高一数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结(人教版)

2020年新高一数学必修一知识点总结

第三章 函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。

2.函数问题的共同特征：定义域、值域均为非空数集；定义域和值域间有一

个对应关系；对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数

与之对应。

3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号

f统一表示对应关系。

【注】函数符号yfx是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。

4.函数定义

一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按

照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就

称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yfx,xA。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对

应的y值叫做函数值，函数值的集合fxxA叫做函数的值域。

5.函数的三要素：定义域；对应关系；值域。

6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是

由它的定义域和对应关系决定的。

（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范

围。如yx，则默认定义域是xx0

（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.

如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：stvt,隐含着t0。

6.几个特殊函数的定义域和值域

（1）正比例函数ykxk0，定义域和值域都为全体实数R。

（2）一次函数ykxbk0，定义域和值域都为全体实数R。

（3）反比例函数ykk0，定义域为xx0，值域为yy0。

x（4）一元二次函数yax2bxca0，定义域为R。

4acb2当a0时，值域为yy；

4a4acb2当a0时，值域为yy。

4a

1

7.区间及其表示

设a,b是两个实数，且ab（注意：a不能等于b）。我们规定：

（1）满足axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；

（2）满足axb的实数x的集合叫做开区间，表示为a,b；

（3）满足axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为

a,b和a,b；

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

（4）在数轴上表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包

括在区间内的端点。

8.区间的几何表示

9.实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负 ，无穷大”，“”读作“正无穷大”。

10.我们把满足xa，xa，xb，xb的实数x，用区间分别表示为a,、

a,、,b、,b。即

11.在函数定义中，用符号fx表示函数，其中fx表示x对应的函数值，而不

是f乘x。

12.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

13.相等函数、同一函数：因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果

两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数

值也相同，那么这两个函数是同一个函数，也称为相同函数、相等函数、同一

函数。特别地，两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不同，那么它们不

是相等函数。

2

14.相等函数又叫相同函数、同一函数。指的是两个函数的三要素（定义域、对

应关系、值域）完全相同的函数。而如果定义域和值域中有一个不同，即便两

个函数的解析式相同也不是相等函数。这部分题多为选择题，做题的方法多为

排除法。

【注】1.相等函数的图象相同。

2.相等函数的变量符号未必相同，如:yxx0和ytt0的定义

域相同（都是非负实数）、对应关系相同（都是一个非负实数的算术平方根）、

值域相同（都是yy0），所以它们两个是相等函数。

再如：xy2,y,，xy2,x,，ut2,t,，

这三个函数虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，

所以它们三个都是相等函数。

15.一个常用的相等函数（也是分段函数）：

∵yx2x，∴yx2,xR和yx,xR是同一函数。

3.1.2 函数的表示法

1.函数常见的表示法有三种：解析法、列表法和图像法。

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间对应关系。

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

图像法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

【注】函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。

2.作图通常有列表、描点、连线三个步骤。

【注意】如果函数的图象是离散的“点”时，则不能连线或用虚线连结。

3.分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对应自变量x在不同的取值范围内，函数

有不同的对应关系（表达式），则称这样的函数为分段函数。

【注】（1）分段函数是一个函数，而不是多个函数。

（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，并且分段函数各

段间的定义域的交集为空集。

（3）分段函数的值域是各段函数值域的并集。

（4）分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成。

（5）分段函数重要口诀：“分段函数分段画，分段函数分段求”。

4.高中阶段几种常见的分段函数

yOxx,x0（1）fxx，图象为：

x,x0（2）取整函数

fxx（x表示不大于x的最大整数）。

5.函数解析式的求法，常见的有代入法、配凑法、换元法、待定系数法、构造方

3

1程组解方程组法（多用于抽象函数，如已知fxf2x，求fx）。

x6.对于多层函数ffa或fffa的形式，一般遵循从内往外求值的原则。

7.函数图象的简单变换有平移变换、对称变换、翻折变换。

（1）函数图象的平移变换

左右平移变换：yfx与yfxa

yfxyfxa

上下平移变换

yfxyfxa

【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。

（2）对称变换

yfx yfxyfx

yfxyfx

yfx作关于原点对称的图象作关于x轴对称的图象作关于y轴对称的图象a0时，向左平移a个单位a0时，向右平移a个单位a0时，向上平移a个单位a0时，向下平移a个单位（3）翻折变换

