基于L曲线法的位场向下延拓正则化参数选择

第２８卷第５期　地球物理学进展　Ｖｏ１．２８。Ｎｏ．５　２０１３年１Ｏ月（页码：２４８５—２４９４）　ＰＲＯＧＲＥＳＳ　ＩＮ　ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＳ　Ｏｃｔ．，２０１３　马涛，陈龙伟，吴美平，等．基于Ｌ曲线法的位场向下延拓正则化参数选择．地球物理学进展，２０１３，２８（５）：２４８５—２４９４，ｄｏｉ：　１Ｏ．６Ｏ３８／ｐｇ２Ｏ１３Ｏ５２７．　ＭＡ　Ｔａｏ，ＣＨＥＮ　Ｌｏｎｇ－ｗｅｉ，ＷＵ　Ｍｅｉ—ｐｉｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｔｈｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｉｎ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｌ－ｃｕｒｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｐｒｏｇｒｅｓｓ　ｉｎ　Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２０１３，２８（５）：２４８５—２４９４，ｄｏｉ：１０．６０３８／　ｐｇ２０１３０５２７．　基于Ｌ曲线法的位场向下延拓正则化参数选择　马　涛，　陈龙伟，　吴美平，　胡小平　（国防科技大学机电工程与自动化学院，长沙４１００７３）　摘要正则化方法是处理位场向下延拓的一种有效方法，最优正则化参数的确定是位场向下延拓正则化方法的　重要部分，参数选择优劣直接影响向下延拓结果的精度．本文采用Ｌ曲线法，通过曲率函数确定Ｌ曲线的拐点位　置，进而选取合适的正则化参数．快速计算曲率函数值是算法的关键步骤，本文利用Ｐａｒｓｅｖａｌ等式，结合快速傅里　叶算法，实现了曲率函数值的频率域快速计算，提高了算法的运算效率．利用模型数据和实测航磁资料对Ｌ曲线法　确定正则化参数的有效性进行了验证．结果表明，对于不同信噪比的观测数据，Ｌ曲线法表现出较强的适应性，将Ｌ　曲线法确定的正则化参数代入Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法中进行位场向下延拓，取得了较高的精度．　关键词　位场向下延拓，正则化参数，Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化，Ｌ曲线法，曲率函数，Ｐａｒｓｅｖａｌ等式　ｄｏｉ：１０．６。３８／ｐｇ２Ｏ１３０５２７　中图分类号Ｐ３１２，Ｐ３１８　文献标识码Ａ　Ｔｈｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉ０ｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｉｎ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｌ—ｃｕｒｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ＭＡ　Ｔａｏ。　ＣＨＥＮ　Ｌｏｎｇ－ｗｅｉ，　ＷＵ　Ｍｅｉ—ｐｉｎｇ，　ＨＵ　Ｘｉａｏ—ｐｉｎｇ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｄｅｆｅｎｓｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１００７３，Ｃｈｉａｎ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ａ　ｐｏｗｅｒｆｕｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｄｅａｌｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄ．Ａ　ｖｅｒｙ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｆｆｅｃｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｅｌｅｃｔｅｄ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ，Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ａｄａｐｔ　Ｌ－ｃｕｒｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔＯ　ｓｅｌｅｃｔ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｈｅｌｐ　ｏｆ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｅ　ｃａｎ　ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｐｏｉｎｔ　ｏｆ　Ｌ－ｃｕｒｖｅ，ｗｈｉｃｈ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｈｏｗ　ｔｏ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ａｉｄｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｃｒｕｃｉａ１．