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2024年2月21日发(作者：web服务器开发工程师招聘)

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质

一．基本知识：

1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；

2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx,

x∈[－1, 1],

y∈[－，],

y＝arccosx,

x∈[－1, 1],

y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；

3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；

4．y＝arcsinx等价于siny＝x,

y∈[－，],

y＝arccosx等价于cosy＝x,

x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],

(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。

例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。

（A）y＝sinx,

x∈[－π, 0] （B）y＝sinx,

x∈[, ]

（C）y＝sinx,

x∈[,] （D）y＝sinx,

x∈[,]

解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[,]上是单调递减函数， 所以选D。

例三． arcsin(sin10)等于（C）。

（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π

解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相

等，且该角度在[－, ]上。

由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。（

例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。

（1）f (x)＝2sin2x,

x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.

解：(1)

x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2

由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),

∴

x＝－arcsin, ∴

f (x)＝－arcsin,

－2≤x≤2,

y∈[, ].

－1

(2)

f (x)＝＋arccos2x,

x∈[－, ],

y∈[,],

∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－),

x＝cos(y－)＝siny,

∴f

－1(x)＝sinx ,

x∈[,],

y∈[－, ].

例五．求下列函数的定义域和值域：

(1)

y＝arccosx; (2)

y＝arcsin(－x＋x); (3)

2y＝arcctg(2－1),

解：(1)

y＝arccos).

(2)

y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴

≤x≤2, 0<≤1, ∴

x≥1,

y∈[0,

,

22由于－x＋1＝－(x－)＋, ∴ －1≤－x＋

x≤, ∴ －≤y≤arcsin.

(3)

y＝arcctg(2－1), 由于2－1>－1, ∴ 0<

arcctg(2－1)<, ∴

x∈R,

y∈(0, ).

例六．求下列函数的值域：

(1)

y＝arccos(sinx),

x∈(－,

＝arcsinx＋arctgx.

解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1],

∴

y∈[0, ).

(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx.,

x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,

∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴

); (2)

yxxxy∈[－,].

例七．判断下列函数的奇偶性：

(1)

f (x)＝xarcsin(sinx); (2)

f (x)＝－

arcctgx.

解：(1)

f (x)的定义域是R，

f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),

∴

f (x)是偶函数;

(2)

f (x)的定义域是R,

f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),

∴

f (x)是奇函数.

例八．作函数y＝arcsin(sinx),

x∈[－π, π]的图象.

解：y＝arcsin(sinx),

x∈[－π, π], 得, 图象略。

例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。

解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>,

∴arccos(－)最大,

设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β,

tgβ＝, ∴ sinβ＝

∴ arctg< arcsin< arccos(－).例十．解不等式：(1) arcsinx.

解：(1)

x∈[－1, 1], 当x＝数，

∴ 当x∈[－1, )时, arcsinx

时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函(2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin,

∵ arcsinx是增函数, ∴

二．基础知识自测题：

1．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是.

2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .

3．函数y＝arctgx的定义域是

R ，值域是.

4．函数y＝arcctgx的定义域是

R ，值域是 (0,

π) .

5．arcsin(－arctg(－1)＝)＝; arccos(－)＝;

; arcctg(－)＝.

; 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.

7．若cosx＝－,

x∈(, π)，则x＝8．若sinx＝－,

x∈(－, 0)，则x＝.

.

9．若3ctgx＋1＝0,

x∈(0, π)，则x＝

三．基本技能训练题：

1．下列关系式总成立的是（B）。

.

（A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－>0

2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。

（A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx

（D）y＝arcctgx

3．不等式arcsinx>－的解集是等式arccosx>的解集是

.

. 4．不


本文标签： 函数 下列 定义域 值域

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