第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质-正切函数的性质与图象教案

第五章三角函数

5.4三角函数的图象与性质

5.4.3正切函数的性质与图象

[目标]1.能够作出y＝tanx的图象；

2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题．

[重点] 正切函数的性质．

[难点]正切函数的图象、性质及其应用．

知识点一正切函数y＝tanx的图象

[填一填]

正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线.

[答一答]

π1.正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？

2π提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组2成的．

2.直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？

提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.

3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合．

(1)满足tanx＝0的集合为．{x|x＝kπ，k∈Z}

π(2)满足tanx<0的集合为．{x|kπ－

2π(3)满足tanx>0的集合为．{x|kπ

2

知识点二正切函数y＝tanx的性质

[填一填]

(1)定义域是．{x|x≠kπ＋π，k∈Z}

2(2)值域是R，即正切函数既无最大值，也无最小值．

(3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π.

(4)奇偶性：正切函数是.奇函数

ππ(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(kπ－，kπ＋)，k∈Z

22(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(kπ2，0)(k∈Z)

[答一答]

4.y＝tanx在定义域上是增函数吗？

ππ提示：y＝tanx在每个开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数，但在整个定22义域上不具有单调性．

5.正切函数图象与x轴有无数个交点，交点的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，因此有人说正切函数图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，这种说法对吗？

提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(kπ，0)对称，还关于点(Z)对称，因此正切函数y＝tanx的对称中心为(π＋kπ，0)(k∈2kπ2，0)(k∈Z)．

类型一利用正切函数图象求定义域及值域

[例1] 求下列函数的定义域和值域：

π(1)y＝tanx＋；(2)y＝43－tanx.

πππ[解] (1)由x＋≠kπ＋，k∈Z得，x≠kπ＋，k∈Z.

424ππ，其值域为(－∞，＋∞)．

x＋x≠kπ＋，k∈Z所以函数y＝tan的定义域为{x44(2)由3－tanx≥0得，tanx≤3.

ππππ结合y＝tanx的图象可知，在－，上，满足tanx≤3的角x应满足－

所以函数y＝ππ3－tanx的定义域为xkπ－

，其值域为[0，＋∞)．



1求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式组，然后求出x的范围.

2求值域要用换元的思想，把tanx看作可取任意实数的自变量.

[变式训练1] (1)求函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．

ππ(2)求函数y＝sinx＋tanx，x∈－，的值域．

44tanx＋1≥0，解：(1)由题意得1－tanx>0，

即－1≤tanx<1.

ππππ∵在－，内，满足上述不等式的x的取值范围是－，.又y＝tanx的周期为2244πππ，∴所求x的取值范围是kπ－，kπ＋，k∈Z，即为此函数的定义域．

44ππ(2)y1＝sinx，y2＝tanx均满足在区间－，上单调递增，∴函数y＝sinx＋tanx也44ππ满足在区间－，上单调递增，

4422ππ∴此函数在－，上的值域为－－1，＋1.

4422类型二正切函数的周期性

π[例2] 求函数y＝3tan4x＋与函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期．

4ππ[解] 函数y＝3tan4x＋的最小正周期为T＝；

44f(x)＝tanx＋|tanx|＝π2tanx，x∈kπ，kπ＋，2期T＝π.

π0，x∈kπ－，kπ，2

k∈Z，

作出f(x)＝tanx＋|tanx|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周

π一般地，函数y＝Atanωx＋φ＋BA≠0，ω>0的最小正周期为T＝，常常使用此公式ω来求周期，也可以借助函数图象求周期.

