Burg谱的阶数依赖性与最佳正则化参数的选择

第１　７卷第３期　２０１０年６月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＤＯＮＧＧＵＡＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　东莞理工学院学报　Ｖｏ１．１７　ＮＯ．３　Ｊｕｎ．　２０ｌ　０　Ｂ　ｕ　ｒｇ　ｉ，－￣　阶数依赖性与最佳正则化参数的选择　罗晓华　（１．重庆大学电气工程学院，重庆４０００４４；２．重庆交通大学图书馆，重庆４０００７４）　摘要：利用Ｂｕｒｇ法分析了被白噪声污染的功率谱，并将结果与传统周期图法进行了比较。当阶数比　较小时，Ｂｕｒｇ谱比较平坦，信号被噪声掩盖；随着阶数的增加，分辨率增加；当阶数进一步增加时，虚假　峰出现，并逐渐增多，以至于信号被噪声淹没。这一结果表明，系统一定存在某个阶数，在这个阶数附近　Ｂｕｒｇ谱质量最好。指出了这个阶数就是最佳正则参数；而且还指出了，只需进一步考虑残差向量的归一化　累积误差，并同Ｋ．Ｓ判据相结合就可以确定它。　关键词：正则参数；谱估计；Ｂｕｒｇ法；功率谱；阶数　中图分类号：ＴＮ９１１．７　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ００９一Ｏ３１２（２０ｌ０）０３—００５１—０４　离散化的电磁逆散射问题和超声逆散射问题是一个病态问题，通常都需要引入某些限制或附加　信息进行求解。求解病态问题的基本方法就是将它良态化，因为良态问题的解是人们早就知道的。　这种把未知问题转化为已知问题的认识模式称为常规认识，而这种方法就是所谓正则化方法。常用　的正则化方法有惩罚法、投影法和混合法　体霍洛夫（Ｔｉｋｈｏｎｏｖ）方法就是常用的加权惩罚法之　一。其基本思想是选择正则参数　，使病态方　＝ｂ的ｆＩｂ—Ａｘｌｌ；＋圳　最小。投影法是把尺度较　大的病态问题投影到尺度较小的子空间进行求解。当然，前提是在这个子空间中，原问题的解存　在。截断奇异值（ＴＳＶＤ）方法和克利洛夫（Ｋｒｙｎｏｖ）子空间法就是最常用的投影法。鉴于投影法　常常不足以使问题正则化，混合法对此做了进一步研究。　病态问题的解与正则参数的选择密切相关，如何选择最佳正则参数是解决问题的关键。在体霍洛　夫方法中，正则化参数决定了附加项权重的大小；在投影方法中，子空间的维数是正则参数，如何确　定子空间的大小非常重要：而混合法则既需要确定子空间的大小，又需要求投影问题的正则参数。　常用的正则参数选取方法有：离差原理；广义交叉验证（ＧＣＶ）；Ｌ－曲线法和归一化累积周期　图（ＮＣＰ）法等。离差原理的基本思想是要求残差范数不小于测量数据的噪声范数，这就要求数据　噪声必须是预先知道的。广义离差原理引入的不是噪声而是一个小的扰动。不管是前者还是后者，　其解都太平滑。广义交叉验证（ＧＣＶ）方法是一个统计方法，优点是不要求预先知道数据噪声的具　体信息，只需假设这个噪声具有零均值即可。Ｌ．曲线法是试图通过解的半范数与残差范数之间的平　衡来确定正则化参数，使Ｌ一曲线的曲率最大（拐角点）的参数就是要求的正则参数。　但是，对于电磁逆散射问题和超声逆散射问题，测量数据的噪声是预先不知道的，因此，离差　原理用得比较少。再考虑到ＧＣＶ方法和Ｌ．曲线法都要使用Ｂｏｒｎ迭代，而每一次迭代都要选择一次正　则参数，计算成本太大。ＮＣＰ方法是近年来，Ｈａｎｓｅｎ为了求解第一类弗雷德霍姆（Ｆｒｅｄｈｏｌｍ）问题　而提出的正则参数选取方法川。基本思想是选取最佳的正则参数，使残差最接近白噪声。但是，考　虑到ＮｃＰ方法是基于傅里叶变换的残量信息来获得正则参数，本质上仍属于传统谱估计，而传统谱　估计存在的问题，就是没有考虑谱的分辨率低和加窗的影响。因此，ＮＣＰ方法仍然不能获得理想的　真实一致的谱估计。文献［２］对ＮＣＰ进行了改进，考虑残差向量的归一化累积误差，并同Ｋ．Ｓ判据结　合来确定正则参数。　鉴于病态问题的解与正则参数密切相关，如何正确选择最佳正则参数就成为了解决问题的关　收稿日期：２０ｌ０—０３一Ｉ　６　作者简介：罗晓华（１９６９一），男，重庆人，博士，主要从事超声逆散射研究。　

