

4.1.2指数幂及其运算 ...................................................................................................... 4

4.2.1指数函数及其图象性质 .......................................................................................... 8

4.2.2指数函数的性质及其应用 .................................................................................... 11

4.3.1对数的概念 ............................................................................................................ 16

4.3.2对数的运算 ............................................................................................................ 18

4.4.1对数函数及其图象 ................................................................................................ 22

4.4.2对数函数的性质及其应用 .................................................................................... 26

4.4.3不同函数增长的差异 ............................................................................................ 30

4.5.1函数的零点与方程的解 ........................................................................................ 34

4.5.2用二分法求方程的近似解 .................................................................................... 38

4.5.3函数模型的应用 .................................................................................................... 42

4.1.1根式

要点整理

1．根式的概念

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号a表示．

(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±a，负数没有偶次方根．

(3)0的任何次方根都是0，记作0＝0.

式子a叫做根式，其中n(n>1，且n∈N)叫做根指数，a叫做被开方数．

2．根式的性质

根据n次方根的意义，可以得到：

(1)(a)n＝a.

a，a≥0，(2)当n是奇数时，a＝a；当n是偶数时，a＝|a|＝－a，a<*nnnnn

温馨提示：(a)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而(an)中a∈R.

题型一根式的意义

【典例1】 下列说法正确的个数是( )

4①16的4次方根是2；②16的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，nnnna对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，a只有当a≥0时才有意义．

A．1

C．3

(2)已知m10＝2，则m等于( )

A.102 B．－D．±10102

2

B．2

D．4

C.210

[思路导引] 利用n次方根的概念求解．

[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②16＝2，所以正确的应为③④.

(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．

∴m＝±102.

4[答案] (1)B (2)D

n(n>1)次方根的个数及符号的确定

(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．

(2)根式a的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：

①当n为偶数时，a为非负实数；

②当n为奇数时，a的符号与a的符号一致．

题型二简单根式的化简与求值

nnn

【典例2】 化简下列各式：

544(1) －25；(2) －104；(3) －92；

4(4) a－b4.

[思路导引] 利用an的性质进行化简．

5[解] (1) －25＝－2.

44(2) －10＝|－10|＝10.

44(3) －92＝34＝3.

a－ba≥b，(4) a－b＝|a－b|＝b－aa

根式的化简求值注意以下2点

(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．

题型三有限制条件的根式化简

【典例3】 设x∈[1,2]，化简(x－1)＋x2－4x＋43.

[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．

46[解] (x－1)4＋x2－4x＋43

46＝(x－1)4＋x－26

∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.

∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.

[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．

446

4646[解] (x－1)4＋x2－4x＋43＝(x－1)4＋x－26

∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，

∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.

有限制条件根式的化简策略

(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．

(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．

4.1.2指数幂及其运算

要点整理

1．分数指数幂的意义

温馨提示：(1)分数指数幂amn 不可以理解为个a相乘．

mn(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．

2．有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．

1(2)a－b＝b(a>0，b是正无理数)．

a(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．

题型一根式与分数指数幂的互化

【典例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：

(1)31；(2)a·a；(3)

3332b.

－a2a2

根式与分数指数幂互化的规律

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

题型二指数幂的运算

【典例2】 计算：

[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．

利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

题型三条件求值问题

[变式] (1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.

[答案] (1)±35 (2)－

解决条件求值问题的一般方法——整体代入法

对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．

利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：

3

3

4.2.1指数函数及其图象性质

要点整理

1．指数函数的定义

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

温馨提示：指数函数解析式的3个特征：

(1)底数a为大于0且不等于1的常数．

(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.

(3)ax的系数是1.

2．指数函数的图象和性质

温馨提示：(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0

1－1，，(2)指数函数y＝a(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，ax只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的大致图象．

题型一指数函数的概念

【典例1】 (1)下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.

其中，指数函数的个数是( )

A．0

C．2

B．1

D．3

(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )

A．a＝1或a＝3

C．a＝3

B．a＝1

D．a>0且a≠1

[思路导引] 形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数．

[解析] (1)形如“y＝a(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.

x(2)由指数函数的概念可知，a>0，a≠1，[答案] (1)B (2)C

a－22＝1，

得a＝3.