ππ2[变式训练2] 若函数y＝tan3ax－(a≠0)的最小正周期为，则a＝. ±

323解析：T＝ππ2＝，所以a＝±.

|3a|23类型三正切函数的单调性及应用

1π[例3] (1)求函数y＝tanx－的单调区间；

4213π与tan－12π的大小． (2)比较tan－45π1πππ3π[解] (1)由kπ－

4222

13π＝tan－3π－π＝tan－π＝－tanπ， (2)由于tan－444412π＝－tan2π＋2π＝－tan2π， tan－555π2πππ又0<<<，而y＝tanx在0，上单调递增，

2452π2π所以tan

45π2π所以－tan>－tan，

4513π>tan－12π. 即tan－45

1求函数y＝Atanωx＋φ的单调性时可将ωx＋φ看成一个整体，利用y＝tanx的单调性求解，但需注意A、ω的正负性对函数单调性的影响.

ππ2比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间－，内，再利用正切函数22的单调性比较.

4π8ππx[变式训练3] (1)函数y＝3tan－的单调区间是.递减;4kπ－，4kπ＋，k∈Z

3364

7π9(2)比较大小：tan－tan－π.>

45πxπππxxπ解析：(1)y＝3tan－＝－3tan－，由kπ－<－

334π8ππx所以y＝3tan－的单调递减区间为4kπ－，4kπ＋，k∈Z.

3364ππ7(2)∵tan－π＝－tan2π－＝tan，

444ππ9tan－π＝－tan2π－＝tan，

555ππππ又0<<<，y＝tanx在0，内单调递增，

2542ππ∴tan

5479∴tan－π>tan－π.

45类型四正切函数图象与性质的综合应用

π[例4] 设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)ω>0，0<φ<，已知函数y＝f(x)的图象与x轴2ππ相邻两个交点的距离为，且图象关于点M－，0对称．

28(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求不等式－1≤f(x)≤3的解集．

πππ[解] (1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.

2|ω|2因为ω>0，所以ω＝2.

从而f(x)＝tan(2x＋φ)．

kπππ因为函数y＝f(x)的图象关于点M－，0对称，所以2×－＋φ＝，k∈Z，即288kππφ＝＋，k∈Z.

24ππ因为0<φ<，所以φ＝.

24π故f(x)＝tan2x＋.

4πππ3ππ(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<2x

242443πkππkπ即－＋

8282所以函数的单调递增区间为－3π＋kπ，28

πkπ＋，k∈Z，无单调递减区间．

82π(3)由(1)，知f(x)＝tan2x＋.

4π由－1≤tan2x＋≤3，

4πππ得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z.

443πkππkπ即－＋≤x≤＋，k∈Z.

42242所以不等式－1≤f(x)≤3的解集为

πkπ≤x≤π＋kπ，k∈Zx－＋22424

.



1正切函数y＝tanx与x轴相邻交点间的距离为一个周期；2y＝tanx的对称中心为kπ，0，不但包含y＝tanx的零点，而且包括直线x＝π＋kπk∈Z与x轴的交点.

22[变式训练4] 已知函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为点π<θ<，求θ的值．

2解：因为函数y＝tanx图象的对称中心为点32322π，0，若－π23kπ，0，其中k∈Z，所以2x＋θ＝kπ，令2263πkπ2πππππx＝，得θ＝－，k∈Z.又－<θ<，当k＝1时，θ＝－，当k＝2时，θ＝.ππ所以θ＝－或.

63

1.若tanx≥0，则( D )

πA．2kπ－

2B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)

πC．2kπ－

2πD．kπ≤x

2π2.函数y＝2tan3x－的一个对称中心是( C )

4πA．，0

3πC．－，0

4

πkπkππ解析：由3x－＝，得x＝＋，

42612π令k＝－2得x＝－.故选C．

413.函数y＝是( )

tanπ－xA．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数也是偶函数

D．非奇非偶函数

πB．，0

6πD．－，0

24.使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调增的区间是.

