高一数学函数的定义域与值域的常用方法

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高一数学求函数的定义域与值域的常用法

一：求函数解析式

1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

x1x2x1f()xx2例1. 已知，试求f(x)。

x11tx2f(t)tt1，t≠1。故得：xt1解：设，则，代入条件式可得：f(x)x2x1,x1。

说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

1f(x)2f()3x24x5x例2. （1）已知，试求f(x)；

2f(x)2f(x)3x4x5，试求f(x)； （2）已知1111f()2f(x)3245xxx解：（1）由条件式，以x代x，则得，与条件式联立，1284x5ffx2x2x3x33。 消去x，则得：2f(x)2f(x)3x4x5，与条件式联立，消（2）由条件式，以－x代x则得：去，则得：说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4. 求下列函数的解析式：

（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)2,f(x1)f(x)x1，求f(x)；

2（2）已知f(x1)x2x，求f(x)，f(x1)，f(x)；

fxfxx24x53。

x1x211)，求f(x)； （3）已知f(2xxx（4）已知3f(x)2f(x)x3，求f(x)。

【题意分析】（1）由已知f(x)是二次函数，所以可设f(x)axbxc(a0)，设法求出a,b,c即可。

（2）若能将x2x适当变形，用x1的式子表示就容易解决了。

2x1为一个整体，不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解。

x（4）x，x同时使得f(x)有意义，用x代替x建立关于f(x)，f(x)的两个程（3）设就行了。

【解题过程】⑴设f(x)axbxc(a0)，由f(0)2,得c2，

由f(x1)f(x)x1，得恒等式2axabx1，得a故所求函数的解析式为f(x)213,b。

22123xx2。

22Word 文档资料

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22（2）f(x1)x2x(x)2x11(x1)1，

2又x0,x11,f(x)x1(x1)。

x11t,则x,t1，

xt1x1x2111122)11(t1)(t1)tt1

则f(t)f(22xxxxx2所以f(x)xx1(x1)。

（4）因为3f(x)2f(x)x3 ①

用x代替x得3f(x)2f(x)x3 ②

3解①②式得f(x)x。

5（3）设【题后思考】求函数解析式常见的题型有：

（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式yaxbxc(a0)，顶点式ya(xh)k和标根式ya(xx1)(xx2)的选择；

（2）已知f[g(x)]求f(x)的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例（2）（3）；

（3）函数程问题，需建立关于f(x)的程组，如本例（4）。若函数程中同时出现f(x)，2211f()，则一般将式中的x用代替，构造另一程。

xx特别注意：求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域

二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

yx2例3. 求x3x4的定义域。

x20x4，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为： 解：由题意知：{x|x>－2且x≠±4}。

例2. 求下列函数的定义域：

（1）f(x)5x； （2）f(x)x11x

x3【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次被开数为非负数。

5x0x5,即【解题过程】（1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即x30x3x3,或3x3,或3x5。故函数的定义域为(,3)(3,3)(3,5].当然也可表示为xx3,或3x3,或3x5。

（2）要使函数有意义，则x|x1。

x10x1,即,所以x1，从而函数的定义域为1x0x1【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几Word 文档资料

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个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x的围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。

例4. 已知函数由下表给出，求其定义域

X 1 2 3 4 5 6

Y 22 3 14 35 －6 17

解：{1，2，3，4，5，6}。

3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定函数g（x）的围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

例8 已知f(x)x3,g(x)xx4x32,求yf(g(x))的定义域.x

由f(x)x3x3g(x)3解：2又由于x－4x＋3>0 **

联立*、**两式可解得：

x4x323 

例9. 若函数f（2）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。

x－1x－1解：由f（2）的定义域是［－1，1］可知：2≤2≤2，所以f（x）的定义域为［2，933933x1或3x44933933故所求定义域为x|x1或3x44

x2,4。

2x42］，故log2x∈［2，2］，解得，故定义域为－1三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的法。

1、分离变量法

y例11. 求函数2x3x1的值域。

y解：≠2}。

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。

2、配法

2例12. 求函数y＝2x＋4x的值域。

222解：y＝2x＋4x＝2（x＋2x＋1）－2＝2（x＋1）－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。

