任意角的三角函数及基本公式

任意角的三角函数及基本公式

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第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式

（第课时）

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准确记忆！

角的概念的扩充三角函数的概念弧度制任意角三角函数定义平方关系式任意角的三角函数同角三角函数的基本关系式商数关系式倒数关系式k•360与的函数关系180与的函数关系诱导公式360以及与的函数关系3以及与的函数关系22

重点难点

好好把握！

重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。

难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。

考纲要求

注意紧扣！

1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。

命题预测

仅供参考！

任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；

考点热点

1．角的定义

一定掌握！

⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。

⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。

2．弧度制

2

⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。

注意：sin1表示1弧度角的正弦，sin2表示2弧度角的正弦，它们与sin1、sin2不是一回事。

⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

l⑶ 设一个角的弧度数为，则

 （l为这角所对的弧长，r为半径）。

r⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。

180⑸

1弧度，1弧度()。

1800o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

度

0

3弧度



2

26432⑹ 弧长、扇形面积公式

设扇形的弧长为l，扇形面积为S，圆心角大小为弧度，半径为r，

11则

lr ，Slrr2 。

22

3．角的集合表示

⑴ 终边相同的角

设表示所有终边与角终边相同的角（始边也相同），则

k•360

（也可记为2k

kZ）。

⑵ 区域角

介于某两条终边间的角叫做区域角。例如

k•36060k•36030（也可记为2k2k

kZ）。

63⑶ 象限角

以角的顶点为原点，以其始边为x轴的正半轴建立直角坐标系，则角的终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限的角。

x例．已知x在第二象限，问在哪一象限

2x解：∵

2kx2k ，∴

kk ，

2422xx当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限。

22点评：第一二象限角的半角在第一或第三象限，第三四象限角的半角在第二或第四象限，记住这一结论，可提高解题速度。

83例．ABC中，已知cosA，sinB,(A、B是锐角,)求C角。

1753

分析：A、B是锐角,故C角可能是锐角，也可能是钝角。显然，如果想通过sinC去求C角是无法确定C角是锐角还是钝角的。所以应该求cosC。

8453180(AB)]cos(AB)0.1529 ， 解：cosCcos[175175显然，C角在第一象限，约为8112 。

点评：如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限，需要选择适当名称的三角函数。掌握判定一个角是锐角还是钝角的方法，是很有用处的。例如求证一个平面截直三面角所得的截面是锐角三角形，只要证明这个三角形的每个内角的余弦大于零。

4．三角函数的定义及符号

⑴三角函数定义

设角终边上一点P的坐标为（x，y）P与原点的距离为r（r0），那么yxyxrr下面的六个比值：、、、、、 分别叫做角的正弦、余弦、正切、余切、正rrxyxy割、余割，并且分别用符号表示为：

y1ysin，tan，sec，

xrcosx1xcos，cot，csc。

yrsin⑵ 各三角函数在各象限的符号如下图：

sin,csc

cos,sec

tan,cot

符号记忆：“正弦一二为正”，“余弦一四为正”，“正切一三为正”。

注意：①由

sin1cos2 求sin时，应该由所在的象限来确定sin的符号。

②去掉cos2的根号时，如果cos0，应写为 -cos。

⑶ 终边相同的同一三角函数的值相等。

即

f(2k)f() （kJ，f(x)为三角函数）。

⑷ 三角函数线（以第一象限角为例）

4

正弦线 余弦线 正切线 余切线

例．确定

cos15cos16 的符号。

解：画出单位圆，用线段把

cos15和cos16表示出来，

图中线段

OAcos15，OBcos16，

显然，cos15cos16，

∴

cos15cos160 。

5．同角三角函数的关系

⑴ 倒数关系：sin•csc1 ，cos•sec1 ，tan•cot1 。

sincos⑵ 商数关系：tan ，cot ，

cossin⑶ 平方关系：sin2cos21 ，1tan2sec2 ，1cot2csc2 。

6．三角函数的诱导公式

以180o或360o作为基准，加减一个角，这样的角的三角函数可以化为的同名函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。

例如：sin(180)sin。

以90o或270o作为基准，加减一个角，这样的角的三角函数可以化为的余函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。

例如：sin(90)cos。

诱导公式的记忆口诀：横同纵余，符号看象限。（“横”指以横轴作为基准，“纵” 指以纵轴作为基准。）

利用诱导公式，可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数。

如果有必要（例如在做证明题时），可以利用sin与csc ，cos与sec ，tg与ctg互为余函数的关系，进一步把任意角的三角函数化为不大于45o角的三角函数。

5

能力测试

认真完成！

1．是第二象限角，其终边上一点P(x,5) ，且

cos为（ ）

A.