Ａｐｐｌｙｉｎｇ　Ｐａｒｓｅｖａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｅ　ｄｅｒｉｖｅ　ｔｈｅ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｓｏ　ｔｈａｔ　ｗｅ　ｃａｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｆａｓｔ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｗｈｉｃｈ　ｍａｋｅｓ　ｔｈｅ　ｗｈｏｌｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｖｅｒｙ　ｆａｓｔ．Ｗｅ　ｔｅｓｔ　ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ｏｆ　Ｌ－ｃｕｒｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｕｓｉｎｇ　ｍｏｄａ１　ｄａｔａ　ａｎｄ　ａｅｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｄａｔａ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　Ｌ－ｃｕｒｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｈａｓ　ｇｏｏｄ　ａｄａｐｔａｂｉｌｉｔｙ　ｉｎ　ｄｅａｌｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｄａｔａ　ｗｉｔｈ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｓｉｇｎａｌ　ｔＯ　ｎｏｉｓｅ　ｒａｔｉｏ，ａｎｄ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｈｉｇｈ　ａｃｃｕｒａｃｙ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ，ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ，Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ，Ｌ　ｃｕｒｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ。ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，Ｐａｒｓｅｖａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　收稿日期２０１２—１１—２０；修回日期２０１３—０３～２６．　投稿网址ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｐｒｏｇｅｏｐｈｙｓ．ｃｎ　；ｔ！ｉ￣ＮＮ　国家自然科学基金项目（６１ｌ７４２Ｏ６）和国防科学技术大学研究生创新资助项目（Ｓｌ１０３０１）Ｉ￣合资助．　作者简介马涛，男，１９８８年生，湖北汉川人，国防科技大学博士生，主要从事位场数据处理．（Ｅ－ｍａｉｌ：ｔａｏ＿ｍａ＠ｌｉｖｅ．ＣＯＩＩ１）　＊通讯作者胡小平，男，１９６０年生，国防科技大学教授、博士生导师，主要从事导航技术、位场数据处理．　（Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｐｈｕ＠ｎｕｄｔ．ｅｄｕ．ｃｎ）　

地球物理学进展ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｐｒｏｇｅｏｐｈｙｓ．ｃｎ　２８卷　０　引　言　位场向下延拓是重磁数据处理的重要方法，可　以增加位场资料的分辨率，提供更精细的位场空间　分布信息．近年来随着地磁导航技术的兴起，位场向　下延拓方法再次成为研究热点［】　］．位场向下延拓本　质上是不稳定的，它是一个典型的不适定问题，会对　观测数据中的高频干扰起剧烈的放大作用［７］．针对　下延的不稳定性，Ｆｅｄｉ＿ｌ８　提出了ＩＳＶＤ方法，该方法　数值计算稳定，但是该方法中存在确定泰勒级数展　开阶数的问题，展开阶数直接影响延拓精度；杨文　采［９　将线性广义反演方法引入到位场延拓问题中，　但是该方法对大数据量的三维位场数据向下延拓较　难适应［　；陈生昌［　］提出了一种不需要求逆运算　的位场向下延拓波数域广义逆算法，该方法中阻尼　因子的确定依赖经验；徐世浙［１１］提出了积分一迭代　法，该方法数值计算稳定，向下延拓深度大＿１　，受到　广泛关注［１ａ－１６］，在噪声水平较小时，方法延拓精度　较高，在噪声水平较大时，随着迭代次数的增多，噪　声放大作用明显，一般需要事先经过平滑处理，迭代　次数和平滑参数选择依赖经验［１　．　