说明：这是一个二次函数，可通过配的法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为2二次函数的函数的值域也可采用此法求解，如y＝af（x）＋bf（x）＋c。

3、判别式法

2x32x111120x1x1x1，因为x1，故y≠2，所以值域为{y|yx22x3例13. 求函数y的值域。

24x5x6Word 文档资料

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x22x3y224x5x6可变形为：解：（4y－1）x＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解26632663y,7171。 得：说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次程后，该程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

4、单调性法

例14. 求函数y23，x∈［4，5］的值域。

x2y3513x解：由于函数为增函数，故当x＝4时，ymin＝；当x＝5时，ymax＝，25513,25。 所以函数的值域为5、换元法

例15. 求函数y2x41x的值域。

22解：令t1x0，则y＝－2t＋4t＋2＝－（t－1）＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。

例3. 求下列函数的值域：

1,2,3,4,5 （2）y（1）y2x1,xx1

1x22yx2x3,(5x2)

（3）y （4）21x【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数yf(x)，其值域就是指集合Cyyf(x),xA；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。

【解题过程】

9,11。 （1）将x1,2,3,4,5分别代入y2x1中计算，得出函数的值域为3,5,7，（2）x0,x11，即所求函数的值域为[1,)或用换元法，令tx(t0),yt1(t0)的值域为[1,)。

1x221,函数的定义域为R。

（3）<法一>y221x1x1x21,022,y(1,1]。

1x21x2yyx21x2(1y)x21y <法二>y21x1yx20,得到y(1,1]。

1y故所求函数的值域为（－1，1]。

（4）<构造法>yx2x3(x1)4,5x2,4x11

Word 文档资料

22

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习题讲解：

1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=

log2(1x),x0，则（f2009）的值为( )

f(x1)f(x2),x0A.-1 B. 0 C.1 D. 2

答案:C.

【解析】:由已知得f(1)log221,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1,

f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0,

f(4)f(3)f(2)0(1)1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0,

所以函数f(x)的值以6为期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的期性和对数的运算.

x24x6,x02.设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是（ ）

x6,x0A

(3,1)(3,) B

(3,1)(2,)

C

(1,1)(3,) D

(,3)(1,3)

答案：A 【解析】由已知，函数先增后减再增

当x0，f(x)2f(1)3令f(x)3,解得x1,x3。

当x0，x63,x3。故f(x)f(1)3 ，解得3x1或x3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

3.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有51xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是( ) A. 0 B.

225C. 1 D.

2

1x1f(x)，取x，则有：

答案：A 【解析】若x≠0，则有f(x1)2x11112f(1)f(1)f(1)（∵f(x)是偶函数，则

f()f(1)1222222111f()f()f()0 ）由此得于是，222

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53f()f(1)224.若f(x)13112f(3)5f(3)5f(11)5[2]f(1)5f(1)0

3232323122221a是奇函数，则a ．

x2112x1aa,f(x)f(x) 答案【解析】解法1f(x)xx21122

2x112x1a(a)2a1故a

12x2x112x12x23x,x1,5.已知函数f(x)若f(x)2，则x .

x,x1,答案log32【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、

基本运算的考查.

x1x1xlog32，由x无解，故应填log32.

x2x2326.记f(x)log3(x1)的反函数为yf1(x)，则程f1(x)8的解x ．

1y1答案2 【解法1】由yf(x)log3(x1)，得x3，即f(x)3x1，于是由3x18，解得x2

【解法2】因为f1(x)8，所以xf(8)log3(81)2

三、知识要点

1、奇偶函数定义：

（1）偶函数：一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

注意：①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域的任意一个x，则－x也一定是定义域的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

④奇函数若在x0时有定义，则f(0)0

2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图Word 文档资料

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象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

