ECT图像重建正则化参数选取新方法

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第２７卷第儿期　仪　器　仪　表　学　报　Ｖ０１．２７　Ｎｏ．１１　２００６年１１月　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ　Ｎｏｖ．２００６　ＥＣＴ图像重建正则化参数选取新方法　杨钢　王玉涛邵富群王　师　陆增喜　（东北大学信息学院沈阳１１０００４）　摘要电容层析成像图像重建是一不适定反问题。此种情况下，仅使用最小二乘法不能保证获得满意的介质分布图像重建结　果，因此广泛使用ＴＩｋｈｏｎｏｖ正则化算法来产生适当的解。正则化参数的合适选取对图像重建至关重要，其对重建质量和计算　时间都有影响。本文提出了一种基于最平坦斜率的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化参数选择方法，并针对２种典型介质分布，将基于此方法　计算的正则化参数同Ｌ＿曲线法在电容测量数据无噪声和施加噪声情况下的图像重建结果进行了比较。　关键词　电容层析成像　图像重建不适定反问题Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化Ｌ一曲线　‘　中图分类号ＴＰ３１７．４文献标识码Ａ国家标准学科分类代码　５１０．４０５０　Ｎｅｗ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ＥＣＴ　ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　Ｙａｎｇ　Ｇａｎｇ　Ｗａｎｇ　Ｙｕｔａｏ　Ｓｈａｏ　Ｆｕｑｕｎ　Ｗａｎｇ　Ｓｈｉ　Ｌｕ　Ｚｅｎｇｘｉ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｇｙａｎｇ　１　１　０００４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｏｆｔｅｎ　ｉｌｌ　ｐｏｓｅｄ．Ｉｎ　ｓｕｃｈ　ｃａｓｅｓ，　ｕｓｉｎｇ　ｏｎｌｙ　ｓｉｍｐｌｅ　ｌｅａｓｔ—ｒｓｑｕａｒｅｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ｎｏｔ　ｅｎｓｕｒｅ　ａ　ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ　ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｅｄｉａ　ｄｉｓｔｒｉｂｕ。－　ｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｗｉｄｅｌｙ　ｅｍｐｌｏｙｅｄ　ｔｏ　ｐｒｏｄｕｃｅ　ｐｒｏｐｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ　ｓｅｌｅｃ—　ｔｉｎｇ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｓ　ｃｒｕｃｉａｌ　ｆｏｒ　ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ　ａｆｆｅｃｔｓ　ｂｏｔｈ　ｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｃｏｓｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｎｅｗ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｌａｔｔｅｓｔ　ｓｌｏｐｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｆｏｒ　ｔｗｏ　ｔｙｐｉｃａｌ　ｍｅｄｉａ　ｄｉｓｔｒｉ—　ｂｕｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｕｓｉｎｇ　ｂｏｔｈ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｆｌａｔｔｅｓｔ　ｓｌｏｐｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｌ—ｃｕｒｖｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ．Ｔｈｅ　ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｏｒ　ｎｏｉｓｅｌｅｓｓ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｄａｔａ　ａｎｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄａｔａ　ｗｉｔｈ　ｎｏｉｓｅ　ａｄｄｅｄ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　Ｌ—ｃｕｒｖｅ　估计传感器内的空间介电常数分布被称作反问题　这也　引　正是图像重建算法必须处理和解决的问题。