查茎墨三兰堕堂坚　传统周期图法进行了比较。结果表明，当阶　Ｑ生　键。本文就试图对这个问题进行分析。首先，利用ＡＰ模型对残量进行谱分析，并将功率谱的算法与　比较小时，Ｂｕｒｇ谱非常平坦，信号被噪声掩盖；随着　阶　的增加，分辨率增加；当阶数Ｐ进一步增加时，虚假峰出现，并逐步增多，功率谱质量变差。　随着阶　增加，功率谱从平坦变尖锐，再从尖锐直至被虚假峰淹没。这一结果表明，系统一定存在　一个功率谱质量比较好的阶数Ｐ，而这个参数正好可以作为近似的正则参数。最佳正则参数就应该在　它的附近。进一步指出了，只需考虑残差向量的归一化累积误差，并同Ｋ．Ｓ（Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ．Ｓｍｉｍｏｖ）　判据相结合就可以确定这个参数。　１　Ｂｕｒｇ法　常用的参数模型方法有自相关法和Ｂｕｒｇ法。与自相关法不同，Ｂｕｒｇ法是使序列　）的前后向预　测误差功率之和　７　］Ｎ向－Ｉ｛１４（，ｚ）Ｉ　＋Ｉ　（ｎ）ｌ　）　，（１）　最小，其ｅｅＮ是采样数，尸是阶数，　）是前向误差，　（，ｚ）是后向误差。利用Ｂｕｒｇ法求解ＡＲ模型参　数的基本步骤是：　第一步：由初始条件ｄｏ＝ｘ（ｎ）￣ｌＪｄｏ（ｎ）＝　（，２），根据公式　∑　（　）Ｐ　ｋ　＝一２　１＿＿　一１）　　（２）　Ｌ＿——＿————＿∑【　一．　）ｌ　＋　一．　一１）Ｉ　】　求出反射系数ｋ・：　第二步：根据序列　）的自相关函数　（０）　磊Ｉｘ（ｎ）ｌ　，　求出阶数ｍ＝１时的ＡＲ模型参数ａｔ（１）＝ｋ・与前后向预测误差之和　＝（１一　（０）；　（３）　（４）　（５）　第三步：由公式式　，（　）＝　一。（，２）＋ｋｍＰ　一。（刀一１）　Ｐ　（　）＝　ｍ　Ｈ（，２）＋　：：ｆ一。（，２—１）　求出前向预测误差　）与后向预测误差Ｐ　（，ｚ）。然后，由式（２）求出反射系数　：；　第四步：由Ｌｅｖｉｎｓｉｏｎ递推关系　ａｍ（　）＝口ｍ一，（　）＋足”。口ｍ一，（，　一　）　口　（　）＝ｋ　＝（６）　（７）　（８）　（１一　）　一，　（９）　求出阶数ｍ＝２的ＡＲ模型参数ａ：（１）和ａ：（２）以及　；　第五步：重复上述过程，直到阶数ｍ＝Ｐ。这样，就求出了所有的Ｐ阶模型参数。　Ｂｕｒｇ法的递推过程是建立在数据序列基础上的，避开了序列的自相关函数估计，与自相关法相　比，具有较好的分辨率ｐ　。　２　仿真　假设仿真信号　）是被白噪声污染的两个余弦信号　ｘ（ｎ）＝ＣＯＳ　２ｎｆ，ｎ＋ＣＯＳ　２玎，２＋ｕ（ｎ），ｎ＝ｌ，２，３，Ｋ，１０００　步骤进行计算，结果如图１～４所示。　（１０）　其中归一化频率厂Ｉ＝Ｏ．２；，２＝Ｏ．３；“　）为零均值、方差为ｌ的白噪声。根据式（１）和（２），按上述　

第３期　罗晓华：Ｂｕｒｇ谱的阶数依赖性与最佳正则化参数的选择　５３　嚣　ａ．加噪信号）　兽　蠢　嘲　（ｂ．经典周期图功率谱）　８ｐ，蕈鼍｜　≈Ｋ　鲁、　鼍苣　Ｏ　Ｈｐ、毯嘲　归一化频率厂　。伽　ｏ　Ｏ　。锄　Ｏ　∞０　商．５　嘲　（ｃ．现代Ｂｕｒｇ功率谱）　－１Ｏ　０　０．１　０．２　０＿３　０．４　０．５　归一化频率，　图１加噪信号与Ｐ＝１阶功率谱　２Ｏ　嚣０　加噪信号）　－２０　（ｂ．经典周期图功率谱）　归一化频率厂　暴　飘（ｃ．现代Ｂｕｒｇ功率谱）　．５０　０　Ｏ．１　０．２　０＿３　０．４　０．５　归一化频粤　图２加噪信号与Ｐ＝５０阶功率谱　（　加噪信号）　１ｏｏ　２００　３ｏ０　４０Ｏ　５００　６００　（ｂ．经典周期图功率谱）　０．Ｉ　Ｏ．２　０．３　０．４　０．５　归一化频率，　Ｏ．１　Ｏ．２　０＿３　０．４　０．５　归一化频率厂　图３加噪信号与ｐ＝１００阶功率谱　２０　嚣０　（　加噪信号）　＿２０　兽　越　稍　（ｂ．经典周期图功率谱）　兽　菌　矮　（ｃ．现代ＢＩ鹳功率谱）　Ｏ　０．１　０．２　０－３　０．４　０．５　归一化频率厂　图１～４给出了传统的周期图法和现代Ｂｕｒｇ法在不同阶数的功率谱。从图１可以看出，当Ｐ：１　Ｂｕ曙法的功率谱非常平坦，信号被噪声掩盖；图２可以看出，当尸＝５０时，在归～化频率，＝０．２，　