106210；

B. ；

C. ；

D. -。

44442x ，则

sin 的值4

2．已知锐角终边上一点A的坐标为（2sin3，-2cos3），则角的弧度数为

（ ）

A. 3；

B.

-3；

C.

3；

D.

3。

22

3．已知

tan100k ，则

sin80 的值等于 （ ）

A.

k1k2；

B.

k1k2sin1k21k2；

C. ；

D.

。

kk1 ，则在 （ ）

4．若

cos1tan21cot2A. 第一象限；

B.第二象限；

C.第三象限；

D.第四象限。

5．设

tsincos 且

sin3cos30 ，则t的取值范围是 （ ）

A.

[2,0)；

B.

(3,0)(3,)；

C.

(1,0)(1,2)；

D.

[2,2)。

6．设

、 是0到360间的角，如果

sinsin ，那么与之间的关系如何

7．确定下列各式的符号：

⑴

sin140cos140 ； ⑵

ctg300ctg310 。

1sin1sin8．化简： 。

1sin1sin6

7

参考答案

仔细核对！

角的定义

弧度制

角的集合表示

三角函数的定义及符号

同角三角函数的关系

三角函数的诱导公式

1 2 3 4 5 6 7 8

√ √ √

√

√ √ √

√ √ √

√ √

1．是第二象限角，其终边上一点P(x,5) ，且

cos为（ ）

106210；

B. ；

C. ；

D. -。

44445102xx ，∴

x22 ，∴

sin解：∵

cos ，故应选A。

44r222x ，则

sin 的值4A.

2．已知锐角终边上一点A的坐标为（2sin3，-2cos3），则角的弧度数为

（ ）

A. 3；

B.

-3；

C.

3；

D.

3。

22解：∵

tank1k22cos3cot3tan(3)tan(3) ，故应选C。

2sin3223．已知

tan100k ，则

sin80 的值等于 （ ）

A. ；

B.

k1k21k21k2；

C. ；

D.

。

kk解：∵

tan80tan(180100)tan100k ，而

tan800 ，∴

k0 ，

11 ，

tan80k11∴

sin802csc801cot80∴

cot80111()2kk1k2 ，故应选B。

4．若

cos1tan2sin1cot21 ，则在 （ ）

A. 第一象限；

B.第二象限；

C.第三象限；

D.第四象限。

解：题给条件可化为

coscossinsin1 ，则

sin0 ，cos0 ，故应选C。

5．设

tsincos 且

sin3cos30 ，则t的取值范围是 （ ）

A.

[2,0)；

B.

(3,0)(3,)；

C.

(1,0)(1,2)；

D.

[2,2)。

解：sin3cos3(sincos)(sin2sincoscos2)

13(sincos)[(sincos)2cos2]

248

而

sin3cos30 ，(sincos)2cos20 ，∴

sincos0 ，

故应选A。

6．设

、 是0到360间的角，如果

sinsin ，那么与之间的关系如何

解：

 或

 或

3。

解题错误：遗漏

3。

7．确定下列各式的符号：

⑴

sin140cos140 ； ⑵

ctg300ctg310 。

解：

⑴

sin140cos1400 ； ⑵

ctg300ctg3100 。

8．化简：12341sin1sin 。

1sin1sin(1sin)2(1sin)21sin1sin2sin解：原式 ，

coscoscos1sin21sin2当在Ⅰ、Ⅳ象限时，原式2tg；当在Ⅱ、Ⅲ象限时，原式2tg 。

解题错误：没有分象限进行讨论，直接使cos2cos。

9