计算机知识(负数的计算方法)

计算机知识（负数的计算方法）

只有有符号的整数才有原码、反码和补码的！其他的类型一概没有。虽然我们也可以用二进制中最小的数去对应最小的负数，最大的也相对应，但是那样不科学，下面来说说科学的方法。还是说一个字节的整数，不过这次是有符号的啦，1个字节它不管怎么样还是只能表示256个数，因为有符号所以我们就把它表示成范围：-128-127。它在计算机中是怎么储存的呢？可以这样理解，用最高位表示符号位，如果是0表示正数，如果是1表示负数，剩下的7位用来储存数的绝对值的话，能表示27个数的绝对值，再考虑正负两种情况，27*2还是256个数。首先定义0在计算机中储存为00000000，对于正数我们依然可以像无符号数那样换算，从00000001到01111111依次表示1到127。那么这些数对应的二进制码就是这些数的原码。到这里很多人就会想，那负数是不是从10000001到11111111依次表示-1到-127，那你发现没有，如果这样的话那么一共就只有255个数了，因为10000000的情况没有考虑在内。实际上，10000000在计算机中表示最小的负整数，就是这里的-128，而且实际上并不是从10000001到11111111依次表示-1到-127，而是刚好相反的，从10000001到11111111依次表示-127到-1。负整数在计算机中是以补码形式储存的，补码是怎么样表示的呢，这里还要引入另一个概念——反码，所谓反码就是把负数的原码（负数的原码和和它的绝对值所对应的原码相同，简单的说就是绝对值相同的数原码相同）各个位按位取反，是1就换成0，是0就换成1，如-1的原码是00000001，和1的原码相同，那么-1的反码就是11111110，而补码就是在反码的基础上加1，即-1的补码是11111110+1=11111111，因此我们可以算出-1在计算机中是按11111111储存的。总结一下，计算机储存有符号的整数时，是用该整数的补码进行储存的，0的原码、补码都是0，正数的原码、补码可以特殊理解为相同，负数的补码是它的反码加1。下面再多举几个例子，来帮助大家理解！

十进制 → 二进制 （怎么算？要是不知道看计算机基础的书去）

47 → 101111

有符号的整数 原码 反码 补码

47 00101111 00101111 00101111（正数补码和原码、反码相同，不能从字面理解）

－47 10101111 11010000 11010001（负数补码是在反码上加

1）

“反码和补码技术是怎样被提出的？ ”

====================1.预备知识。==================

注意：此处的 '== '是相等的意思。 '= '是赋值的意思。

在机器世界里：

正数的最高位是符号位0，负数的最高位是符号位1。

对于正数:反码==补码==原码。

对于负数:反码==除符号位以外的各位取反。

补码==反码+1.

原码==补码-1后的反码==补码的反码＋1。(读完本文后，应该能够直观地认识到本式的正确性）

可以轻易发现如下规律：

自然计算 ：a-b==c.

计算机计算：a-b==a+b的补码==d.

c的补码是d.

通过此法，可以把减法运算转换为加法运算。

所以补码的设计目的是:

1.使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

2.减运算转换为加运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计.

=====================2.灵感由来。=================

概念定义：

还记得初中数学里的“补角”的概念吧。

两数之和等于100时，这两个数叫做互为“补数”,100称做“和数”。

如果B+C==100,则

A-B==A-(100-C)==A+C-100.

可以肯定：A－B＝A＋B的补数－和数。

把这个方法引入机器世界:

设int是8位整数(最高位是符号位），和数H是9位:1 0000 0000.

a,b是任意两int.

显然，a+a的补码==H,H溢出那个最高位之后就剩下了int值0.

①.输入a-b，

②.机器将a-b化个装后喂给加法器：（a的补码）+(-b的补码),它等于c.

不要忘了，c是一个补码.

③.输出：c的原码.

