直角三角形的边角关系(初中锐角三角函数)

直角三角形的边角关系

（一）三角函数概念及性质

△ABC中，∠C=90°，锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作sinＡ，即sinA＝Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作cosＡ，即cosA＝正切，记作tanＡ，即tanA＝a；锐角cb；锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的ca；锐角Ａ的正弦、余弦、正切都叫做∠Ａ的三角函数。

b注：①正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；

②sinA不是sin与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“sinA”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；

③锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

2.一些特殊角的三角函数值

三角函数

sinα

cosα

tanα

3.各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系

sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)

（2）0

（3）平方关系

sinAcosA1

22 0°

0

1

0

30° 45° 60°

1

23

23

32

22

21

3

21

23

（4）弦切关系

tanA=sinA

cosA4.锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

1

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

【练习】

练习1（求三角函数）

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是___

A、151511 B、 C、 D、

1544352、在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（ ）

A、

12 B、

512C、

135 D、

13123、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( )

51A． B．2 C．

52为DE，则tanCBE的值是（ ）

A．D．5

25、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕24

7B．7

3 C．7

24 D．1

3

6、如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．

7、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）

2

8、如图，在△ABC中，B=30°，P为AB上一点，（ ）

A、BP1PQ⊥BC于Q，连结AQ，则cosAQC=，AP221232723 B、 C、 D、73721

9、如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=

3，则tan∠ADE的值是（ ）

A、

3，AC上有一点E，满足AE：CE=2：43874 B、

C、

D、599

5

10、如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin ．

练习2（网格）

1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于_______________

2、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）

3

A．1

2B．2

2C．3

2D．3

33、如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是___________

4、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为_______。

5、如图，将∠AOB放置在正方形网格中,则cos∠AOB的值是________.

6、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则tan∠ABC=

7、如图，在8×4的矩形网格中,每个小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠CAB的值为( )

8、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）

4

A.

B．

C．

D．

9、网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=

练习3（利用三角函数求边长）

1、在Rt△ABC中，∠C = 90°， AC = 9 , sin∠B =,则AB =（ ）

A.15 B. 12 C. 9 D. 6

2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=353，则BC的长是 （ ）

5B、6cm C、8cm

B

N

C

M

A

A、4cm D、10cm

D

3、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=是（ ）

A、2 B、2 C、1 D、22

1 ，则AD的长5

练习3（三角函数性质及之间的关系）

1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（ ）

A、缩小2倍 B、扩大2倍 C、不变 D、不能确定

5

2、在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )

A.a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c=

3、已知α为锐角，m=sinα+cosα的值，则（ ）

A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1

bcosB.

4、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝4，则tanB＝（ ）

5 A．4334 B． C． D．

345513sinAtanA5、若cosA=3，则4sinA2tanA=（ ）

411 A、7 B、3 C、2 D、0

6、已知tan1，则2sincos=

2sincos7、sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是 ____<____<____；sin63°、cos29°、tan47°的大小关系是____<____<_____。

18、若∠A是锐角，且sinA=3，则（ ）

A、00<∠A<300 B、300<∠A<450 C、450<∠A<600 D、600<∠A<900

9、已知∠A为锐角，若sinA=2则（ ）。

31,则（ ）。

4A．30°＜A＜60° B. 30°＜A＜45° C. 45°＜A＜60° D.60°＜A＜90°

10、若∠A为锐角，且cosA=A． 0°＜A＜30° B. 30°＜A＜45° C. 45°＜A≤60° D.60°＜A≤90°

11、已知∠A为锐角tanA=

2，则锐角A的取值范围是（ ）。

3A． 0°＜A＜30° B. 30°＜A＜45° C. 45°＜A＜60° C.60°＜A＜90°

12、已知△ABC中,∠C=90°,设sin B=n.当∠B是最小的内角时,n的取值范围是( )

A.0

13、下列等式中正确的是（ ）

（A）cos2sin21 （B）cos30°+cos45°=cos75°

（C）tan30tan60

练习5（特殊角的三角函数）

1、计算

23 （D）2cot22°30＇=cot45°=1

3102cos60°2009π9

()2(32)02sin303

2（）﹣2+（π﹣2014）0+sin60°+|﹣2| ﹣4sin30°+（2014﹣π）0﹣22．

1122cos30(31)0()1

4cos30(3.14)012

831()282sin4512

16()1(35)03cos30

4211()14sin45(12)08

()2(2014)0sin6032

232112(2014)02cos30()1 （﹣1）2﹣4sin45°+|﹣3|+．

211(32)0()14cos30327

2cos45()18(3)0

341(1)2020()2(sin98)032sin60

(2)232sin602

22(5)038(1)20133tan60

2sin60212013013

3182cos60(21)0

12(20132)0()12sin60

3。

5(1)20132sin3025

（-10）=2、已知为锐角，且sino3，则等于（ ）

2Ａ．50 Ｂ．60 Ｃ．70 Ｄ．80

3、若锐角α满足2sin(α-15°)=,则α=______.