目前大多数　的ＥＣＴ算法是基于线性化模型，称为线性化算法，主要　电容层析成像（ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ，　分２类：直接方法和迭代方法［３］。　ＥｃＴ）是一种主要用于工业管道多相流参数测量的成像　直接方法属于单步方法，因成像速度快因而适于实　技术ｌ＿１　］。它通过检测安置在容器外的阵列电容器电容　时应用，如线性反投影算法（Ｕ　）＿４　等。由于ＥＣＴ图像　值，并通过适当的图像重建算法把它们转换成反映容器　重建是一种不适定（ｉｌｌ－ｐｏｓｅｄ）反问题，测量误差能被传　内各相介质的分布图像，从而获得容器内介质混合物的　播，所得的解与真实解相差很大，因此重建算法需施加正　空问分布信息。给定含有测量误差的电容值ｃ—Ｃ＋　，　则化和先验知识限制以保持解的唯一性和稳定性。处理　＊本文于２００５年７月收到，系国家自然科学基金（６０３７４０５２）资助项目。　

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第¨期　杨钢等：ＥＣＴ图像重建正则化参数选取新方法　１４７９　不适定问题的正则化方法有多种，其中Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化　是一种通用方法【　Ｉ并已应用于ＥＣＴ图像重建。Ｔｉｋ—　ｈｏｎｏｒ算法的成功应用依赖于正则化参数　的合适选　取。有多种正则化参数的选取方法，如偏差原理、交叉确　认方法、Ｊ　一曲线等　］。所有这些算法都需要相当多的计　算时间，并且只能用于流型已知的场合。文中提出了一　种新的正则化参数的选取方法，这种方法具有实现简单、　计算速度快等优点。将这种方法同Ｌ一曲线法进行比较，　仿真实验表明，此方法同流行的Ｌ一曲线法相比在ＥＣＴ图　像重建质量方面具有优越性。　２　ＥＣＴ图像重建原理　图１所示为ＥＣＴ传感器断面分布图。在ＥＣＴ系统　中，测量电容值ｃ是传感器内部相对介电常数分布￡（ｘ，　ｙ）的非线性函数，Ｃ—Ｆ（￡），在实践中通常近似为一个线　性化模型。　０一　Ｏ　；　Ｏ、Ｏ；Ｏ　Ｏ　一　～　～　～　～　～　～　；　Ｏ　Ｏ；Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　１一　Ｏ；Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ；Ｏ　●　图ｌ■　　ＥＣＴ传感器断面　●　●　●　●　●　■　●　●　●　●　●　■　●　●　●　●　经过离散、线性、归一化的模型如下：Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　　Ｏ　Ｃ—Ｓ　Ｇ　（１）　式中：Ｃ∈　为归一化电容值向量；ＳＥ　为归一化系　数矩阵（灵敏度矩阵）；ＧＥ　Ｒ　为归一化介质分布图像向　量，ｍ＜Ｃｎ。　ＥＣ　ｒ图像重建的任务就是给定电容值Ｃ，求解介电　常数分布Ｇ。然而由于独立电容测量值数目Ｎ（Ｉ＼『一１）／　２，其中Ｎ为极板数目，小于离散化的介电常数分布单元　数，因此离散反问题是不适定的，解不唯一。为解决这一　问题通常采用最小二乘法进行求解：使真实测量电容值　和基于重建的计算电容值范数最小。　ｌ　Ｇ，　Ｓ　Ｃ　ｌ＝ｍｉｎ　（２）　由于式（１）是欠定的，ｓ不能直接求逆，故应用奇异　值分解（ＳＶＤ）法得到式（１）的最小二乘解为：　个　一Ｖ∑一ｕｒｃ一∑ｕ　；ｃ　（３）　ｉ一１　ｌ　式中；ｕ和Ｖ分别是５的左、右奇异矩阵，并且ｕ和Ｖ都　是正交矩阵；　１≥　≥…≥　ｒｌ≥　为ｓ的ｋ个奇异值；　是对角矩阵ｄｉａｇ（ａ　）；　是　的逆，如下表示；　一　（４）　从式（４）可知，矩阵　中很小的奇异值　（对比最大　的奇异值　）倒转将产生矩阵　中大的元素，这种影响　将对式（３）的解引入比较大的误差，而ＥＣＴ图像重建系　数矩阵（灵敏度矩阵）又是病态的，存在较小奇异值，所以　如果ｌ“　／　｝的幅值远大于式（３）中相关联的奇异值　，重建图像结果将受控于总合中奇异值最小的项，测量　电容值Ｃ很小的变化，将使最小二乘解Ｇｔｓ产生很大的　变化，所以解不满足对测量数据Ｃ的连续依赖性，这也是　ＥＣＴ图像重建反问题病态性表现。由于灵敏度矩阵ｓ　中小奇异值的这种特性，采用简单的最小二乘方法不能　保证介质分布图像重建质量。因此，在这种情况下，大多　数的数值方法通过一个附近的适定问题来替代不适定问　题，以克服系数矩阵中小奇异值的影响。解适定问题比　由最小二乘法获得的不适定问题的解会更令人满意。处　理这类病态、不适定问题的一个很有用的方法就是Ｔｉｋ—　ｈｏｖｏｖ正则化方法。　