判断一个函数是指数函数的方法

(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．

(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．

题型二指数函数的图象

【典例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )

A．a>1，b<0

C．00

B．a>1，b>0

D．0

(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．

[解析] (1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.

(2)因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．

[答案] (1)D (2)(3,4)

处理指数函数图象问题的3个策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．

题型三指数函数的定义域与值域

【典例3】 求下列函数的定义域和值域：

[思路导引] 利用整体换元的方法求解．

[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，

因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，

故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3x≤1，

所以0≤1－3x<1，

所以1－3x∈[0,1)，

即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．

“y＝af(x)”型函数定义域、值域的求法

(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围，即函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．

(2)值域问题，应分以下两步求解：

①由定义域求出u＝f(x)的值域；

②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．

4.2.2指数函数的性质及其应用

要点整理

1．指数函数值与1的大小关系

(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0

(2)00时，01.

2．对称关系

函数y＝a－x与y＝ax的图象关于y轴对称．

3．图象位置关系

底数a的大小决定了图象相对位置的高低．

(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．

(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0

题型一利用指数函数的单调性比较大小

【典例1】 比较下列各组数的大小：

(1)0.7－0.3与0.7－0.4；

(2)2.51.4与1.21.4；

(3)1.90.4与0.92.4.

[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．

[解] (1)∵y＝0.7x在R上为减函数，

又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.

(2)在同一坐标系中作出函数y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.

(3)∵1.90.4>1.90＝1，

0．92.4<0.90＝1，

∴1.90.4>0.92.4.

比较幂的大小的3种类型及方法

(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．

(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．

(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．

题型二解简单的指数不等式

13x－1【典例2】 (1)解不等式：≤2；

2(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x的取值范围．

[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a>1与0

1[解] (1)∵2＝－1，

211∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.

221∵y＝x在R上是减函数，

2∴3x－1≥－1，∴x≥0.

故原不等式的解集是{x|x≥0}．

(2)分情况讨论：

①当00，且a≠1)在R上是减函数，

∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；

②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，

∴x2－3x＋1

综上所述，当05；

当a>1时，－1

指数不等式的求解策略

(1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况讨论．

(2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

题型三指数型函数的单调性

1x2－2x【典例3】 已知函数f(x)＝.

3(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)求函数f(x)的值域．

1[思路导引] 由函数u＝x2－2x和函数y＝u的单调性判断．

31[解] (1)令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.

3∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递1u增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，

31x2－2x∴y＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．

3(2)∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

1u∴y＝，u∈[－1，＋∞)，

31u1－1∴0<≤＝3，

33∴原函数的值域为(0,3]．

12[变式] 若本例“f(x)＝x－2x”改为“f(x)＝2|2x－1|”，其他条件不变，如3何求解？

[解] (1)设u＝|2x－1|，由函数y＝2u和u＝|2x－1|的定义域为R，故函数y＝2|2x－1|的定义域为R.

11∵u＝|2x－1|在－∞，上单调递减，，＋∞上单调递增，

22而y＝2u是增函数，

11∴y＝2|2x－1|在－∞，上单调递减，在，＋∞上单调递增．

22(2)∵u＝|2x－1|≥0，∴2u≥1.

∴原函数的值域为[1，＋∞)．

指数型函数单调性的解题技巧

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y＝f[φ(x)]的单调性，即若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同(同增或同减)，则y＝f[φ(x)]为增函数，若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则y＝f[φ(x)]为减函数．

题型四指数函数的实际应用

【典例4】 某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．

[解] 现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；

经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；

…

经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．

故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.

解决指数函数应用题的流程

(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．

(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．

(3)解模：运用数学知识解决问题．

(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．

4.3.1对数的概念

要点整理

1．对数的定义

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数与自然对数

通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.

3．指数与对数的互化

当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.

4．对数的性质

(1)loga1＝0；

(2)logaa＝1；

(3)零和负数没有对数．

题型一指数式与对数式的互化

【典例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

11(1)3－2＝；(2)－2＝16；

94(3)log1 27＝－3；(4)log 64＝－6.

x3[思路导引] 借助ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)转化．

11[解] (1)∵3－2＝，∴log3＝－2.