4、在△ABC中,若+=0(∠B、∠C是锐角),则∠A的度数为( )

A.90° B.60° C.40° D.30°

5、在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=

7

6、因为cos 30°=45°=,cos 210°=-,所以cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-;因为cos

,cos 225°=-,所以cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-.猜想:一般地,当α为锐角时,有cos(180°+α)=-cos α.由此可知cos 240°的值等于______.

7、如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，ADBE，AE与CD交于点F，AGCD于点G， 则AG的值为 ．

AF

,则边BC的长为( ) 8、如图是教学用的直角三角板,边AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC=

A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm

9、如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm,将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C',则图中阴影部分的面积等于________cm2.

10、在△ABC中,若∠C=45°,∠A=105°,AC=6,则AB的长是( )

A.3 B.3 C.2 D.6

11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）

A． A B． C．

D．

（二）解直角三角形

8

1.在直角三角形中，用除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。在直角三角形中，除直角外，一共有５个元素，即３条边和２个锐角。

2.依据：

（1）边的关系：（2）角的关系：；

；

（3）边与角的关系： sinA＝cosB＝abab， cosA＝sinB＝，tanA＝＝， tanB＝。

ccba3.基本类型：①已知两边长；②已知一锐角和一边。（注：已知两锐角不能解直角三角形）

4.对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解。辅助线的一般思路：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。

【练习】

练习1（求边长或角度）

1、如图，已知AC=1，求BD。

2、如图，已知△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，BC=3+，求AB的长。

3、如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,∠B=60°,则BC的长为______.

4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=1，则AD的长为

5

（A） 2 （B）3 （C）2 （D）1

9

5、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．

6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=3/5（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．

7、直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为 ．

练习2（面积相关）

1、如图,在△ABC中,∠B=45°,cos C=3,AC=5a,则△ABC的面积用含a的式子表示是______.

5

2、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为_____________。

10

3、如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为，则重叠部分的面积为（ ）

（A）11． （B）sin． （C）． （D）cos．

sincos

4、如图，两条带子，带子a的宽度为2cm，带子b的宽度为1cm，它们相交成α角，如果重叠部分的面积为4cm，则α的度数为 度．

5、四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=1mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积2S=_________________．（用含m、n、θ的式子表示）

6、已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8．

（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；

60（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；

（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含，a，b的代数式表示）．

11

7、在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=2，P是AB上一动点，（P不与A、B重合），过P作3PQ∥AD交BD于Q，连结CQ，设AP的长为x，PQ的长为y1，四边形QPBC的面积为y2，

（1）求：y1关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（2）求y2关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）是否存在实数x，使得y1=y2？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由。

D

Q

C

A

P

B

（三）实际应用

1.仰角俯角

如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角．

2.坡面距离、坡度、坡角

如图，把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即i写成h:l的形式，如i1:5即ih，坡度一般l1．

5

12

坡面与水平的夹角叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：i面越陡.

3.方向角

htan.坡度越大，则角越大，坡l指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫方向角，如下图，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60，北偏西30，西南方向，南偏东20．

【练习】

练习1（俯角仰角）

1、如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）

2、如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）

3、如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．

13

4、如图,两建筑物的水平距离为am,从A点测得D点的俯角为a,测得C点的俯角为β,则较低建筑物CD的高为( )

A.a m B.(a·tanα)m C.(a/tanα)m D.a(tanα－tanβ)m

5、如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，3=1.73，2=1.41）

练习2（斜坡）

1、如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）

A． 26米 B． 28米 C． 30米

D．46米

2、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）

（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝14

A.9m B.6m C.m D.m

3、如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）

练习3（方向角）

1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）

A. 40海里 B. 40海里 C. 80海里 D. 40海里

2、如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于 海里．

3、如图，小岛A在港口P的南偏西45方向，距离港口100海里处，甲船从A出发，沿AP方向以10海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60方向以20海里/时的速度驶离港口。现两船同15

时出发，问：经过几小时后，乙船恰在甲船的正东方向？（结果保留根号）

4、青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西52°方向．

（1）求B处到村庄C的距离；

（2）求村庄C到该公路的距离．（结果精确到0.1km）

（参考数据：sin260.4384，cos260.8988，sin520.7880，cos520.6157）

5、一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？

6、如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．

（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；

（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°=0.75）

16

7、如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．

（1）A城是否受到这次台风的影响为什么？

（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

8、如图，在某气象站M附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于气象站M的东偏南θ方向100千米的海面P处，并以20千米/小时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为20千米，并以10千米/小时的速度不断增大，已知cosθ=2，问：

10（1）台风中心几小时移到气象站M正南N处，此时气象站M是否受台风侵袭？

（2）几小时后该气象站开始受台风的侵袭？

9、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为

17