－π＋2kπ，－π＋2kπ(k∈Z)和－π＋2kπ，2kπ(k∈Z)

22解析：由y＝2tanx与y＝cosx的图象知，同时为单调增的区间为－π＋2kπ，－π＋2kπ(k∈Z)和－π＋2kπ，2kπ(k∈Z)．

22ππ5．求函数y＝tan(π－x)，x∈－，的值域．

43ππ解：y＝tan(π－x)＝－tanx，在－，上为减函数，所以值域为(－3，1)．

43

——本课须掌握的两大问题

1．正切函数的图象

π正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都2有一支正切曲线，且单调递增．

2．正切函数的性质

π(1)正切函数y＝tanx的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.

2(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝π.

|ω|ππ(3)正切函数在－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无22单调递减区间．

第五章5.4.3正切函数的性质与图象

A组·素养自测

一、选择题

π1．函数y＝tan(x＋)的定义域是( A )

4πA．{x∈R|x≠kπ＋，k∈Z}

4πB．{x∈R|x≠kπ－，k∈Z}

4πC．{x∈R|x≠2kπ＋，k∈Z}

6πD．{x∈R|x≠2kπ－，k∈Z}

6ππ[解析] 由正切函数的定义域可得，x＋≠＋kπ，k∈Z，

42ππ∴x≠＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}．

44π2.已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(，0)，则φ可以是( A )

12πA.－

6πC.－

12B.D.π

6π

12ππ[解析] ∵函数的图象过点(，0)，∴tan(＋φ)＝0，

126∴πππ＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－，故选A．

666ππ)与函数g(x)＝sin(－2x)的最小正周期相同，则ω＝443．函数f(x)＝tan(ωx－( A )

A．±1

C．±2

[解析]

B．1

D．2

π2π＝，ω＝±1.

|ω||－2|1π4．函数y＝tanx－在一个周期内的图象是( A )

32

1π[解析] 由f(x)＝tanx－，

321π知f(x＋2π)＝tan[(x＋2π)－]

231π＝tanx－＝f(x)．

32∴f(x)的周期为2π，排除B，D．

xπxπ令tan－＝0，得－＝kπ(k∈Z)．

23232π2π∴x＝2kπ＋(k∈Z)，若k＝0，则x＝，

33即图象过点2π，0，故选A．

3π－x的定义域为2π，3π，则函数的值域为( C )

326B．－D．5．函数y＝tanA．(3，＋∞)

3，＋∞

3C．(－3，＋∞)

3，＋∞

32π3π3π2ππ3πππ2π4ππ[解析] 由tan－π2π64π＝－3.故函数的值域为(－3，＋∞)．

36．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为( B )

A．3

C．7

B．5

D．9

[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y＝tanx与函数y＝sinx在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B．

二、填空题

πkππ7．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心的坐标为__(－，0)(k∈Z)__.

346πkπ[解析] 令2x＋＝(k∈Z)，

32

得x＝kππ4－(k∈Z)，

6∴对称中心的坐标为(kππ4－6，0)(k∈Z)．

1ππ38．求函数y＝tan(－x＋)的单调区间是__(2kπ－，2kπ＋π)(k∈Z)__.

24221π[解析]

y＝tan(－x＋)

241π＝－tan(x－)，

24π1ππ由kπ－

2242π3得2kπ－

221ππ3∴函数y＝tan(－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z.

2422π9．函数f(x)＝tanax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为2，则a的值为3π____.

2ππ[解析] 由题意可得T＝2，所以＝2，a＝.

a2三、解答题

10．求下列函数的周期及单调区间．

(1)y＝3tanπ－x；

64π－x＝－3tanx－π，

4664(2)y＝|tanx|.

[解析] (1)y＝3tanπ∴T＝＝4π，

|ω|πx∴y＝3tan－的周期为4π.