9911(2)∵－2＝16，∴log16＝－2.

44

1－3(3)∵log1 27＝－3，∴＝27.

33(4)∵log

指数式与对数式互化的方法

(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

题型二对数的计算

【典例2】 求下列各式中的x的值：

2(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；

3(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x.

[思路导引] 把对数式化为指数式求解．

x 64＝－6，∴(x)－6＝64.

求对数值的3个步骤

(1)设出所求对数值．

(2)把对数式转化为指数式．

(3)解有关方程，求得结果．

题型三对数的性质

[思路导引] 首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”，再求值．

[解] (1)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1

得3x＋2x－1>0，2x－1>0且2x－1≠1，2223x2＋2x－1＝2x2－1，

解得x＝－2.

(2)由log2[log3(log4x)]＝0可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64.

对数性质的应用要点

(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．

(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式alogaN＝N及其格式．

4.3.2对数的运算

要点整理

1．对数运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

M(2)loga＝logaM－logaN；

N(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．

2．对数换底公式

若c>0，且c≠1，则logab＝logcb(a>0，且a≠1，b>0)．

logca3．由换底公式推导的重要结论

(1)loganbn＝logab.

mm(2)loganb＝logab.

n(3)logab·logba＝1.

(4)logab·logbc·logcd＝logad.

题型一对数运算性质的应用

【典例1】 求下列各式的值：

(1)log345－log35；

(2)log24·log28；

7(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；

32(4)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.

3[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应．

[解] (1)log345－log35＝log345＝log39＝log332＝2.

5(2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6.

(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)

＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.

2(4)原式＝2lg5＋lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2

3＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2

＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2

＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2

＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.

对数式化简与求值的基本原则和方法

(1)基本原则

对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

题型二对数换底公式的应用

【典例2】 (1)计算：①log29·log34；

②log52×log7913log5×log743(2)证明：①logab·logba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；

②loganbn＝logab(a>0，且a≠1，n≠0)．

[思路导引] 利用换底公式计算、证明．

lg9lg4lg32·lg22[解] (1)①原式＝·＝

lg2lg3lg2·lg32lg3·2lg2＝＝4.

lg2·lg3②原式＝log52log7913·＝log2·log49

133log53log74.

1lg2·2lg32lg2lg93＝·＝＝－.

1223lg－lg3·lg23lg43(2)证明：①logab·logba＝lgblga·＝1.

lgalgbnlgbnlgblgb②loganbn＝＝＝logab.

n＝lganlgalga

[变式] (1)若本例(2)①改为“logab·logbc·logcd＝logad”如何证明？

m(2)若本例(2)②改为“loganbm＝logab”如何证明？

n[证明] (1)logab·logbc·logcd

＝lgblgclgdlgd··＝＝logad.

lgalgblgclgamlgbmmlgbm(2)loganb＝＝＝logab.

lgannlgan

应用换底公式应注意的2个方面

(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．

(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．

题型三对数的综合应用

【典例3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的1质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留31位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)

(2)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.

[思路导引] 应用换底公式化简求值．

[解] (1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：

经过1年，剩余量是y＝0.75；

经过2年，剩余量是y＝0.752；

…

经过x年，剩余量是y＝0.75x；

1由题意得0.75x＝，

3131－lg3∴x＝log0.75＝＝≈4.

33lg3－lg4lg4lg

1∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的.

3(2)解法一：由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，

所以log3645＝log1845log189×5＝

log183618×2×9log189＝log189＋log185a＋b＝.

log18182－log1892－a解法二：设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，

从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，

得2x＝log185＋(x＋1)log189，

又18b＝5，所以b＝log185.

所以2x＝b＋(x＋1)a，

解得x＝

解对数综合应用问题的3条策略

(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．

(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．

(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．

4.4.1对数函数及其图象

要点整理

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝ax反解后将x、y互换得到的．

(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.

a＋ba＋b，即log3645＝.