３　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化及正则化参数的选取　３．１　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化　简单讲，Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化的潜在思想是使正则化解　具有合适的小的残差范数和满意的附加限制而使其接近　希望得到的未知解。应用于ＥＣＴ反问题的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ算　法的通用形式如下所示　Ｊ—ｌ　ｌｓ　Ｇ　一Ｇ　ｌｌ。＋　ｌ　ｌＩ＿１３　（５）　式中：　为正则化参数，控制着目标函数．，中附加限制极　小化项０　ＬＧ　ｌｌ相对于残差范数极小化项　ｓＧ～　Ｇ　ｌｌ的比重。应选择合适的某个正　值使残差范数　ｌｌ　ｓＧ　ｃ　ｌｌ和解范数ｌ　ｌＬＧ　ｌｌ同时为小。　被称为正则　化参数，Ｇ被称为正则化解。假设Ｌ为单位阵，上面的　极小化问题最小二乘解为：　Ｇ一　ｄ旦＋ａ・　（６）　显然，当　一０时，　—Ｇ　。式（６）中正则化因子　Ｒ／ａ　／（　＋　）与｝ｕＴ／，　｝的幅值具有紧密联系从而可防　止较小奇异值倒数的影响。因此，由于正则化参数控制　

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１４８０　仪器仪表学报　第２　７卷　着解的性质，对其选择应多加注意。　３．２正则化参数选择方法　截断奇异值分解法（ＴＳＶＤ）同Ｔｉｋｈｏｎｏｖ一样也能被　用来正则化离散不适定问题　］。这种方法利用截断系数　矩阵的奇异值分解，舍弃系数矩阵的最小奇异值来求解　最小二乘问题。式（２）ＴＳ、厂【）的解写为：　ｉ　下　Ｇ（　一∑　ｕ￣ｃ　，１≤Ｊ≤ｋ　（７）　ｉ一１　ｌ　解的范数为：　Ｇ（Ｊ　ｌｌ。一∑（“ＴＣ　）。　（８）　＝１　整数．『称为截断参数。如果式（２）是满足离散　Ｐｉｃａｒｄ条件（ＤＰＣ）的最小二乘问题，即当　一０时，　ｌ１．７ｃ／ａ，ｌｌ一０，连接点｛（．『，ｌ　ＩＧ（　ＩＩ。）｝的分段线性曲　线对于比较大的．『值通常是较平坦的，这是由于，如果　优＞Ｚ，更多的时候可有：　ｌ　ｌＧ（神ｌｌ。一Ｉ　ｌＧ（一”ｌｌ。一（　ｆ／　）　＜ｌ　ＩＧ（。ｌＩ　一　ＩＩ　Ｇ（　Ｉｌ。一（ｕＴｃ／ａ，）。。　应注意到：当．『变大时，由于Ｉ　ＧＬＳ—Ｇ“　Ｉ一　∑　（Ｃｃ／ａｉ）　，Ｇ（　接近于ＧＬＳ，换句话说，在大多数　时候，曲线上的点越平坦，Ｇ（　越接近于ＧＬＳ。所以对于　ＴＳＶＤ方法来说，合适的截断参数应是　值较大，并且在　曲线最平坦区域。　定性研究曲线｛（　，０　Ｉ）；．『＝＝＝１，２，…，２８｝和曲　线｛ｌｎ（１／ａ，０　Ｇ　０｝特性。式中Ｇ（　是式（２）的第．『阶　ＴＳＶＤ解，而Ｇ是式（２）参数为　时的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化　解。２条曲线分别如图２、图３所示。　厂———一　●　图２截断参数　对比Ｉ　Ｇ　Ｊ　上面２图很相似，而图３更平滑一些。在２图中，一　个拐角将曲线分成２部分，右边部分是平的，或多或少向　下凹；左边部分很陡。图２中Ｊ越接近最优的截断参数，　曲线变得越平坦。在ＴｉｋｈｏｎＯＶ正则化中，如果测量电容　值Ｃ满足ＤＰＣ，我们也有这样一条类似曲线如图３，通过　前面讨论提示选择合适的正则化参数应当对应曲线最不　敏感区域的一个点上。为方便起见，将此种参数选择方　法称其为“最平坦斜率方法”＿ｌ州。　具体方法如下：　图３（１ｎｌ／２，Ｉ　Ｇ　Ｉ）图　（１）探测不敏感区域，其与曲线（１ｎ（１／ｘ，ｌ　Ｇ　１）的　敏感区相邻；　（２）选择曲线不敏感区上的一点作为州直，在这一点　上斜率最平坦。　在实际ＥＣＴ图像重建问题中，由于存在着离散化、　测量等过程引起的噪声的事实，电容测量值向量Ｃ部分　满足ＤＰＣ。仿真实验研究表明对这样的问题，应用最平　坦斜率方法仍能获得适合的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化参数。　４重建结果比较　４．１测试流型　为验证基于最平坦斜率的正则化参数选择方法，选　择两种典型油／气两相介质分布，原始分布图像如图４所　示。管道内成像区域剖分单元数目为７９２，电容极板数　目８，测量电容值数目２８。　（ａ１核心流（ｂ）泡状流　图４管道断面分布原始图像，　黑色和白色分别表示石油和空气　４．２基于最平坦斜率方法的正则化参数　最平坦斜率方法的实施过程如下：选取　正则化参　数值序列，计算所有Ｉ　ｌ—Ｉ　Ｇ】卜　ｌ的差值，识别曲　线（１ｎｌ／２，Ｉ　Ｇ　１）上的不灵敏区域，选择不灵敏区域上　最小差值所对应的　…该值即为计算所得正则化参数值　。基于最平坦斜率方法的重建结果如图５所示。核心　流（ａ）的正则化参数值　一２．３×１０，泡状流（ｂ）的　—　１．０×１０。不同的流型分布对参数　的选择影响由此　可清楚看到。　４．３基于　曲线方法的正则化参数　基于Ｌ一曲线法的重建图像如图６所示。对２种流型　计算如图７，核心流　一３．７×１０一，泡状流　；＝＝０．０８。对　