目前处理不适定问题较完善的方法是正则化方　法，由Ｔｉｋｈｏｎｏｖ和Ｐｈｉｌｉｐｓ于２ｏ世纪６Ｏ年代分别　独立提出＿ｌ　引．Ｔｉｋｈｏｎｏｖ：　］较早的用正则化方法　研究了位场向下延拓问题，推导出了稳定的频率域　延拓算子；栾文贵＿２０＿从理论上系统全面地研究了位　场延拓问题，根据正则化理论，给出了稳定化数值算　法；梁锦文［２１］研究了四种由正则化方法推导出的频　率域延拓算子；郝燕玲＿２　］对Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法　向下延拓进行了仿真试验；王兴涛［２。］采用谱分解方　法探讨了造成向下延拓不稳定的原因，并对目前常　用的航空重力数据向下延拓方法进行了比较，认为　正则化方法效果最好．　采用正则化方法解决向下延拓问题，一个关键　环节是正则化参数的确定．ＴｉｋｈｏｎｏｖＥ　］提出了拟最　优准则，该准则在观测数据的噪声水平未知时亦可　使用，但梁锦文＿２１］认为该方法需要反复多次使用傅　氏变换，耗时较多；梁锦文［２　采用偏差原则来确定　正则化参数，但利用该原则确定正则化参数的好坏　依赖于对观测数据噪声水平估计的准确度；王兴　涛　４＿采用图解一数值迭代法求解正则化参数，该方　法因涉及奇异值分解而不适合大面积位场数据处　理．总体来说，在目前的位场向下延拓正则化方法研　究中，有关正则化参数选择的问题研究甚少，计算量　偏大是一个重要的原因，研究正则化参数的快速确　定问题，具有重要的研究意义＿２引．　本文采用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法进行位场向下　延拓，重点研究了正则化参数选取的Ｌ曲线法，解　决了计算量偏大的问题．利用Ｐａｒｓｅｖａｌ等式，将Ｉ　曲线的曲率函数转换到频率域进行快速计算，减小　了正则化参数选取的计算量，使Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化　方法处理大面积位场数据更加易于实现．利用不同　信噪比的模型数据与实测航磁资料验证了Ｌ曲线　法确定正则化参数的快速性和有效性．　１位场延拓原理　设　轴垂直向上，场源位于ｚ一一Ｈ（Ｈ＞Ｏ）以　下处，若已知ｚ＝０观测平面上的位场数据ｇ（ｘ，　，　Ｏ），利用下式可求解出　＞０半空间上的位场数　据ｆ（ｘ，Ｙ，　）［　：　厂ｃｚ，　，　：　』　』：　［（ｚ—　）虿　。＋（　一　＋　］号’ｒ１）Ｚ２　ｄ　ｒ　／，ｚ＞ｏ，　（１）　定义　ｒ（　，　）一　干ｚ而／２ｎ，　式（１）右端是ｒ（ｘ，　）与ｇ（ｘ，Ｙ，Ｏ）关于ｚ，Ｙ的二维　卷积形式，可以用卷积表示（１）式：　ｆ（ｘ，Ｙ，　）一ｒ（ｚ，　）　ｇ（ｘ，Ｙ，０）．　（２）　定义算子Ｋ：ｇ一厂为　（Ｋｇ）（ｚ，　）＝ｒ（ｚ，　）　ｇ（ｘ，Ｙ，０），　则（２）式可以用算子方程简记为　Ｋｇ＝ｆ．　（３）　用Ｆ（ｕ，　）、Ｇ（ｕ，　）和Ｒ（ｕ，　）分别表示ｆ（ｘ，　Ｙ，　）、ｇ（ｘ，Ｙ，Ｏ）和ｒ（ｘ，　）在ｌｚ，　方向上的傅里叶　变换，甜，　是ｚ，Ｙ方向的频率．其中　Ｒ（“，　）一　一。　、／“　＋矿，ｚ＞０，　根据傅里叶一卷积定理，将（１）式转换到频率域可表　示为　Ｆ（　，　）一Ｇ（　，　）・Ｒ（　，　），　（４）　式（４）为频率域位场向上延拓公式，对于向下延拓，　则有　Ｇ（　）一　＿Ｆ（　厢，（５）　由于ｚ＞Ｏ，所以当“，　较大时，Ｐｚ　￣／“　＋　》１，高频　成份将被指数放大，所以直接利用（５）式在频率域进　

５期　马涛，等：基于Ｌ曲线法的位场向下延拓正则化参数选择　行位场向下延拓很不稳定．　种有效方法．Ｌ曲线法是指用对数尺度描述拟合误　２　向下延拓Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法　２．１正则化算子　对于算子方程（３）式，根据Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方　法，可定义Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化泛函为　差ｌｌＫ　－ｆｌＩ。与正则解ｌ　Ｉｌｌ。随参数　变化的对比　曲线，根据对比结果来确定正则化参数的方法．Ｌ曲　线的特征是尺度曲线呈明显的大写字母“Ｌ”形．　Ｈａｎｋｅ［２９］等将Ｌ曲线的最大曲率位置作为其拐点，　该拐点对应的参数仅　即认为是合适的正则化参数．　如果令　Ｊ　（ｇ）一ＩＩＫｇ一厂　＋ｄｌｌｇ　，　（６）　其中，Ｉ　ｌ１１。表示Ｌ　范数，ａ＞０为正则化参数．　采用变分法对（６）式求极值，可得到频率域正则　解　（　，　）为［　］　』０一ｌｏｇｌｏ（Ｉ『Ｋ　－ｆｌ『２），　一（１０）　ｌｏｇ１ｏ（『Ｉ　２），　（１１）　则Ｌ曲线的曲率ｃ（ａ）作为参数ａ的函数定义为　一　（　）一商　解为　Ｆ（　），　（７）　舞，　对　（　，　）进行傅里叶反变换，可得空间域正则　ｇ　（ｚ，　）：＝＝Ｆ一　［Ｇ　（　，　）］，　（８）　（９）　其中“　’表示关于参数ａ的导数．　对于位场向下延拓问题，难以直接求取曲率函　数ｃ（ａ）最大值的表达式，一般通过数值方法作图得　到ｃ（ａ）的曲线，进而找到最大值的位置．