三角函数公式、图像大全

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα

三角函数的性质

函数 y=sinx y=cosx y=tanx

｛x｜x∈R且x定义域 R R

≠kπ+Z｝

［-1，1］x=2kπ+ymax=1

值域

x=2kπ-

y=cotx

｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝

,k∈2 时［-1,1］

2x=2kπ时ymax=1 R

无最大值

R

无最大值

x=2kπ+π时 时ymin=-1

2ymin=-1

无最小值

无最小值

周期性

奇偶性

周期为2π

奇函数

在［2kπ-周期为2π

偶函数

周期为π

奇函数

周期为π

奇函数

单调性

在［2kπ-π，在(kπ-，kπ在(kπ，kπ+22kπ］上都是增π)内都是减+ ］上都是增函数；+)内都是增22函数(k∈Z)

2函数；在［2k函数(k∈Z)

在［2kπ+ ,2kπ+23π，2kπ+π］π］上都是减函数(k上都是减函数∈Z)

(k∈Z)

,2kπ2

反三角函数的图形

反三角函数的性质

名称 反正弦函数

y=sinx(x∈〔-定义

反余弦函数

y=cosx(x∈反正切函数

y=tanx(x∈反余切函数

y=cotx(x∈(0,)的反(- ,

 )的π))的反函数，, 〕的反〔0,π〕2222函数，叫做反正函数，叫做反反函数，叫做反正叫做反余切函弦函数，记作x=arsiny

arcsinx表示属于［-余弦函数，记切函数，记作数，记作x=arccoty

arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角

(-∞，+∞)

(0，π)

作x=arccosy

x=arctany

arccosx表示arctanx表示属理解

的角

,］

22且正弦值等于x属于［0，π］，于(-,)，且22且余弦值等于正切值等于x的x的角

［-1，1］

［0，π］

角

(-∞，+∞)

(-定义域 ［-1，1］

值域

性单调性

质

奇偶性

csinx

周期性 都不是同期函数

sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sin恒等式

x)=x(x∈［-［-，］

22，)

22在〔-1，1〕上是在［-1，1］上在(-∞，+∞)上是在(-∞，+∞)增函数

arcsin(-x)=-ar是减函数

arccos(-x)=π-arccosx

增数 上是减函数

arctan(-x)=-arcarccot(-x)=πtanx -arccotx

cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］)

arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)

tan(arctanx)=x(cot(arccotx)=x∈x(x∈R)

R)arctan(tanx)=arccot(cotx)=x（x∈(-,］)

22,)）

x(x∈(0,π))

22

互余恒等arcsinx+arccosx=式

(x∈［-1,1］) arctanx+arccotx=(X∈R)

22三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanAtanB

1-tanAtanBtan(A-B) =tanAtanB

1tanAtanBcot(A+B) =cotAcotB-1

cotBcotAcot(A-B) =cotAcotB1

cotBcotA倍角公式

tan2A =2tanA

21tanASin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)

cos3A = 4(cosA)-3cosA

33

tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)

33

半角公式

sin(A)=21cosA21cosA21cosA1cosA1cosA1cosAsinA

sinA

1cosAcos(A)=2tan(A)=2cot(A)=22tan(A)=1cosA=和差化积

sina+sinb=2sinabcosab

22sina-sinb=2cosabsinab

22cosa+cosb = 2cosabcosab

22cosa-cosb = -2sinabsinab

22tana+tanb=sin(ab)

cosacosb积化和差

sinasinb = -1[cos(a+b)-cos(a-b)]

2cosacosb =

1[cos(a+b)+cos(a-b)]

2

sinacosb =

1[sin(a+b)+sin(a-b)]

2cosasinb =

1[sin(a+b)-sin(a-b)]

2诱导公式

sin(-a) = -sina

cos(-a) = cosa

sin(-a) = cosa

2cos(-a) = sina

2sin(+a) = cosa

2cos(+a) = -sina

2sin(π-a) = sina

cos(π-a) = -cosa

sin(π+a) = -sina

cos(π+a) = -cosa

tgA=tanA =sina

cosa万能公式

a2 sina=a1(tan)22a1(tan)22 cosa=a1(tan)222tan

a2 tana=a1(tan)22

2tan其它公式

a•sina+b•cosa=(a2b2)×sin(a+c) [其中tanc=b]

aa]

ba•sin(a)-b•cos(a) =

(a2b2)×cos(a-c) [其中tan(c)=aa1+sin(a) =(sin+cos)2

22aa1-sin(a) = (sin-cos)2

22

其他非重点三角函数

1

sina1sec(a) =

cosacsc(a) =双曲函数

ea-e-asinh(a)=

2eae-acosh(a)=

2tg h(a)=sinh(a)

cosh(a)

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinα

cos（2kπ＋α）= cosα

tan（2kπ＋α）= tanα

cot（2kπ＋α）= cotα

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）= -sinα

cos（π＋α）= -cosα

tan（π＋α）= tanα

cot（π＋α）= cotα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）= -sinα

cos（-α）= cosα

tan（-α）= -tanα

cot（-α）= -cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα

cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα

公式五

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）= -sinα

cos（2π-α）= cosα

tan（2π-α）= -tanα

cot（2π-α）= -cotα

公式六

3±α及±α与α的三角函数值之间的关系：

22sin（+α）= cosα

2cos（+α）= -sinα

2tan（+α）= -cotα

2cot（+α）= -tanα

2sin（-α）= cosα

2cos（-α）= sinα

2tan（-α）= cotα

2cot（-α）= tanα

2

323cos（23tan（23cot（23sin（23cos（23tan（23cot（2sin（+α）= -cosα

+α）= sinα

+α）= -cotα

+α）= -tanα

-α）= -cosα

-α）= -sinα

-α）= cotα

-α）= tanα

(以上k∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =A2B22ABcos()×sintarcsin[(AsinBsin)AB2ABcos()22

三角函数公式证明（全部）

公式表达式

乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|

-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系

X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a

注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理

b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

正切定理

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程

y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积

S=c*h

斜棱柱侧面积

S=c'*h

正棱锥侧面积

S=1/2c*h'

正棱台侧面积

S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

球的表面积

S=4pi*r2

圆柱侧面积

S=c*h=2pi*h

圆锥侧面积

S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式

l=a*r

a是圆心角的弧度数r >0

扇形面积公式

s=1/2*l*r

锥体体积公式

V=1/3*S*H

圆锥体体积公式

V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积

V=S'L

注：其中,S'是直截面面积，柱体体积公式

V=s*h

是侧棱长 L

圆柱体

V=pi*r2h

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三角函数 积化和差 和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

正加正 正在前

正减正 余在前

余加余 都是余

余减余 没有余还负

正余正加 余正正减

余余余加 正正余减还负

.

3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

...........................

已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ

sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