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2023年12月24日发(作者：clip文件用什么软件打开)
高中数学对钩函数的有关知识
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0,b>0）的函数。由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
定义
所谓的对勾函数（双曲函数），是形如
（a>0)的函数。
名称
由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。因函数图像相似耐克商标，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
图像
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线。
在第一区间时，其转折点为
最值：当x>0时，b>0），也就是当
有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，时，f(x)取最小值。
奇偶性、单调性
奇偶性：双勾函数是奇函数。
单调性：令k=
那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0 变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。 渐近线 对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。 注：对勾函数的图像是双曲线。实际上该图像是轴对称的，并可以通过双曲线的标准方程通过旋转角度得到。 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道： 展开，得： 即： 两边同时加上2ab，整理得： 两边开平方，就得到了均值定理的公式： 将中看做a，看做b，代入上式，得： 这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样： （a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。 其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax^2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用哪个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。[1] 上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。 事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变换也是可以得到的。 另外对于二次曲线，它只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。 由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。[1] 面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：⑴它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；⑶众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。能否与均值有关系。 对勾函数的一般形式是： f(x)=ax+b/x(a>0) 不过在高中文科数学中a多半仅为1，b值不定。理科数学变化更为复杂。 定义域为（-∞，0）∪（0,+∞） 值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞） 当x>0，有x=根号b/根号a，有最小值是2√ab 当x<0，有x=-根号b/根号a，有最大值是：－2√ab 对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下： 设x1 下面分类进行讨论： 时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0， ⑴当即f(x1） 时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0， ⑵当即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数 时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0， ⑶当即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数 时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2） ⑷当<0，即f(x1） 解题时常利用此函数的单调性求最大值（max）与最小值（min）。
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