快速计算　定义正则化算子为　Ｒ（　，　）　位场向下延拓正则化算子　（甜，　），能够保证　向下延拓结果连续依赖于原始数据，延拓结果的精　度主要由正则化参数ａ决定，参数ａ与观测数据的　噪声水平有关．当观测数据噪声水平已知时，可以通　过偏差原理［。　、广义偏差原理［　］、Ａｒｃａｎｇｅｌｉ准　则＿２　］等方法来确定．当数据噪声水平未知时，可以　通过拟最优准则Ｄｇ］、广义交叉检验准则［２　、Ｌ曲线　准则＿２９＿等方法来确定．正则化参数ａ选择的好坏直　曲率函数Ｃ（ａ），是确定正则化参数的关键所在．利　用Ｐａｒｓｅｖａｌ等式，将（１２）式转换到频率域，借助快　速傅里叶算法，可大大提高算法的运算效率．由　Ｐａｒｓｅｖａｌ等式可知　ＩｌＫ　－ｆｌ『。一ｌＩＲ（　，　・　（　，　）一Ｆ（　，　）　，　（１３）　ｌＩ　ｇ。Ｉ　ｌ一　Ｇ口（　，　）ｌｌ２，　将（１３）、（１４）式分别代人（１０）、（１１）式可得　（１４）　．０一ｌｏｇ１ｏ（　Ｒ（ｕ，　）・Ｇ　（ｚｚ，　）－－Ｆ（ｕ，　）ｌｌ　２）　一接影响延拓结果的精度，参数ａ的选择是本文研究　的重点．　２．２正则化参数选择　对于实测位场资料，观测数据噪声水平一般未　知，在这种情况下，Ｌ曲线法是确定正则化参数的一　ｌｏｇ１０（１ＩＦ（…）‘面　ｌｏｇ１０（１Ｉ　（　，　）ｌ　ｌ２）　ｌＪ２），（１５）　一＝ｌｏｇｌ￣（　Ｆ　・　ｌＩ２Ｊ　，　Ｉ２）’（１６　（１７）　（１８）　以求解Ｐ　、　为例，分别利用一阶与二阶差分可求得　Ｐ　ｇ　。［【ＩＦ（…　・丽焉　・丽　Ｉ　ｌ２／ｌＩＦ　’面　　面　ｌＦ（ｕ，　）　／Ｆ　其中　为一个很小的数．同理可以求出　、　，　步骤如下：　从而得到相应的曲率函数值．对于一个给定的０Ｌ序　列，利用快速傅里叶算法，亦可快速计算得到相应的　ｃ（ａ）序列并绘成曲线，曲线中极大值所对应的正则　化参数即为最终合适的正则化参数ａ　．　综上所述，基于Ｌ曲线法选择正则化参数，采　（１）计算观测数据的傅氏变换．利用快速傅里叶　变换，将观测数据厂（ｚ，Ｙ，Ｏ）转换到频率域，得　至ＵＦ（　，　）．　（２）绘制Ｌ曲线及曲率函数曲线．预先给定一　个取值范围较广的等比级数序列作为参数ａ的离散　用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法进行位场向下延拓的主要　值．根据经验，取值区间ＥｌＯ～，１０。］即可满足，取离　

地球物理学进展ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｐｒｏｇｅｏｐｈｙｓ．ｃｎ　２８卷　散值个数为１００．为提高取值的精度，可适当增加离　散值的个数，实验发现，进一步增加离散值的个数，　选取的正则化参数ａ　变化较小，对延拓精度影响　不大．　根据给定的ａ取值序列，计算与之相应的ｃ（　）　序列并绘图，找到ｃ（ａ）曲线图的极大值点，确定正　则化参数ａ　．　（３）计算延拓面位场值．将ａ　代入（７）式，计算　得到　（Ｍ，　），对　（　，　）进行傅里叶反变换得到　下延结果ｇ　．　３模型检验　采用球体磁场模型在不同高度层面产生的磁异　常数据，对本文的正则化参数选取方法进行检验．选　取球体半径为８０　ｍ，磁化强度ｌＯＯ０　Ａ／ｍ，磁化倾角　４５。和磁化偏角３ｏ。，ｚ轴方向垂直向上．实验中场源　是一个埋深为１５００　ｍ的单个球体磁场模型，选取　仿真区域为：　方向（一１００００，９９５０），　方向　（一１００００，９９５０），网格间距为５０　Ｉｎ×５０　Ｉｎ．利用球　体磁场计算公式分别计算　一０　ｉｎ和　一５００　ｒｎ两　个不同观测面上的磁异常数据，如图１（ａ）、１（ｂ）　所示．　为了评估和比较延拓结果，本文采用误差的均　方根ＲＭＳ指标来衡量延拓结果精度的好坏，即　ＲＭＳ　√　／　Ｍ　Ｎ　川　川　，　（１９）　其中，ｇ　。是理论值，ｇ　是延拓结果，ＭＸＮ为计算　数据总数．　为了检验本文向下延拓方法的稳定性，在　一　５００　ｒｎ观测面理论磁异常数据中分别加入标准差　由０　ｎＴ逐渐增加到５．５　ｎＴ的１２组高斯白噪声，分　别用本文的方法和梁锦文的偏差准则法＿２１］选择合　适的正则化参数进行向下延拓．文献［３０］指出，偏差　的量级与Ｍ・Ｎ・　的量级相对应，梁锦文的偏　差准则法中确定　的经验公式与此理论相悖；本文　在三维磁异常数据的下延过程中，利用梁锦文的偏　差准则法选取的正则化参数普遍过小，下延结果发　散．因此，本文在对比实验中采用令　一Ｍ・Ｎ・　。　的方法确定偏差准则的正则化参数，与本文提出的　Ｌ曲线法确定的正则化参数进行比较．　Ｌ曲线法与偏差准则法的对比实验结果如图２　所示．其中，最优结果为所选用的１００个正则化参数　中，下延精度指标ＲＭＳ为最小时所对应的下延结　果，此时选用的正则化参数为最优正则化参数．由图　可知，Ｌ曲线法与偏差准则法所选取的正则化参数，　均取得了稳定的下延结果；Ｌ曲线法选取的正则化　参数整体优于偏差准则法，取得的下延结果与最优　结果非常接近，精度差ＡＲＭＳ不超过０．１　ｎＴ，大部　分在０．０１　ｎＴ量级．以噪声标准差　＝＝＝３　ｎＴ的情况　为例，图３（ａ）为Ｌ曲线的曲率函数图，图３（ｂ）为相　应的Ｌ曲线图，图中红色圆圈即为确定的正则化参　数ａ　的位置．图４（ａ）为加入噪声后的观测数据，图　４（ｂ）一４（ｄ）分别为Ｌ曲线、偏差准则与最优正则化参　数对应的下延１Ｏ倍点距的结果图．对比可知，两种　方法对应的下延结果与最优下延结果相当，Ｉ　曲线　法选取的正则化参数０．