2－a2－a

2．对数函数的图象及性质

温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0

3．当底数不同时对数函数图象的变化规律

作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.

题型一对数函数的概念

【典例1】 指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；

(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.

[思路导引] 紧扣对数函数的定义判断．

[解] (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．

依据3个形式特点判断对数函数

判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

题型二对数型函数的定义域

【典例2】 求下列函数的定义域．

3(1)y＝log2x；(2)y＝log0.54x－3；

(3)y＝log0.54x－3－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．

[解] (1)定义域为(0，＋∞)．

4x－3>0，(2)由4x－3≤1，

3解得

43∴定义域为，1.

44x－3>0，(3)由14x－3≤，2

37解得

4837∴定义域为，.

48x＋1>0，(4)由x＋1≠1，2－x>0，

解得－1

∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．

求对数函数定义域的注意事项

求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.

题型三对数函数的图象

【典例3】 (1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝

loga(－x)的图象只能是( )

(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．

[思路导引] 利用对数函数的图象特征求解．

[解析] (1)解法一：若01，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．

解法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A、C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．

(2)因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．

[答案] (1)B (2)(0，－2)

[变式] 若本例(2)的函数改为“y＝loga是________．

2x＋1[解析] 令＝1，得x＝－2，此时y＝2，

x－12x＋1＋2”，则图象恒过定点坐标x－1

∴函数y＝loga2x＋1＋2过定点(－2,2)．

x－1[答案] (－2,2)

处理对数函数图象问题的3个注意点

(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．

(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0

(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，1(a,1)和，－1.

a

4.4.2对数函数的性质及其应用

要点整理

1．对数函数值的符号规律

(1)a>1时，当x>1时，y>0；当0

(2)00；当x>1时，y<0.

可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.

2．对称关系

(1)函数y＝与y＝logax的图象关于x轴对称．

(2)函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称．

3．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

题型一比较对数值的大小

【典例1】 比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln0.3，ln2；

(2)log30.2，log40.2；

(3)log3π，logπ3；

(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．

[思路导引] 利用对数单调性比较大小．

[解] (1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，

所以ln0.3

11(2)解法一：因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2

log0.23log0.24

解法二：如图所示，

由图可知log40.2>log30.2.

(3)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.

因为函数y＝logπx是增函数，且π>3，

所以logπ3

所以log3π>logπ3.

(4)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1

当0loga5.2.

比较对数值大小时常用的4种方法

(1)同底的利用对数函数的单调性，如典例1(1)．

(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例1(2)．

(3)底数和真数都不同，找中间量，如典例1(3)．

(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如典例1(4)．

题型二求解对数不等式

1【典例2】 (1)已知loga>1，求a的取值范围；

2(2)已知log0.7(2x)

11[解] (1)由loga>1得loga>logaa.

221①当a>1时，有a<，此时无解．

211②当0

221∴a的取值范围是，1.

2(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.72x

2x>0，得x－1>0，2x>x－1，

解得x>1.

∴x的取值范围是(1，＋∞)．

常见对数不等式的2种解法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0

(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.

题型三形如y＝logaf(x)的函数的单调性

【典例3】 求函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调区间．

[思路导引] 先求定义域，再根据复合函数的单调性求解．

[解] 因为x2－3x＋2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t＝x2－3x＋2，则y＝log0.7t，显然y＝log0.7t在(0，＋∞)上

是单调递减的，而t＝x2－3x＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．

求对数型函数单调区间的方法

(1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域．

(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定y＝logaf(x)的单调性．

题型四与对数函数有关的值域问题

【典例4】 求下列函数的值域：

(1)y＝log2(|x|＋4)；

(2)f(x)＝log2(－x2－4x＋12)．

[思路导引] 求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解．

[解] (1)因为|x|＋4≥4，所以log2(|x|＋4)≥log24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．

(2)因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，所以0<－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，函数的值域为(－∞，4]．

[变式] 若本例(2)函数改为“f(x)＝[2,4]”，如何求解？

－3x，x∈[解] 令t＝2x，

329t－－， 则y＝t－3t＝24∵2≤x≤4，即－2≤t≤－1.

