函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质

基础知识：

1.奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也

一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；

②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2.单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]

1

在A上是增函数；

②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数f(x)增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)减函数g(x)是减函数；

增函数f(x)减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)增函数g(x)是减函数。

④若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

3.函数的周期性

如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.

性质：

①如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

②若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为T||。

③若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称; 若a2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

例题：

1.y1x2的递减区间是 ；ylog1(x3x2)的单调递增区间是 。

1x22.函数f(x)lg(21)的图象（ ）

1xA.关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线yx对称

2

3.设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x0时，f(x)log3(1x)，则f(2) 。

4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x2)，若f(x)在[2,0]上递增，则（ ）

A.f(1)f(5.5) B．f(1)f(5.5) C．f(1)f(5.5) D．以上都不对

5.讨论函数f(x)x1的单调性。

x6.已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若f(m1)f(2m1)0，求实数m

的取值范围。

7.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2004，求f(2004)。

习题：

题型一：判断函数的奇偶性

1.以下函数：（1）y1(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x；（5）x4x1x2；其中奇函数是 ，偶函数是 ，ylog2(xx1)，(6)f(x)x222非奇非偶函数是 。

2.已知函数f(x)=x1x1,那么f(x)是( )

A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数

题型二：奇偶性的应用

1.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),它们在4,0上的图像分别如

图（2-3）所示，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。

yy-4-20x-4-20y=g(x)xy=f(x)图(2-3)

2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7，则f(7)____

3

3.下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（ ）

A.f(x)sinx B.f(x)x1 C.f(x)1x2x

aax D.f(x)ln22x24.已知函数yf(x)在R是奇函数，且当x0时，f(x)x2x，则x0时，f(x)的

解析式为 。

5.若fx是偶函数,且当x0,时,

fxx1,则fx10的解集是（ ）

A.x1x0 B.

xx0或1x2 C.

x0x2 D.

x1x2

题型三：判断证明函数的单调性

1.判断并证明f(x)22在(0,)上的单调性

x12.判断f(x)2x2x1在(,0)上的单调性

题型四：函数的单调区间

21.求函数ylog0.7(x3x2)的单调区间。

2.下列函数中，在(,0)上为增函数的是（ ）

A.yx4x8 B.yax3(a0) C.y22 D.ylog1(x)

x123.函数f(x)x A.0,1的一个单调递增区间是（ ）

x1 D.1,

 B.,0 C.0,4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )

A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=5.函数y=54xx2的递增区间是( )

A.(-∞，-2) B.[-5，-2] C.[-2，1] D.[1，+∞)

题型五：单调性的应用

1.函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( )

A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3} D.(-∞，5]

2.已知函数f(x)=2x-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于( )

A.-3 B.13 C.7 D.由m而决定的常数．

2242 D.y=x-4x+3

x

4

3.若函数f(x)x3ax2bx7在R上单调递增，则实数a, b一定满足的条件是（ ）

A．a3b0 B.a3b0

22C．a3b0

2D．a3b1

24.函数f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恒成立，则b的最小值为 。

5.已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。

题型六：周期问题

1.奇函数f(x)以3为最小正周期，f(1)3，则f(47)为( )

A.3 B.6 C.-3 D.-6

2.设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x

=3对称，则下面正确的结论是( )

A.f(1.5)

C.f(6.5)

3.已知fx为偶函数,且f2xf2x,当2x0时,fx2,则f2006x（ ）

A．2006 B．4 C．4 D．

1

44.设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____

5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.

6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数,

求证:2m是f(x)的一个周期.

7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.

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