０２４２与最优正则化参数　０．０２９２在正则化参数序列中更加接近，稍优于偏差　准则法选取的正则化参数０．０２０１（图５（ａ））．两种方　法在中心测线的磁异常形态与理论数据一致（图５　（ｂ））：理论数据最大值为７８　ｎＴ，最小值为一３３　ｎＴ，　Ｌ曲线法与偏差准则法对应下延结果的ＲＭＳ分别　为１．１３　ｎＴ和１．１６　ｎＴ，最优下延结果的ＲＭＳ为　１．１３　ｎＴ，分别是异常幅值的１．０２　、１．０５　和　１．０２　．　仿真结果表明，本文给出的基于Ｌ曲线的正则　化参数选取方法，对于不同噪声强度的观测数据，均　能选择出合适的正则化参数，保证下延结果稳定、可　靠．此外，算法也具有很高的的计算效率，在ＣＰＵ　为Ｅ５７００、主频为２．９３　ＧＨｚ的个人计算机上，处理　网格点数为４００×４００的数据，所需时间约为９　Ｓ．　４实测资料检验　实测资料为一块３４　ｋｍＸ　２２　ｋｍ区域上网格间　距为５０　ｍＸ５０　１ＴＩ的航磁异常数据（图６（ａ））．设航　磁数据所在高度面为０　１ＴＩ，将０　ｍ高度面数据向上　延拓５００　ｍ，得到磁异常数据如图６（ｂ）所示．在　５００　ｍ高度面数据中加入与模型实验相同的１２组　高斯白噪声，分别用本文的Ｌ曲线法和偏差准则法　选取正则化参数向下延拓至０　ｍ，与图６（ａ）所示　０　ｍ高度面数据进行对比．然而此时，梁锦文的偏差　准则法和上文中令偏差　一Ｍ・Ｎ・　确定正则化　参数的方法在实测实验中，结果均发散．对比实验仅　将本文Ｌ曲线法对应的下延结果与最优结果进行　比较．　图７（ａ）为５００　Ｉｎ高度面数据中加入不同强度　的高斯白噪声后，延拓结果的ＲＭＳ随噪声的标准　差ｄ的变化趋势．图７（ｂ）为７（ａ）中两条曲线对应的　

５期　马涛，等：基于Ｌ曲线法的位场向下延拓正则化参数选择　２４９３　研究了正则化参数选取的Ｌ曲线法，解决了计算量　偏大的问题．模型数据和实测资料检验结果表明，针　对不同信噪比的观测数据，在不需要准确估计数据　噪声水平的情况下，Ｌ曲线法选取的正则化参数表　现出很强的适应性．根据得到的正则化参数，采用　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法进行向下延拓，对噪声具有很　好的抑制作用，取得与最优下延结果相当的精度，总　体优于偏差准则法对应的下延结果．　同时，Ｌ曲线法选取正则化参数存在一定的局　限性，在观测数据中噪声强度很小时，选择的正则化　参数相对偏大，得到的延拓结果偏于平滑．对Ｌ曲　线法的进一步改进，是下一步需要研究的内容．　参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：　［１］许大欣．利用重力异常匹配技术实现潜艇导航［Ｊ］．地球物理　学报，２００５，４８（４）：８１２—８１６．　Ｘｕ　Ｄ　Ｘ．Ｕｓｉｎｇ　ｇｒａｖｉｔｙ　ａｎｏｍａｌｙ　ｍａｔｃｈｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ　ｔｏ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ　ｓｕｂｍａｒｉｎｅ　ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００５，４８（４）：８１２—８１６．　［２］　Ｂｅｈｚａｄ　Ｋ　Ｐ，Ｂｅｈｒｏｏｚ　Ｋ　Ｐ．Ｖｅｈｉｃｌｅ　Ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｇｒａｖｉｔｙ　Ｍａｐｓ［ｅｌ／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ＳＰＩＥ　ｔｈｅ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｆｏｒ　Ｏｐｔｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｂｅｌｌｉｎｇｈａｍ：Ｔｈｅ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｆｏｒ　Ｏｐｔｉｃａｌ，１９９９，３６９３：１８２—１９１．　［３３　Ｂｉｓｈｏｐ　Ｇ　Ｃ．Ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ　ｆｉｅｌｄ　ｍａｐｓ　ａｎｄ　ｎａｖｉｇａｔｉｏｎａｌ　ｅｒｒｏｒｓ　［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏｃｅａｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００２．２７（３）：７２６—　７３７．　［４］彭富清．地磁模型与地磁导航［Ｊ］．海洋测绘，２００６，２６（２）：　７３—７５．　Ｐｅｎｇ　Ｆ　Ｑ　Ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ　＿Ｊ］．Ｈｙｄｒｏｇｒａｐｈｉｃ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ａｎｄ　Ｃｈａｒｔｉｎｇ（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），　２００６，２６（２）：７３—７５．　