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第１１期　杨钢等；ＥＣＴ图像重建正则化参数选取新方法　１４８１　（ａ）核心流　（ｂ）泡状流　图５基于最平坦斜率法的图像重建结果　核心流来说，由于两种方法计算所得参数值相差不大，所　以两种方法的重建结果很相似。对于泡状流来说，情况　有所不同，两种方法所得参数值相差很大，基于Ｌ曲线　法的图像重建结果（见图６（ｂ））同基于最平坦斜率法重　建图像相比（见图５（ｂ））很失败，这清楚地表明了最平坦　曲线法要优于Ｌ一曲线法。　◎　（ａ）核心流　（ｂ）泡状流　图６基于Ｌ一曲线法的图像重建结果　￣ｌｌＳａ－ｑｌ２　（ａ）　磊１　蓬　１　残差范数ｌ　ｌＧ—ｑｌ２　（ｂ）　图７　２种流型的Ｌ一曲线　４．４正则化参数在高斯噪声干扰情况下的性能　本节对在测量电容值存在高斯噪声干扰下（标准偏　差０．Ｏ１　Ｖ，均值０　Ｖ）的重建情况进行了相应研究。存在　噪声干扰的Ｌ曲线如图８所示。从Ｌ一曲线图中看到，对　于２种介质分布的Ｌ曲线法计算所得的参数　值相比无　噪声时变化不大，因而对噪声的抑制作用不强，重建图像　ｉ｝瓤张鞋　ｌ　ｌ　结果（见图９（ｂ）、（ｄ））质量较差。应用最平坦斜率法的　参数值分别为核心流　一３．１×１０，泡状流　一１．０×　１０～。重建图像结果如图９（ａ）、（ｃ）所示。重建结果显　示，核心流的重建图像质量有所降低，但泡状流与无噪声　时相比结果很接近。　残差范数ｌ　ｌＧＩｑｌ２　（ａ】　籁　琏　残差范数ｌ　Ｇ—Ｃｌｔ２　（ｂ）　图８在测量值存在高斯噪声下的Ｌ一曲线　（ａ）核心流　（ｂ）核心流　（ｃ）泡状流　（ｄ１泡状流　图９重建图像结果（ａ）、（ｃ）基于最平坦斜率法，　（ｂ）、（ｄ）基于Ｌ一曲线法　５结　论　应用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法进行ＥＣＴ图像重建，正　则化参数的适当选择至关重要。本文提出了一种新的选　择正则化参数的方法——最平坦斜率方法。基于最平坦　斜率的正则化参数选择方法具有编程简单和计算时间短　

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１４８２　仪器仪表学报　第２　７卷　的优点。　文中应用此方法对两种测试模型的重建结果进行了　验证，并同广泛使用的基于Ｌ一曲线法的重建结果进行了　比较。　实验中发现在没有噪声干扰的情况下，对流型分布　１（核心流），两种方法重建图像质量相差无几，但对第二　种流型（泡状流）来说，基于最平坦斜率法的正则化参数　图像重建质量要明盟好于Ｌ一曲线法。在对电容测量数　据加入高斯噪声干扰情况下，对于这两种流型分布，基于　最平坦斜率方法都要好于Ｌ一曲线法。　参考文献　［１］ＸＩＥ　Ｃ　Ｇ，ＰＬＡＳＫＯＷＳＫＩ　Ａ，ＢＥＣＫ　Ｍ　Ｓ　８－ｅｌｅｃｔｒｏｄｅ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｆｏｒ　ｔｗｏ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｆｌｏｗ　ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａ　ｔｉｏｎ［Ｊ１．Ｐａｒｔ　１：Ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ　ｆｌｏｗ　ｉｍａｇｉｎｇ，ＩＥＥ　Ｐｍｃｅ￣ｉｎｇｓ　Ａ，１９８９，１３６（４）：１７３—１８３．　［２］ＸＩＥ　Ｃ　Ｇ，ＨＵＡＮＧ　Ｓ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ｔｏｍｏ－　ｇｒａｐｈｙ　ｆｏｒ　ｆｌｏｗ　ｉｍａｇｉｎｇ：ｓｙｓｔｅｍ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｄｅｖｅｌｏｐ—　ｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ａｎｄ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｐｒｉａｍｒｙ　ｓｅｎｓｏｒｓ　ＥＪ］．ＩＥＥ　Ｐｒｏｃ．一Ｇ，１９９２，１３９（１）：　８９—９８．　［３］ＰＯＬＹ￣ＲＩＤＥＳ　Ｎ．Ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ｓｏｆｔ－ｆｉｅｌｄ　ｔｏｒａｏｇｒａｐｈｙ［Ｄ］．ＵＫ：Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｍａｎｃｈｅｓｔｅｒ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００２．　