4、判断函数奇偶性的格式步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

确定f（－x）与f（x）的关系；

作出相应结论：

若f（－x） = f（x） 或 f（－x）－f（x） = 0，则f（x）是偶函数；

若f（－x） =－f（x） 或 f（－x）＋f（x） = 0，则f（x）是奇函数．

5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质

在公共定义域，

（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数．

（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数．

（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．

1（4） 函数f

（x）与fx同奇或同偶．

【典型例题】

一、判断函数的奇偶性

例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误

（1）因忽视定义域的特征致错

1、①fxxx1x1；②f

（x）=x2+（x+1）0

错解：①2020②∵

f

（－x）=（－x）+（－x+1）=x+（x+1）=f

（x）

∴

f

（x）是偶函数．

分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．

正解：①定义域（－∞，1）∪（1，+∞）关于原点不对称，f

（x）是非奇非偶函数．

②定义域（－∞，－1）∪（－1，+∞），∴

f

（x）为非奇非偶函数．

（2）因缺乏变形意识或法致错．

2、判断x错解：∵ 5－1≠0，∴

x≠0．

f

（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．

fxxx1xx1，∴

f

（x）是奇函数

fx115x12的奇偶性．

115x1fxx51215x2， ∵

∴

f

（－x）≠f

（x），f

（－x）≠－f

（x），

∴

f

（x）是非奇非偶函数．

分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．

115x1fxxx251251，定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点正解：对称．

5x115x5x1fxfx25x1215x25x1

Word 文档资料

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∴

f

（x）是奇函数．

（3） 因忽视f

（x）=0致错．

22fxx44x3、判断函数的奇偶性．

2x4024x0得x=±2，

错解：由∴

f

（x）的定义域为{－2，2}，关于原点对称．

fxx244xx244x2fx，

2∴

f

（x）为偶函数

正解：f

（x）的定义域为{－2，2}，此时，f

（x）=0，∴

f

（x）既是奇函数又是偶函数．

点评：函数f

（x）=0 （x≠0）是f

（x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f

（x）=0 （x≠0）函数的定义域．

（4）因分段函数意义不清致错

二、函数的奇偶性与单调性的关系

例3、已知：函数yf(x)在R上是奇函数，而且在(0,)上是增函数，

证明：yf(x)在(,0)上也是增函数。

证明：设x1x20，则x1x20∵f(x)在(0,)上是增函数。

∴f(x1)f(x2)，又f(x)在R上是奇函数。

∴f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)

所以，yf(x)在(,0)上也是增函数。

规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

2f(x)2x3x1，当x<0时，求f(x)

f(x)x0R例4、为上的奇函数，当时，解：设x0，由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，

又x0，由已知有f(x)2(x)3(x)12x3x1

22从而解析式为2x23x1x0f(x)0x02x23x1x0

12f(x)f()xx例5、（1）已知f(x)的定义域为{x|x0}，且，试判断f(x)的奇偶性。

（2）函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，试判断f(x)的奇偶性。

12f(x)f()xx解：（1）∵f(x)的定义域为{x|x0}，且 ①

1112f()f(x)xx ② 令①式中x为x得：Word 文档资料

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2x21f(x)3x， 解①②得∵定义域为{x|x0}关于原点对称

2(x)212x21f(x)3(x)3xf(x) 又∵2x21f(x)3x是奇函数。 ∴（2）∵定义域关于原点对称，

又∵令xy0得f(0)f(0)f(0)则f(0)0，

再令yx得f(0)f(x)f(x)，

∴f(x)f(x)

所以，原函数为奇函数

（一）函数单调性的定义

1. 增函数与减函数

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，

如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数。

如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说f（x）在区间D上是减函数。

注意：

①函数的单调性是在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2）或 f（x1）＞f（x2）。

2. 函数的单调性的定义

如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。

3. 判断函数单调性的法和步骤

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；

②作差f（x1）－f（x2）；

③变形（通常是因式分解和配）；

④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

（二）函数最大（小）值的定义

1. 最大值与最小值

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

那么，称M是函数y＝f（x）的最大值。

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

那么，称M是函数y＝f（x）的最小值。

注意：

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①函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）＝M；