［５］徐世浙，张秀达，张昌达．水下磁定位的若干问题［Ｊ］．海军　大连舰艇学院学报，２００７，３０（３）：４－６．　Ｘｕ　Ｓ　Ｚ，Ｚｈａｎｇ　Ｘ　Ｄ，Ｚｈａｎｇ　Ｃ　ｎ　Ｓｅｖｅｒａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ　ｍａｇｎｅｔｉｃ　ｌｏｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｄａｌｉａｎ　Ｎａｖａｌ　Ａｃａｄｅｍｙ（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００７，３０（３）：４　６．　［６］郝燕玲，赵亚凤，胡峻峰．地磁匹配用于水下载体导航的初步　分析［Ｊ］．地球物理学进展，２００８，２３（２）：５９４—５９８．　Ｈａｏ　Ｙ　Ｌ，Ｚｈａｏ　Ｙ　Ｆ，Ｈｕ　Ｊ　Ｆ．Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｇｅｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｍａｔｃｈｉｎｇ　ｉｎ　ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｒｏｇｒｅｓｓ　ｉｎ　Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃｓ（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００８，２３　（２）：５９４—５９８．　［７３　ＢｉａｋｅｌｙＲ　Ｊ．ＰｏｔｅｎｔｉａｌＴｈｅｏｒｙｉｎＧｒａ￣ｔｙ　ａｎｄＭａｇｎｅｔｉｃＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９９６．　［８］Ｆｅｄｉ　Ｍ，Ｆｌｏｒｉｏ　Ｇ．Ａ　ｓｔａｂｌｅ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｓｖｄ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｇｅｏｐｈｙｓ．Ｊ．１ｎｔ．，２００２，１５１（１）：１４６—　１５６．　［９］杨文采．用于位场数据处理的广义反演技术［Ｊ］．地球物理学　报，１９８６，２９（３）：２８３　２９１．　Ｙａｎｇ　Ｗ　Ｃ　Ａ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｆｏｒ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄ　ｄａｔａ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），　１９８６，２９（３）：２８３—２９ｌ＿　［ＩＯ２陈生昌，肖鹏飞．位场向下延拓的波数域广义逆算法［Ｊ］．地　球物理学报，２００７，５０（６）：１８１６－１８２２．　Ｃｈｅｎ　Ｓ　Ｃ，Ｘｉａｏ　Ｐ　Ｆ　Ｗａｖｅｎｕｍｂｅｒ　ｄｏｍａｉｎ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００７，５０（６）：１８１６—　１８２２．　［１１］徐世浙．位场延拓的积分一迭代法＿Ｊ］．地球物理学报，２００６，　４９（４）：１１７６—１１８２．　Ｘｕ　Ｓ　Ｚ．Ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ—ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００６，　４９（４）：１１７６－１１８２．　［１２］徐世浙．迭代法与ＦＦＴ法位场向下延拓效果的比较［Ｊ］．地　球物理学报，２００７，５０（１）：２８５—２８９．　Ｘｕ　Ｓ　Ｚ．Ａ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ＦＦＴ　ｆｏｒ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄｓ［Ｊ］　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００７，５０（１）：２８５—２８９．　［１３］张辉，陈龙伟，任治新，等．位场向下延拓迭代法收敛性分析　及稳健向下延拓方法研究＿Ｊ］．地球物理学报，２００９，５２（４）：　１１０７—１１１３．　Ｚｈａｎｇ　Ｈ，Ｃｈｅｎ　Ｌ　Ｗ，Ｒｅｎ　Ｚ　Ｘ，ｅｔ　ａ１．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄｓ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｒｏｂｕｓｔ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００９．５２　（４）：１１０７　１１１３．　［１４］刘东甲，洪天求，贾志海，等．位场向下延拓的波数域迭代法　及其收敛性［Ｊ］．地球物理学报，２００９，５２（６）：１５９９—１６０５．　