329可知y＝t－－在[－2，－1]上单调递减．

24∴当t＝－2时，y取最大值为10；

当t＝－1时，y取最小值为4.

∴原函数的值域为[4,10]．

对数型函数值域的求解技巧

(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．

(2)形如y＝logaf(x)，y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧．

4.4.3不同函数增长的差异

要点整理

1．指数函数、对数函数、一次函数的性质

2.指数函数、对数函数、一次函数的增长差异

(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝kx(k>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上．

(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．

(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax1，k>0)．

题型一不同函数增长的差异

【典例1】 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )

eA．y＝10000x B．y＝log2x C．y＝x1000 D．y＝x

2(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数函数变化的变量是________．

[思路导引] 借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断．

[解析] (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函e数y＝x增长速度最快．

2(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．

[答案] (1)D (2)y2

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型

指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型

对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数模型

幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

题型2函数模型的选择问题

【典例2】 芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：

上市时间t

种植成本Q

50

15.0

110

10.8

250

15.0

(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：

①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝alogbt；

(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．

[思路导引] 要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型．

[解] (1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提15.0＝2500a＋50b＋c，供的三组数据分别代入函数Q＝at＋bt＋c，得10.8＝12100a＋110b＋c，15.0＝62500a＋250b＋c，2

3解得b＝－，20c＝85.41a＝，2000

所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的

函数为Q＝12385t－t＋.故选②.

2×1502－×150＋2000204(2)当t＝150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q＝＝10(元/千克)．

不同函数模型的选取标准

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．

(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．

题型三指数函数、对数函数与幂函数模型的比较

【典例3】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．

(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．

[思路导引] 利用指数函数和幂函数的图象和性质进行判断．

[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1

由图可知g(6)>f(6)．

[变式] 若本例条件不变，(2)中结论改为“试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2019)，g(2019)的大小”，如何求解？

[解] 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2019)>g(2019)．又因为g(2019)>g(8)，所以f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8)．

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．

4.5.1函数的零点与方程的解

要点整理

1．函数的零点

对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有

交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：

(1)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；

(2)f(a)·f(b)<0.

题型一求函数的零点

【典例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；

(3)f(x)＝2x－1x2＋4x－12－3；(4)f(x)＝.

x－2[思路导引] 判断方程f(x)＝0是否有实数解，并求出即可．

[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.

(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.

(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.

x2＋4x－12(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.

x－2

函数零点的求解要点

求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的解就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．

题型二判断函数零点所在的区间

2【典例2】 函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )

xA．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)

[解析] ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，

∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；

2又f(3)＝ln3－>0，∴f(2)·f(3)<0，

3∴f(x)在(2,3)内有零点．

[答案] B

判断函数零点所在区间的3个步骤

(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

题型三判断函数零点的个数

【典例3】 (1)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0

的零点个数为(

A．3 B．2 C．1 D．0

(2)求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点个数．

[思路导引] (1)直接求f(x)＝0的解；(2)利用图象法判断．[解析] (1)当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；

当x>0时，由－2＋lnx＝0，得x＝e2.

故函数f(x)有2个零点，选B.

(2)令f(x)＝0，得log2x－x＋2＝0，

即log2x＝x－2.

令y1＝log2x，y2＝x－2.

画出两个函数的大致图象，如图所示．

由图可知，两个函数有两个不同的交点．

所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．

[答案] (1)B (2)2个

[变式] 若本例(1)中的函数改为“f(x)＝

)

2x＋2x－3，x≤0，2x－3＋lnx，x>0，

”，则函数的零点个数为( )

D．0 A．3 B．2 C．1

[解析] 解法一：当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；

当x>0时，函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．

在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．

由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个解，

即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．

综上，函数f(x)有2个零点．

解法二：当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；

当x>0时，由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，

f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，

∴f(1)·f(2)<0，

又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

综上，函数f(x)有2个零点．

[答案] B

判断函数零点个数的3个方法

(1)直接法：直接求出函数的零点进行判断．

(2)图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题．

(3)单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的

图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．

4.5.2用二分法求方程的近似解

要点整理

1．二分法的定义

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．二分法求函数零点的一般步骤

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的一般步骤如下：

(1)确定x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；

(2)求区间(a，b)的中点c；

(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间

①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

②若f(a)·f(c)<0(此时零点x0∈(a，c))，则令b＝c；

③若f(c)·f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．

题型一二分法的概念

【典例1】 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )

1A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝x－x

2(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )

[思路导引] 依据二分法的定义进行判断．

[解析] (1)选项A、B、C中的函数可以直接求得零点，而选项D中的函数不可直接求得，必须用二分法求得．

(2)按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.

