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2023年12月17日发(作者：织梦科技使用说明)

4.4.2 对数函数的图象和性质（一）

课程标准

1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点．

2．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠0).

课前自主学习

知识点1 对数函数的图象和性质

0＜a＜1 a＞1

通过对对数函数图象和性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学建模”及“数学运算”的核心素养.

核心素养

图象

定义域

值域

性质

[微思考]

对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？

[微体验]

1．思考辨析

(1)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )

(2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )

(3)当a＞1时，若0＜x＜1，则logax＜0.( )

(4)函数y＝log1 x与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( )

a2．函数y＝loga(x－5)＋2的图象恒过定点________．

过定点 ,即x＝1时，y＝0

3．若函数f(x)＝log(a＋1)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________．

知识点2 反函数

一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为 .它们的定义域与值域正好互换．

课堂互动探究

探究一 对数函数的图象

例1 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝ax与y＝logax的图象为( )

－

(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．

变式探究1 把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝

ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )

－

变式探究2 若把本例(2)中的函数改为y＝log5|x＋1|，请画出它的图象．

[方法总结]

1，－1.

(1)作对数函数y＝logax的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，a(2)对数函数图象与直线y＝1的交点的横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大．

(3)对数函数图象性质的助记口诀：

对数增减有思路，函数图象看底数，底数只能大于0，等于1来也不行，底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减，无论函数增和减，图象都过(1,0)点．

跟踪训练1 函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )

探究二 对数函数实际应用

例2 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，M1＋2000(e为自然对数的底)．

火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝m(1)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)；

(2)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s.(结果精确到个位，数据：e≈2.718；e4≈54.598，ln 3≈1.099)

[方法总结]

解决对数应用题的四个步骤

(1)审题：理解题意，弄清关键字词及字母表示的含义．

(2)建模：根据已知条件，列出关系式．

(3)解模：运用数学知识，解决此问题．

(4)结论：还原实际问题，归纳得结论．

跟踪训练2 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．

随堂本课小结

1．根据对数函数图象判断底数大小的方法

作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

2．对数型函数图象恒过定点问题

解决此类问题的根据是对任意的a>0且a≠1，都有loga1＝0.例如，解答函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．

3．解决与对数函数的实际问题时注意用好对数的运算性质．

【参考答案】

课前自主学习

知识点1 对数函数的图象和性质

(0，＋∞)

[微思考]

提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降；当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0

[微体验]

1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×

2．(6,2)

【解析】无论a为何值时，loga1恒为零，故当x＝6时，y的值恒为2，故恒过定点(6,2)．

3．a>0

【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a＋1>1，即a>0.

知识点2 反函数

反函数

课堂互动探究

探究一 对数函数的图象

例1 (1)C

1－【解析】∵a>1，∴0<<1，∴y＝ax是减函数，y＝logax是增函数．

a(2)解 因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，

log5x，x＞0，故f(x)＝loga|x|＝所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．

log－x，x＜0.5R (1,0) 减函数 增函数

变式探究1 C

【解析】∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；1x－当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，y＝ax＝a是减函数，故排除B；当0＜a＜1时，y＝

1x－loga(－x)是增函数，y＝ax＝a是增函数，∴C满足条件.

变式探究2 解 利用图象变换来解题，画出函数y＝log5|x|的图象，将函数y＝log5|x|的图象向左平移1个单位，即可得函数y＝log5|x＋1|的图象，如图所示．

跟踪训练1 A

【解析】f(－x)＝ln((－x)2＋1)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称．又x∈(0，

＋∞)时，f(x)是增函数，且过点(0,0)，所以A图符合．

探究二 对数函数实际应用

MM1＋2 000＝2 000 ln1＋， 例2 解 (1)因为v＝lnmm所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．

所以当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.

vM(2)因为＝e2000 －1，

m8000M所以＝e2000 －1＝e4－1≈54.598－1≈54.

m所以当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的54倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s.

跟踪训练2 解 设最初的质量是1.经过x年，剩余量是y，则经过1年，剩余量是y＝0.84；

经过2年，剩余量是y＝0.842；

……

经过x年，剩余量是y＝0.84x.

lg 0.5依题意得0.84x＝0.5，用科学计算器计算：x＝log0.840.5＝≈3.98≈4，

lg 0.84即约经过4年，该物质的剩余量是原来的一半．


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