64πxππ由kπ－<－

24624π8π得4kπ－

334π8πxπ∴y＝3tan－在4kπ－，4kπ＋(k∈Z)内单调递增，无单调递增区间．

3346

4π8ππx∴y＝3tan－在4kπ－，4kπ＋(k∈Z)内单调递减．

3364(2)由于y＝|tanx|

πtanx，x∈kπ，kπ＋k∈Z，2＝kπ－π，kπk∈Z.－tanx，x∈2

π∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为kπ，kπ＋(k∈Z)，单2π调减区间为kπ－，kπ(k∈Z)．

2

ππ211．已知－≤x≤，f(x)＝tanx＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．

34ππ[解析] ∵－≤x≤，∴－3≤tanx≤1，

34f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，

π当tanx＝－1，即x＝－时，ymin＝1；

4π当tanx＝1，即x＝时，ymax＝5.

4B组·素养提升

一、选择题

1111．若a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝logcos25°，则( D )

222A．a

C．c

B．b

D．a

[解析] ∵0

111∴logsin25°>logcos25°>logtan70°.即a

2222．(2019·河北新高考高一模拟选科)已知函数f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，若f()＝1，则f(－)＝( C )

A．1 B．－1

π3π3

C．3 D．－3

π)＝1，

3[解析] ∵f(x)＝mtan

x－ksin

x＋2(m，k∈R)，f(πππ3∴f()＝mtan－ksin＋2＝3m－k＋2＝1，

3332∴3m－3k＝－1，

2πππ3∴f(－)＝mtan(－)－ksin(－)＋2＝－3m＋k＋2＝3.

33323．(多选题)下列说法正确的是( BD )

8π2πA．tan>tan

77B．sin 145°

πC．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为

ωππD．函数y＝2tanx(≤x<)的值域是[2，＋∞)

428ππππ2ππ[解析] A错误，tan＝tan(π＋)＝tan，因为0<<<，函数y＝tanx在(0，777772ππ2π8π2π)上单调递增，所以tan1，故sin145°

42ππ4．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对任意x1，x2∈(－，)(x1≠x2)，给出下列结论，22正确的是( AD )

A．f(x1＋π)＝f(x1)

C．f(0)＝1

B．f(－x1)＝f(x1)

D．π；D|ω|fx1－fx2>0

x1－x2[解析] 由于f(x)＝tanx的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tanx为奇函数，故B不ππ正确；f(0)＝tan0＝0，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)＝tanx为区间(－，)22上的增函数，故D正确．

二、填空题

5．若函数y＝tanωx在(－ππ，)内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.

22

[解析] 若ω使函数在(－期，故－1≤ω<0.

6．给出下列命题：

ππ，)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周22(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；

(2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；

ππ(3)函数y＝tan2x＋的周期是；

32(4)y＝sin5π＋x是偶函数．

2其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.

[解析]

y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tanx在每一个ππ区间－＋kπ，＋kπ(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝22tan2x＋π的周期是π.∴(3)对；y＝sin5π＋x＝cosx是偶函数，∴(4)对．

232因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．

ππkπ5πkπ7．若tan2x－≤1，则x的取值范围是__－＋，＋(k∈Z)__.

622426πππππ[解析] 令z＝2x－，在－，上满足tanz≤1的z的值是－

242三、解答题

πππ8．当x∈，时，若使a－2tan2x－的值总大于零，求a的取值范围．

363ππππ[解析] ∵x∈，，∴0≤2x－≤.

3363π又y＝tanx在0，内单调递增，

3π∴0≤tan2x－≤3，

3π∴0≤2tan2x－≤23.

3πππ由题意知a－2tan2x－>0对x∈，恒成立，

363

πππ即a>2tan2x－对x∈，恒成立．

363∴a>23.∴实数a的取值范围是(23，＋∞)．

9．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的主要性质．

[解析] 由y＝|tanx|＋tanx知

π0，x∈kπ－，kπ]，2y＝π2tanx，x∈kπ，kπ＋2其图象如图所示．

(k∈Z)．

函数的主要性质为：

π①定义域：{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}；

2②值域：[0，＋∞)；

③周期性：T＝π；

④奇偶性：非奇非偶函数；

π⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋)，k∈Z.

2