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2023年12月25日发(作者：后端开发的英文)
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求函数值域的十种方法
一 ． 直接法（观察法）： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 1 ．求函数
【解析】 ∵
【练习】
1 ． 求下列函数的值域：
①
③ ；
； ②
； ②
，
； ③
；
。
； 。
，∴
的值域。
，∴函数 的值域为 。
【参考答案】 ①
二 ． 配方法 ： 适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如
的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2 ．求函数
【解析】
∵ ，∴
。
∴函数
例 3 ．求函数
（ ）的值域为
的值域。
。
，∴
（
。
， ∴ ，∴
）的值域。
【解析】 本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：
配方得：
关知识得 ，从而得出： 。
利用二次函数的相说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 。
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例 4 ．若 ，试求 的最大值。
在直线
，
上滑动时函数 【分析与解】 本题可看成第一象限内动点
的最大值。利用两点 确定一条直线，作出图象易得：
， y=1 时，
取最大值
【练习】
。
2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ； ② ； ③ ；
④ ； ， ； 。
【参考答案】①
；② ；③ ；④ ； ；
三 ． 反函数法 ： 反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例 5 ．求函数 的值域。
分析与解： 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出 ，从而便于求出反函数。
反解得
【练习】
，故函数的值域为 。
1 ．求函数 的值域。
2 ． 求函数 ， 的值域。
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【参考答案】 1 ．
四 ． 分离变量法 ：
； 。
适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 ：求函数 的值域。
解：∵ ，
∵ ，∴
(
，∴函数
常数 ) 的形式。
的值域为 。
适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为
例 7 ：求函数 的值域。
项，可利用分离变量法；则有 分析与解 ： 观察分子、分母中均含有
。
不妨令： 从而 。
注意：在本题中若出现应排除
。
，因为 作为分母 . 所以 故
另解 ：观察知道本题中分子较为简单，可令
进而可得到 的值域。
【练习】
，求出 的值域，
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1 ． 求 函数 的值 域。
【参考答案】 1 ．
五、换元法 ： 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型 特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用 代数换元 ；当根式里是二次式时，用 三角换元 。
例 8 ：求函数 的值域。
解：令 （ ），则 ，∴ 。
∵当 ，即
。
时， ，无最小值。∴函数 的值域为
例 9 ：求函数
解 ：因
故可令
。
，即
， ∴
的值域。
。
∵ ，
，
故所求函数的值域为 。
例 10 . 求函数 的值域。
解：原函数可变形为：
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可令 X= ，则有
当 时，
当
而此时
时，
有意义。
故所求函数的值域为
例 11. 求函数
解：
令 ，则
， 的值域。
由
且
可得：
∴当 时， ，当 时，
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故所求函数的值域为
例 12. 求函数
解：由
故可令
，可得
。
的值域。
∵
当
当
时，
时，
；通过方程有实数根，（ 、 不同时为
故所求函数的值域为：
六、判别式法 ： 把函数转化成关于 的二次方程
判别式 ，从而求得原函数的值域，形如
零）的函数的值域，常用此方法求解。
例 13 ：求函数 的值域。
解：由
当
当
变形得
时，此方程无解；
时，∵ ，∴
，
，
解得 ，又 ，∴
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∴函数 的值域为
七、函数的单调性法 ： 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例 14 ：求函数
解：∵当 增大时，
的值域。
随 的增大而减少， 随 的增大而增大，
∴函数 在定义域 上是增函数。
∴
∴函数
例 15. 求函数
，
的值域为 。
的值域。
解：原函数可化为：
令
所以 在
，显然
在 上为无上界的增函数
上也为无上界的增函数
所以当 x=1 时，
显然
有最小值
，原函数有最大值
，故原函数的值域为
适用类型 2 ：用于求复合函数的值域或最值。 （ 原理：同增异减 ）
例 16 ：求函数 的值域。
分析与解： 由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：
。
配方得：
由复合函数的单调性（同增异减）知：
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八、利用有界性 ： 一般用于三角函数型，即利用 等。
例 17 ：求函数
解：由原函数式可得：
的值域。
，可化为：
即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为
注 ：该题还可以使用数形结合法。 ，利用直线的斜率解题。
例 18 ：求函数 的值域。
解：由 解得 ，
∵ ，∴ ，∴
∴函数 的值域为 。
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九、图像法（数形 结合法） ： 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例 19 ：求函数 的值域。
解：∵
∴
由图像知：函数
例 20 . 求函数
的图像如图所示，
的值域为
，
的值域。
解：原函数可化简得：
间的距离之和。
上式可以看成数轴上点 P （ x ）到定点 A （ 2 ），
由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，
当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：
例 21. 求函数
解：原函数可变形为：
的值域。
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上式可看成 x 轴上的点 到两定点 的距离之和，
， 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，
故所求函数的值域为
例 22. 求函数
解：将函数变形为：
的值域。
到点 上式可看成定点 A （ 3 ， 2 ）到点 P （ x ， 0 ）的距离与定点
的距离之差。
即：
由图可知：（ 1 ）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 ，则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（ 2 ）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
例 23 、：求函数 的值域 .
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分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式
，将原函数视为定点 (2 ， 3) 到动点 的斜率，又知动点
满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（ 2 ， 3 ）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：
点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。
例 24 ．求函数
分析与解答：令 ，
的值域。
，则 ，
在直角坐标系
，
的第一象限有，
原问题转化为 ：当直线 与圆
公共点时，求直线的截距的取值范围。
由图 1 知：当
当直线与圆相切时，
所以：值域为
经过点 时， ；
。
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十：不等式法 ： 利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例 25. 求函数
解：原函数变形为：
的值域。
当且仅当
即当 时 ，等号成立
的值域。
故原函数的值域为：
例 26. 求函数
解：
当且仅当 ，即当 时，等号成立。
由 可得：
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故原函数的值域为：
＊ 十一、 多种方法综合运用 ：
例 27. 求函数
解：令
的值域。
，则
（ 1 ）当
时， ，当且仅当 t=1 ，即 时取等号，所以
（ 2 ）当 t=0 时， y=0 。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例 28. 求函数 的值域。
解：
令 ，则
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∴当
当
时，
时，
此时 都存在，故函数的值域为
的有界性。 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法， 然后才考虑用其他各种特殊方法。
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