[答案] (1)D (2)A

二分法的2个适用条件

(1)函数图象在零点附近连续不断．

(2)在该零点左右函数值异号．

题型二用二分法求方程的近似解

【典例2】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度

0.1)．

[思路导引] 确定初始区间，再用二分法求解．

[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，

f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，

所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，

即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．

取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，

又f(1)>0，

所以方程2x＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．

如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：

3

由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，

所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.

[变式] 若本例中的方程改为“lgx＝2－x”，其他条件不变，如何求解？

[解]

在同一坐标系中，作出y＝lgx，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lgx＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．

设f(x)＝lgx＋x－2，

则f(x)的零点为x0.

用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)；

f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)；

f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75,2)，

f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)；

f(1.75)<0，f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125)．

∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，

∴方程的近似解可取为1.8125.

利用二分法求方程近似解的步骤

(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.

(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.

(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．

题型三二分法的实际应用

【典例3】 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？

[解] 先在天平左右各放4个球，有两种情况：

(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．

取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端．

①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；

②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．

(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．

从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．

①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；

②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右

端的3个球中，并且偏轻；

③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．

显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出．

二分法在实际问题中的应用

(1)二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．

(2)本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的．

4.5.3函数模型的应用

要点整理

1．常见的函数模型

建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见的以下函数模型：

指数函数模型：y＝b·ax＋c(a>0且a≠1，b≠0)

对数函数模型y＝mlogax＋n(a>0且a≠1，m≠0)．

2．常见的图象对应的数学模型

(1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选y＝bax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．

(2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选y＝blogax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．

(3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型．

(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数y＝kx＋b(k≠0)模型．

题型一利用已知函数模型解决实际问题

【典例1】 我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式：

ILI＝10·lg(单位为分贝，LI≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到I0的最小强度，是听觉的开端)．

回答以下问题：

(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；

(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围．

I1[解] (1)由题意可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则＝1，∴I0LI1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10I2 W/m2，则＝102；∴LI2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；I0I3恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8 W/m2，则＝104，∴LI3＝10×lg104＝40，I0即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．

II(2)由题意知0≤LI<50，即0≤10lg<50，∴1≤<105，即10－12≤I<10－7.I0I0故新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12 W/m2，小于10－7 W/m2.

利用已知函数模型解决实际问题的解题要点

解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并

要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．

题型二自建函数模型解决实际问题

【典例2】 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．

[思路导引] 已知条件中年平均增长率为1.2%，建立指数模型求解．

[解] (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；

当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；

当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100·(1＋1.2%)3；

…

故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．

(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.

故10年后该县约有112.7万人．

(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012120≈15.3.

100因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万．

可以用指数函数模型来解决的几类问题

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．

题型三拟合数据构建函数模型解决实际问题

【典例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，

如表所示.

年序

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

最大积雪深度x(cm)

15.2

10.4

21.2

18.6

26.4

23.4

13.5

16.7

24.0

19.1

灌溉面积y(公顷)

28.6

21.1

40.5

36.6

49.8

45.0

29.2

34.1

45.8

36.9

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象．

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象．

(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？

[思路导引] 借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解决问题．

[解] (1)描点、作图，如图(甲)所示：

(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得21.1＝a＋10.4b，45.8＝a＋24.0b，

用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：

y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．

(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x.则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．

[变式] 若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为30 cm，问可以灌溉土地多少公顷？

[解] 由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×30，求得y＝56.2，即当最大积雪深度为30 cm时，可以灌溉土地约为56.2公顷．

建立拟合函数的方法策略

根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题．