赋值A=a,B=b后，比较一下：

a-b==(a的补码)+(-b的补码)==c.//此处的c是补码形式。

A－B==A＋B的补数－和数==C.//此处的C是数字，可以认为它就是原码形式。

if(C> =0) C==c==c的原码;( '== '是相等的意思,并非赋值)

else C==c的原码；

这个“补码”中的“补”，跟初中学的那个“补”是一个意思。

数学中的概念名称真还不是随便定义的，比如“数理逻辑”，故名思义就是：用“数学语言”来理清“逻辑”。

一：对于正数，原码和反码，补码都是一样的，都是正数本身。

对于负数，原码是符号位为1,数值部分取X绝对值的二进制。

反码是符号位为1,其它位是原码取反。

补码是符号位为1，其它位是原码取反，未位加1。

也就是说，负数的补码是其反码未位加1。

移码就是将符号位取反的补码

二：在计算机中，实际上只有加法运算，减法运算也要转换为加法运算，

乘法转换为加法运算，除法转换为减法运算。

三：在计算机中，对任意一个带有符号的二进制，都是按其补码的形式进行运算和存储的。

之所以是以补码方式进行处理，而不按原码和反码方式进行处理，是因为在对带有符号位的

原码和反码进行运算时，计算机处理起来有问题。(具体原因见理解原码,反码与补码)

而按补码方式，

一方面使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

另一方面使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

四：补码加、减运算公式

1)：补码加法公式

[X+Y]补 ＝ [X]补 + [Y]补

2)：补码减法公式

[X-Y]补 = [X]补-[Y]补 = [X]补 + [-Y]补

其中：[-Y]补称为负补,求负补的办法是：对补码的每一位(包括符合位)求反，且未位加1.

补码

百科名片

补码

补码(two's complement) 1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。 主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补 码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。 2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。

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补码概述

代数加减运算

补码的代数解释

补码概述

代数加减运算

补码的代数解释

[编辑本段]

补码概述

求给定数值的补码表示分以下两种情况：

（1）正数的补码

与原码相同。

【例1】+9的补码是00001001。

（2）负数的补码

符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。

【例2】求-7的补码。

因为给定数是负数，则符号位为“1”。

后七位：+7的原码（0000111）→按位取反（1111000）→加1（1111001）

所以-7的补码是11111001。

已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：

（1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。

（2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。

另一种方法求负数的补码如下：

例如：求-15的补码

第一步：+15：00001111

第二步：逐位取反（1变成0，0变成1），然后在末尾加1。

11110001

再举一个例子验证下：求-64的补码

+64：01000000

11000000

【例3】已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）。

因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。

其余七位1111001取反后为0000110；

再加1，所以是10000111。

在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”

的概念：

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范

围，即都存在一个“模”。例如：

时钟的计量范围是0～11，模=12。

表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的

余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

一种是倒拨4小时，即：10-4=6

另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特

性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再

加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的

模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以

了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

另外两个概念

一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码

而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。

(3).补码的绝对值（称为真值）

【例4】-65的补码是10111111

若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。

事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。

若要得到一个负二进制数的绝对值（称为真值），只要各位（包括符号位）取反，再加1，就得到真值。

如：二进制值：10111111（-65的补码）

各位取反：01000000

加1：01000001（+65的补码）

[编辑本段]

代数加减运算

1、补码加法

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补

[X]补=00110011 [Y]补=11010111

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010

注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是

100001010，而是00001010。

2、补码减法

[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补

其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是：所有位（包括符号位）按位取反；然后整个数加1。

【例6】1+（-1） [十进制]

1的原码00000001 转换成补码：00000001

-1的原码10000001 转换成补码：11111111

1+（-1）=0

00000001+11111111=00000000

00000000转换成十进制为0

0=0所以运算正确。

3、补码乘法

设被乘数【X】补=X0.X1X2……Xn-1，乘数【Y】补=Y0.Y1Y2……Yn-1,

【X*Y】补=【X】补×【Y】补，即乘数（被乘数）相乘的补码等于补码的相乘。

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补码的代数解释

任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;

这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)

这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式，2^(n-1)-a＝(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。

不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。

注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0——2^8-1。

C语言中，就是用补码进行存储和运算的

在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。

主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补

码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。

2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。

数值的补码表示也分两种情况：

（1）正数的补码：与原码相同。

例如，+9的补码是00001001。

（2）负数的补码：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。

例如，-7的补码：因为是负数，则符号位为“1”,整个为10000111；其余7位为-7的绝对值+7的原码

0000111按位取反为1111000；再加1，所以-7的补码是11111001。

已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：

（1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，所以补码就是该数的原码。

（2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，求原码的操作可以是：符号位为1，其余各位取

反，然后再整个数加1。

例如，已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）：因为符号位为“1”，表示是一个负

数，所以该位不变，仍为“1”；其余7位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。

在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”

的概念：

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范

围，即都存在一个“模”。例如：

时钟的计量范围是0～11，模=12。

表示n位的计算机计量范围是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指数】

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的

余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

一种是倒拨4小时，即：10-4=6

另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特

性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再

加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的

模为2(8)。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以

了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。