［４］　ＹＡＮＧ　Ｗ　Ｑ，ＰＥＮＧ　Ｌ　Ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ａｌｇｏ—　ｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ［Ｊ］．　Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００３，１４：Ｒ１—１３．　［５］ＰＥＮＧＬ　Ｈ，ＹＡＯＤＹ，ＺＨＡＮＧＢＥ　Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｉｍａｇｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ［Ａ＿．Ｐｒｏｃ：２ｎｄ　Ｗｏｒｌｄ　Ｃｏｎｇｒｅｓｓ　ｏｎ　Ｉｎ　ｄｕｓｔｒｉａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　Ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ［Ｃ］，Ｈａｎｎｏｖｅｒ，Ｇｅｒｍａ—　ｎｙ，２００１，５７—６６．　［６］ＧＯＬＵＢ　Ｇ　Ｈ，ＨＥＡＴＨ　Ｍ　Ｔ，ｗＡＨＢＡ　Ｇ．Ｇｅｎｅｒａｌ—　ｉｚｅｄ　ｃｒｏｓｓ—ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ　ａｓ　ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　ａ　ｇｏｏｄ　ｒｉｄｇｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ［Ｊ］．Ｔｅｃｈｎｏｍｅｔｒｉｃｓ　２１，１９７９，２１（２）；　２１５—２２３．　［７］ＨＡＮＳＥＮ　Ｐ　Ｃ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｉｌｂｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｌ－ｃｕｒｖｅ　ＬＪ］．ＳＩ　Ｒｅｖｉｅｗ，１９９２，３４　（４）：５６１－５８０．　［８］　ＨＡＮＳＥＮ　Ｐ　Ｃ，Ｏ　ＬＥＡＲＹ　Ｄ　Ｐ．Ｔｈｅ　Ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｌ－　ｃｕｒｖｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　Ｏｆ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｉｌｌ　ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂ—　ｌｅｍｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊ．Ｓｃｉ．Ｃｏｍｐｕｔ．，１９９３，１４（６）：　１４８７－１５０３．　［９］　ＨＡＮＳＥＮ　Ｐ　Ｃ．Ｔｒｕｎｃａｔｅｄ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｖａｌｕｅ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉ—　ｔｉｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔＯ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｉｌｌ－ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｉｌｌ－ｄｅ—　ｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒａｎｋ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊ．Ｓｃｉ．Ｓｔａｔｉｓｔ．　Ｃｏｍｐｕｔ．，１９９０，１１（３）：５０３—５１８．　［１Ｏ］ｗＵ　Ｉ　Ｍ　Ａ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｃｈｏｉｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｎｕｍｅｒ—　ｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００３，１６：１０７＿１２８．　作者简介　杨钢，男，１９６９年３月出生，博士研究　生，讲师，主要研究方向为多相流参数检测　技术、工业过程层析成象技术。　／Ｅ－ｍａｉｌ：ｙａｎｇｇａｎｇ＠ｍａｉｌ．ｎｅｕ．ｅｄｕＬ　ｃｎ