高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)

高一数学求函数的解析式、定义域、值域的常用方法

一、求函数的解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式

二、求函数定义域的方法

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等

4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域

5、分段函数的定义域是各个区间的并集

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域

三、求函数值域的方法

1、分离变量法 2、配方法 3、判别式法 4、单调性法 5、换元法

一、求函数解析式

1、换元法

2x+1x+x+1例1 已知f，试求f(x)

=2xx

2、构造方程组法

例2 （1）已知f(x)+2f(1)=3x2+4x+5，试求f(x)

x2（2）已知f(x)+2f(-x)=3x+4x+5，试求f(x)

例3 求下列函数的解析式：

（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)2,f(x1)f(x)x1，求f(x)

2（2）已知f(x1)x2x，求f(x)，f(x1)，f(x)

x1x211)，求f(x) （3）已知f(2xxx（4）已知3f(x)2f(x)x3，求f(x)

二、求函数定义域

例1 求y=x+2+x+3的定义域

x-4

例2 求下列函数的定义域

（1）f(x)5x； （2）f(x)x11x

x32

3

3

14

4

35

5

－6

6

17

例3已知函数由下表给出，求其定义域

X

Y

例4已知f(x)=x-3，g(x)=三、求函数的值域与最值

1、分离变量法

例1 求函数y=1

22

xx-4x+32，求y=f(g(x))值域

2x+3的值域

x+1

2、配方法

例2 求函数y＝2x2＋4x的值域

说明：对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c

3、判别式法

x22x3例3

求函数y的值域

24x5x6

4、单调性法

例4

求函数y

5、换元法

例5 求函数y=2x+41-x的值域

例6 求下列函数的值域：

23，x∈［4，5］的值域

x1,2,3,4,5（2）y（1）y2x1,x1x22x1（3）y（4）yx2x3,(5x2)

21x

练习

1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是

2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间［－2，2］上的最大值为

3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是

4、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为［a，b］（a

5、函数y＝f（x＋2）的定义域是［3，4］，则函数y＝f（x＋5）的定义域是

x2+26、函数y=2的值域是

3x+4x7、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－f（1－x），则f（2）＋f（－2）＝

8、若函数f(x)=9、求函数y=12的值域为-,-，则其定义域为

3x-25-x+3x+4的定义域

x+22x-2x+1,x211、已知f(x)=，若f（a）＝3，求a的值

-x,x>212、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式

x24x6,x013、设函数f(x) 求不等式f(x)f(1)的解集

x6,x014、函数yax3的值域为(,1)U(1,)，求实数a的值为

12x215、已知函数yf(x)的定义域为(0,1)，则f(x)的定义域是

1x21116、已知函数f(x)，则在①，②，③，④f()f(x)f(x)f() 中f(x)f(x)f(x)f(x)21xxx成立的个数是

17、如果一元二次函数yxmxm3有两个不同的零点，则m的取值范围是

18、已知函数f(x)xx,xR，其中x表示不超过x的最大整数，如2,223533,2，则2f(x)的值域是

3x119、已知函数f(x)x3a(x3)(x3)的定义域与值域相同，则常数a

20、若函数f(2x1)的定义域是[0,1),则函数f(13x)的定义域是

221、已知二次函数f(x)axbx,若f(x11)f(x21)其中x1x22,则f(x1x2)的值为

222、已知函数f(x)x(a1)xa，在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是

23、已知全集UR，集合Ax3m1x2m，Bx1x3，若ACUB,求实数m的取值范围

24、已知一元二次函数f(x)满足f(2k)f(2k)(kR)，且该函数的图象与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为22，求该一元二次函数的解析式

25、已知集合Ax|y1x2,xZ,B{y|yx1,xA},则AB____

26、若方程4x3xk30,x0,1没有实数根，求k的取值范围

2227、已知集合Ax2xx221x,Bxx2ax3a50,若AIBB,求实数a的取值范围



28、函数f(x)xbxc(xR)满足f(x1)f(3x),且方程f(x)0的两个根x1,x2满足2x1x222，求f(x)解析式

29、已知二次函数yf(x)的图象过点(0,3)，且方程f(x)0的两个根的平方和为10，又对任意的x都有f(1x)f(1x)

（1）求二次函数yf(x)的表达式；（2）求该二次函数在[0,3]上的最大最小值

30、求函数y1的值域

2xx231、已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为（1，3）

（1）若方程f(x)0的两根一个大于-3，另一个小于-3，求a的取值范围

（2）若方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的解析式

31、已知集合A{x|x(2m3)x3m0},B{x|x(m3)xm3m0}，且满足条件：（1）AB；（2）aAB(a0),求m及AB.

222x20},B{x||x1|1},则AIB等于

x2mx133、若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是

mx24mx332、已知集合A{x|

4x34、已知函数f(x)x，

42（1）若0a1，求f(a)f(1a)的值

（2）求f(

35、已知函数f(x)定义域为区间A，若其值域也为区间A，则称区间A为f(x)的保值区间．一般来说，函数的保值区间有(,m],[m,n],[n,)三种形式

（1）求函数f(x)xx1的保值区间

（2）函数g(x)1在，请说明理由

2122008)f()Lf()的值

2(x0)是否存在形如[a,b](ab)的保值区间，若存在，求出实数a,b的值；若不存x