反三角函数大全

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反三角函数

Inverse trigonometric functions

第1节 反三角函数·概述

原创/O客

把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。

它们都是三角函数的反函数。严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。

以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●反正弦的值域

先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。

正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。因为它在定义域R上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。

但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。记为y=arc sinx。把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc

sinx的定义域。并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。

●请参考我的三角函数salon

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第2节 反三角函数·理解与转化

原创/O客

以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●符号理解

初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。

一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。

另一方面，符号arc sinx可以用下面的三句话来理解：

①它是一个角。即一个实数。arc sinx∈R.

②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。-π/2≤arc sinx≤π/2。

③这个角的正弦值等于x。sin(arc sinx)=x.

●互化

反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。

有互化公式（充要条件）如图。

α=arc sinx x=sinα

ππ|x|≤1 -2 ≤α≤2

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第3节 反正弦函数的图象和性质

原创/O客

函数名称 反正弦函数

解析式 y=arc sinx

图象 反正弦曲线（图3）

1.定义域 [-1,1]

2.值域 [-π/2,π/2]

3.有界性 |y|≤π/2

4.最值 x=1时，y max=π/2

x=-1时，y min=-π/2

5.单调性 增函数

6.奇偶性 奇函数.

7.周期性 无

8.对称性 关于原点对称

9.反函数 y=arc sinx，x∈[-π/2,π/2]

10.与反余弦的关系 arc sinx+arc cosx=π/2

●请参考我的三角函数salon

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第4节 反余弦函数的图象和性质

原创/O客

函数名称 反余弦函数

解析式 y=arc cosx

图象 反余弦曲线（如图）

1.定义域 [-1,1]

2.值域 [0,π]

3.有界性 0≤y≤π

4.最值 x=-1时，y max=π

x=1时，y min=0

5.单调性 减函数

6.奇偶性 非奇非偶函数

7.周期性 无

8.对称性对称中心(0,π/2)

9.反函数 y=cosx, x∈[0,π]

10.与反正弦的关系 arc sinx+arc cosx=π/2

●请参考我的三角函数salon

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y

π

y=arc cosx

π2

-1

O

1

x

函数 y=arc cosx的图象

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第5节 反正切函数的图象和性质

原创/O客

函数名称 反正切函数

解析式 y=arc tanx

图象 反正切曲线（如图）

1.定义域 R

2.值域 (-π/2,π/2)

3.有界性 |y|<π/2

4.最值 无

5.单调性 增函数

6.奇偶性 奇函数

7.周期性 无

8.对称性 关于原点对称

9.渐近线 y=±π/2

10.反函数 y=tanx, x∈(-π/2,π/2)

11.与反余切的关系 arc tanx+arc cotx=π/2

●请参考我的三角函数salon

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y

y=arc tanx

π

2

O

x

π

-2

函数 y=arc tanx的图象

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第6节 反余切函数的图象和性质

原创/O客

函数名称 反余切函数

解析式 y=arc cotx

图象 反余切曲线（如图）

1.定义域 R

2.值域 (0,π)

3.有界性 0

4.最值 无

5.单调性 减函数

6.奇偶性 奇函数

7.周期性 无

8.对称性 对称中心(0,π/2)

9.渐近线 y=0，y=π

10.反函数 y=cotx, x∈(0,,π)

11.与反正切的关系 arc tanx+arc cotx=π/2

●请参考我的三角函数salon

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y

π

y=arc cotx

π

2

O

x

-

函数

y=arc cotx

的图象 .

.可修编.

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第7节 用反三角函数表示角

原创/O客

已知某一个角的三角函数值，如何表示这个角？

以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●一个锐角至少有等价的四种表达式

不妨，以直角三角形的锐角为例。

直角三角形ABC中，a=3,b=4,c=5,则

A=arc sin(3/5), A=arc cos(4/5)

A=arc tan(3/4), A=arc cot(4/3)

●已知三角函数值表示角，要特别注意角的范围

例如，已知sinα=1/3,

由正弦函数线（见salon(6)）或者正弦曲线（见salon(20)）,可得

若α是锐角，则α=arc sin(1/3).

若α∈[0,π]，则α=arc sin(1/3) 或α=π-arc sin(1/3).

若α∈[0,2π），则α=arc sin(1/3) 或α=π-arc sin(1/3)。

若α是第1象限角，则α=2kπ+arc sin(1/3),k∈Z.

若α∈R，则α=2kπ+arc sin(1/3),或α=2kπ+π-arc sin(1/3), k∈Z，

可以合并为α=2kπ+(-1)^k *arc sin(1/3), k∈Z

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第8节 三角方程

原创/O客

三角函数的自变量中含有未知数，含有这样的三角函数的方程叫三角方程。

●一般地，一个较复杂三角方程的解集往往都是几个最简三角方程的解集的并集。三角方程都要转化为最简三角方程来解。最简三角方程的解法是三角方程解法的基础。

●最简三角方程的解集

=a (|a|≤1)的解集是

｛x|x=kπ+(-1)^k arc sina, k∈Z｝

=a (|a|≤1)的解集是

｛x|x=2kπ± arc cosa, k∈Z｝

=a的解集是

｛x|x=kπ+arc tana, k∈Z｝

- . .可修编.

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=a的解集是

｛x|x=kπ+arc cota, k∈Z｝

●以三角方程sinx=a (|a|≤1)为例，说一说记忆和应用 。

▲最简三角方程的解集不要死记硬背，要借助函数线和图象记忆，如图。

▲灵活应用。形如sin(ωx+φ)=a (|a|≤1),则ωx+φ=kπ+(-1)^k arc sina, k∈Z，解出x即可。

●请参考我的三角函数salon

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y

2k +π-arc sina

2kπ+arc sina

1

a

O

1

x

方程sinx=a(0

y

y= sinx

1

a

π

-π x

O

arc sina π-arc sina

-1

方程sinx=a(0

- . .可修编.