Ｌｉｕ　Ｄ　Ｊ，Ｈｏｎｇ　Ｔ　Ｑ，Ｊｉａ　Ｚ　Ｈ，ｅｔ　ａ１．Ｗａｖｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｄｏｍａｉｎ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄｓ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｃ。ｎｖｅｒｇｅｎｃｅ＿Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），　２００９，５２（６）：１５９９—１６０５．　［１５２曾小牛，李夕海，刘代志，等．积分迭代法的正则性分析及其　最优步长的选择［Ｊ］．地球物理学报，２０１１，５４（１１）：２９４３—　２９５０．　Ｚｅｎｇ　Ｘ　Ｎ，Ｌｉ　Ｘ　Ｈ，Ｌｉｕ　Ｄ　Ｚ，ｅｔ　ａ１．Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｔｅｌ￣　ｌｅｎｇｔｈ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２０１１，５４　（１１）：２９４３—２９５０．　［１６］于波，翟国君，刘燕春，等．噪声对磁场向下延拓迭代法的计　算误差影响分析［Ｊ］．地球物理学报，２００９，５２（８）：２１８２—　２１８８．　Ｙｕ　Ｂ，Ｚｈａｉ　Ｇ　Ｊ，Ｌｉｕ　Ｙ　Ｃ，ｅｔ　ａ１．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｎｏｉｓｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ　ｏｆ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００９，５２　（８）：２１８２—２１８８．　［１７］Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　Ａ　Ｎ．Ｏｎ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｉｎｃｏｒｒｅｃｔｌｙ　ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａｎｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ［ｊ］．Ｄｏｋ１．Ａｃａｄ．Ｎａｕｋ　ＵＳＳＲ，　１９６３，１５１（３）：５０１—５０４．　［１８３　Ｐｈｉｌｌｉｐｓ　Ｄ　Ｌ．Ａ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｋｉｎｄ［Ｊ］．Ｊ．Ａｓｓｏｃ．Ｃｏｍｐｕｔ．　Ｍａｃｈ．，１９６２．９（１）：８４—９７．　

２４９４　地球物理学进展ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｐｒｏｇｅｏｐｈｙｓ．ｃｎ　２８卷　Ｌ１９］Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　Ａ　Ｎ，Ａｒｓｅｎｉｎ　Ｖ　Ｙ．Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｉｌｌ－Ｐｏｓｅｄ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ　ａｎｄ　Ｓｏｎｓ，１９７７．　［２０］栾文贵．地球物理中的反问题［Ｍ］．北京：科学出版社，　１９８９．　Ｌｕａｎ　Ｗ　Ｇ．Ｔｈｅ　Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｎ　Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃｓ［Ｍ］（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｐｒｅｓｓ，１９８９．　［２１］梁锦文．位场向下延拓的正则化方法［Ｊ］．地球物理学报，　１９８９，３２（５）：６００—６０８．　Ｌｉａｎｇ　Ｊ　Ｗ．Ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｉｅｌｄｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），　１９８９，３２（５）：６００—６０８．　［２２］郝燕岭，成怡，孙枫，等．Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化向下延拓算法仿　真实验研究［Ｊ］．仪器仪表学报，２００８，２９（３）：６０５—６０９．　Ｈａｏ　Ｙ　Ｉ　，Ｃｈｅｎ　Ｙ，Ｓｕｎ　Ｆ，ｅｔ　ａ１．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒａｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｎ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　＿＿Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｓｃｉ．Ｉｎｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００８，２９（３）：６０５—　６０９．　［２３］王兴涛，夏哲仁，石磐，等．航空重力测量数据向下延拓方法　比较［Ｊ］．地球物理学报，２００４，４７（６）：１０１７—１０２２．　Ｗａｎｇ　Ｘ　Ｔ，Ｘｉａ　Ｚ　Ｒ，Ｓｈｉ　Ｐ，ｅｔ　ａ１．Ａ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ａｉｒｂｏｒｎｅ　ｇｒａｖｉｔｙ　ｄａｔａ［Ｊ］．　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００４，４７（６）：１０１７一　ｌ０２２．　［２４］王兴涛，石磐，朱非洲．航空重力测量数据向下延拓的正则　化算法及其谱分解［Ｊ］．测绘学报，２００４，３３（１）：３３—３８．　Ｗａｎｇ　Ｘ　Ｔ，Ｓｈｉ　Ｐ，Ｚｈｕ　Ｆ　Ｚ．Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　ｓｐｅｃｔｒａｌ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｏｗｎｗａｒｄ　ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｉｒｂｏｒｎｅ　ｇｒａｖｉｔｙ　ｄａｔａ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ｇｅｏｄａｅｔｉｃａ　ｅｔ　Ｃａｒｔｏｇｒａｐｈｉｃａ　Ｓｉｎｉｃａ（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ），２００４，３３（１）：３３—３８．　［２５］　肖庭延，于慎根，王彦飞．反问题的数值解法［Ｍ］．北京：科　学出版社，２００３．　Ｘｉａｏ　Ｔ　Ｙ．Ｙｕ　Ｓ　Ｇ，Ｗａｎｇ　Ｙ　Ｆ．Ｔｈｅ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｍ］（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｐｒｅｓｓ，　２００３．　［２６３　Ｍｏｒｏｚｏｖ　Ｖ　Ａ　Ｏｎ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｌｌ－ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａｎｄ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ［Ｊ］．Ｊ．Ｃｏｍｐ．Ｍａｔｈ．　Ｐｈｙｓ．，１９６６，６（１）：１７０—１７５．　［２７］　Ｇｒｏｅｓｃｈ　Ｃ　Ｗ．Ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｆｉｒｓｔ　Ｋｉｎｄ［Ｍ］．Ｂｏｓｔｏｎ：Ｐｉｔｍａｎ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｐｕｂ．Ｐｒｏｇｒａｍ，１９８４．　ｒ２８］Ｇｏｌｕｂ　Ｇ　Ｈ，Ｈｅａｔｈ　Ｍ，Ｗａｈｂａ　Ｇ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｅｍｓ￣ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ　ａｓ　ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　ａ　ｇｏｏｄ　ｒｉｄｇｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ［Ｊ］．　Ｔｅｃｈｎｏｍｅｔｒｉｃｓ，１９７９，２１（２）：２１５－２２３．　［２９］Ｈａｎｋｅ　Ｍ，Ｈａｎｓｅｎ　Ｐ　Ｃ　Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｌａｒｇｅ－ｓｃａｌｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｓｕｒｖ．Ｍａｔｈ．Ｉｎｄ．，１９９３，３：２５３—３１５．　［３Ｏ］Ｃｕｒｔｉｓ　Ｒ　ｖ．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　Ｉｎｖｅｒ￣Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．　Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ：Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｆｏｒ　Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ＆Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，　２００２．