②函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）。

2. 利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的法

①利用二次函数的性质（配法）求函数的最大（小）值

②利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值

③利用函数的单调性判断函数的最大（小）值

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y＝f（x）在x＝b处有最大值f（b）；

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y＝f（x）在x＝b处有最小值f（b）。

知识点一：函数的单调性与最值

例1：判断函数f(x)x4在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明。

x1）题意分析：用定义证明一个分式函数在(0,2)上的单调性

2）解题思路：按照用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤去做即可。

4在区间(0,2)上单调递减。

x44设0x1x22，则f(x1)f(x2)＝x1x2

x1x24(x2x1)4x1x2＝x1x2＝(x2x1)。

x1x2x1x2已知0x1x22，所以x2x10，4x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即原函数在(0,2)上单调递减。

解答过程：f(x)x解题后的思考：用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配）和定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）。

∞)上是增函数，且f(x)0，试问F(x)例2：已知f(x)是奇函数，它在(0，1f(x)0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。 在(∞，1）题意分析：本例比较抽象，没有具体的解析式。简单地说就是已知原函数的单调性，判断倒函数的单调性。

2）解题思路：根据函数的单调性的定义，可以设x2x10，进而判断F(x2)F(x1)11的符号。

f(x2)f(x1)0)，且x2x10，则有(x2)(x1)0。

解答过程：任取x1，x2(∞，f(x)在(0，∞)上是增函数，且f(x)0，f(x1)f(x2)0，

又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x1)f(x2)0。

f(x1)f(x2)110，

于是F(x2)F(x1)f(x2)f(x1)f(x1)f(x2)Word 文档资料

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F(x)

1在(∞，0)上是减函数。

f(x)解题后的思考：本例是一道抽象性较强的题，它考查了函数性质的综合应用。

x22x21例3：已知0x≤，求函数f(x)的最值。

x41）题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间求一个分式函数的最大（小）值；

2）解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。

解答过程：已知函数式可化为f(x)x增减性。

212，先判断函数f(x)在0x≤上的x41，则

4(xx)(xx2)22f(x1)f(x2)(x12)(x22)1212，

x1x2x1x210x1x2≤，x1x20，x1x220。

41f(x1)f(x2)0，即函数f(x)在0x≤上是减函数。

425125f(x)≥f。故所求函数的最小值为，无最大值。

444设0x1x2≤解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的目的。

例4：已知函数f(x)是增函数，定义域为(0，且f(4)2，f(xy)f(x)f(y)，∞)，求满足f(x)f(x3)≤2的x的取值围。

1）题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值围。

2）解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果f(x)f(x3)fx(x3)，则必须x0，x30，且x(x3)0。

x0，x30，解答过程：由题意，得

x(x3)0，f(x)f(x3)f[x(x3)]≤2，解得

3x≤4。所以x的取值围是3x≤4。

∞)这一隐含条件。 解题后的思考：容易忽视函数的定义域为(0，2例6：已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x2x3，求当x0时f(x)的解析式。

1）题意分析：已知函数是奇函数，且知道函数在某个区间上的解析式，求函数在该区间关于原点对称的区间上的解析式。

2）解题思路：利用奇函数的定义域关于原点对称的特点将未知区间通过取相反数过渡Word 文档资料

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到已知区间。

解答过程：当x0时，x0，所以有f(x)x2x3，又已知f(x)是奇函数，所以有f(x)f(x)＝x2x3。即当x0时，f(x)x2x3。

解题后的思考：关键在于利用取相反数、加减期等法将未知区间过渡到已知区间。

六、反函数

1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出xy，若对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么xy叫以y为自变量的函数，这个函数xy叫函数y=f(x)的反函数，记作xf般用x表示自变量，所以记作yf11222y，通常情况下，一x。

注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。

（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；

（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

2、求反函数的步骤

（1）解关于x的程y=f(x)，达到以y表示x的目的；

（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；

（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。

3、关于反函数的性质

-1（1）y=f(x)和y=f(x)的图象关于直线y=x对称；

-1（2）y=f(x)和y=f(x)具有相同的单调性；

-1（3）y=f(x)和x=f(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；

-1-1（4）已知y=f(x)，求f(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f(a)；

-1（5）f[f(x)]=x;

-1（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；

（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；

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