。　查　茎　堂堕堂塑　Ｑ！Ｑ生　Ｏ．３附近出现两个峰：从图３可以看出，当Ｐ＝１００时，谱峰变得比较尖锐，特别是对于归一化频率厂　＝０．３这个峰（分辨率增加），但虚假峰开始出现，且厂＝０．２的谱线出现分裂；从图４可以看出，当Ｐ　＝２００时，虚假峰增多、强度增大，两条谱线都出现分裂，功率谱退化。从图１～４还可以看出，周期　图法在归一化频率ｆ＝０．２，０．３附近给出了两条尖锐的谱峰，谱分布与Ｐ的选择无关，但有比较多的　伪峰存在。可见，周期图法ＬＬＢｕｒｇ法的效果好，适用于分析含有正弦信号的功率谱。遗憾的是，周　期图法也只适合于这类情况的谱分析。事实上，由于经典谱估计不能实现功率谱密度原始定义中求　均值和求极限的运算，而周期图法又假定了数据窗外的数据全为零，这就使得传统谱估计的方差性　能较差、分辨率较低等缺点。而参数模型法（比如Ｂｕｒｇ法），则由于它将信号看成是一随机输入系　列同线性系统相互作用的结果，再通过建模来对信号的功率谱进行估计，数学公式简单，物理意义　明确，是现代谱估计中的重要方法，在实际中有着广泛应用。　３　结论　本文利用ＡＲ模型对功率谱进行了谱分析，并将ＡＲ模型的Ｂｕｒｇ法谱与传统周期图法进行了比　较。结果表明，当阶数尸比较小时，Ｂｕｒｇ功率谱比较平坦，信号被噪声掩盖；随着阶数Ｐ的增加，分　辨率增加；当阶数Ｐ进一步增加时，虚假峰出现，并逐渐增多，功率谱质量退化。给我们的启示是：　随着阶数Ｐ增加，功率谱从平坦变尖锐，再从尖锐被越来越多的虚假峰淹没，其中一定存在某个阶数　Ｐ，使得功率谱的质量比较好。本文指出，这个尸就可以作为近似的正则参数；而且指出，最佳正则　参数就应该在它的附近。只需进一步考虑残差向量的归一化累积误差，并同Ｋ．Ｓ判据相结合就可以　确定它。　参考文献　【Ｉ］Ｍｏｊｉａｂｉ　Ｍ，ＬｏＶｅｔｒｉ　Ｊ．Ａｄａｐｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ　ｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ　ｐｅｒｉｏｄｏｇｒａｍ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ－ｃｈｏｉｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　２－Ｄ／ＴＭ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ　ｕｓｉｎｇ　Ｂｏｒｎ　ｉｔｅｒａｔｌｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｐｒｏｇｒｅｓｓ　ｉｎ　Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｍ．２００８（１）：ｌ　１　ｌ・Ｉ３８．　【２】Ｈａｎｓｅｎ　Ｐ　Ｃ，Ｋｉｌｍｅｒ　Ｍ　Ｅ，ｇｊｅｌｄｓｅｎ　Ｒ　Ｈ．Ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇ　ｒｅｓｉｄｕａｌ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｃｈｏｉｓ￣ｆｏｒ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ．１ｌ・ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＢＩＴ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００６，４６：４　ｌ一５９．　【３１支冬栋．卫红凯．杜斌．现代谱估计法中几种不同模型参数估计法的比较【Ｊ】．舰船电子对抗，２００９，３２（１）：１００－１０２．　Ｔｈｅ　Ｏｒｄｅｒ－Ｎｕｍｂｅｒ　Ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｂｕｒｇ　Ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ａｎｄ　Ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　Ｏｐｔｉｍｕｍ　ＲｅｇｕＩａｒｉｚａｔｉｏｎ　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ＬＵｏ　Ｘｉａｏ－ｈｕａ　（１．Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｌｎｇ　４０００４４，Ｃｈｉｎａ；２．Ｌｉｂｒａｒｙ　ｏｆ　Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　４０００７４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｉｇｎａｌ　ｐｏｌｌｕｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｗｈｉｔｅ　ｎｏｉｓｅ　ｉｓ　ａｎａｌｙｓｅｄ　ｂｙ　Ｂｕｒｇ　ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ　ｉｔｓ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｓ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｏｇｒａｍ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｒａｔｉｏ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ－ｎｕｍｂｅｒ　ｉｓ　ｌｉｔｔｌｅ，Ｂｕｒｇ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｉｓ　ｏｖｅｒ．ｓｍｏｏｔｈ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｉｇｎａｌ　ｉＳ　ｃｏｖｅｒｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｎｏｉｓｅ；ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ－ｎｕｍｂｅｒ，ｔｈｅ　ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｎｃｒｅａｓｅｓ　ｔｏｏ．　Ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ．ｎｕｍｂｅｒ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｉｎｃｒｅａｓｅｓ，ｔｈｅ　ｆａｌｓｅ　ｐｅａｋ　ｏｃｃｕｒｓ　ａｎｄ　ｇｒａｄｕａｌｌｙ　ｉｎｃｒｅａｓｅｓ，ＳＯ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｉｇｎａｌ　ｉｓ　ｓｕｂｍｅｒｇｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｎｏｉｓｅ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅｒｅ　ｍｕｓｔ　ｂｅ　ａｎ　ｏｒｄｅｒ－ｎｕｍｂｅｒ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｑｕａｌ　ｉｔｙ　ｉｎ　ｂｕｒｇ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｎｅａｒ　ｔｈｉｓ　ｏｒｄｅｒ　ｎｕｍｂｅｒ；ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｉｔ　ｉｓ　ｉｎｄｉｃａｔｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｏｒｄｅｒ－ｎｕｍｂｅｒ　ｉｓ　ｊｕｓｔ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ，ｊｕｓｔ　ｔｏ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ＮＣＰ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｓｉｄｕａｌ　ａｎｄ　Ｋ－Ｓ　ｌｉｍｉｔ，ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｍａｙ　ｂｅ　ｄｅｔｅｍｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｒｅｇｕｌａｎｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；Ｂｕｒｇ　ｍｅｔｈｏｄ；ｐｏｗｅｒ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ；ｏｒｄｅｒ－ｎｕｍｂｅｒ