yfxyfx。

yfxyfx。

y轴右侧的图象，保持不变y轴左侧的图象去掉，并把y轴右侧的图象翻折到y轴左侧x轴上方的图象，保持不变x轴下方的图象，沿x轴对称地翻折到x轴上方3.2 函数的基本性质

1.增函数和单调递增区间

一般地，设函数fx的定义域为I，区间DI：如果x1,x2D，当x1x2

时，都有fx1fx2，那么就称函数fx在区间D上单调递增。

特别地，当函数fx在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。

图象特点：在区间D上，沿x轴正向从左向右看图象呈上升趋势。

2.减函数和单调递减区间

一般地，设函数fx的定义域为I，区间DI：如果x1,x2D，当x1x2

时，都有fx1fx2，那么就称函数fx在区间D上单调递减。

特别地，当函数fx在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。

图象特点：在区间D上，沿x轴正向从左向右看图象呈下降趋势。

3.定义法判断或证明函数单调性的步骤可以归纳为：取值定大小，作差和变形，

定号给结论，3个关键步骤。

4.复合函数的单调性

4

复合函数yfux的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中yfu

是外层函数，uux是内层函数,有以下几种情况：

①yfu②yfu③yfu④yfu，uux，uux，uux，uux，则yfux，则yfux，则yfux，则yfux；

；

；

；

5.如果函数yfx在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yfx在

这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yfx的单调区间。

6.函数yfx在a,b上是增函数

任取x1,x2a,b，且x1x2时，都有fx1fx2成立。

任取x1,x2a,b，且x1x2时，都有fx1fx2成立。

任取x1,x2a,b，且x1x2时，都有x1x2fx1fx20成立。

任取x1,x2a,b，且x1x2时，都有fx1fx20成立。

x1x27.单调区间的端点问题：由于讨论在某一点处的单调性也没有意义，所以书写函

数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定（可开可闭）。习惯上，定

义域中含有端点时写成闭区间（也可写成开区间），但定义域中不含端点时，

只能写成开区间。

如（1）：yx2的递增区间可以写成0,，也可以写成0,，但是，

一般都写成0,。

1的递减区间，因为定义域中不含0，所以只能写成,0,0,。

x【注】单调区间之间一般都不能“并”，要用逗号或“和”字隔开。

（2）y8.函数最值定义

（1）一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

xI，都有fxM；

x0I，使得fx0M。

就称M是函数yfx的最大值。

（2）一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

xI，都有fxM；

x0I，使得fx0M。

就称M是函数yfx的最小值。

5

9.函数的最值指的是函数值（y值）的最大值和最小值。求函数的最值，既要求

函数的最大值也要求函数的最小值。

10.从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小

值对应函数图象最低点的纵坐标。

11.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。

12.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。

求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

13.分段函数求最值：分段函数的最大值，是各段函数最大值中的最大值；

分段函数的最小值，是各段函数最小值中的最小值。

14.函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函

数的单调性法、抽象函数中的解方程法。

15.恒成立问题

假设gx为已知函数，求fa的取值范围，则有以下两种情况：

（1）fagx恒成立fagxmin；

（2）fagx恒成立fagxmax。

16.解的存在问题

假设gx为已知函数，求fa的取值范围，则有以下两种情况：

（1）fagx有解fagxmax；

（2）fagx有解fagxmin。

17.易错易混知识点：函数的单调区间和函数在某区间单调。

函数的单调区间，指的是函数的单调增（或单调减的）最大区间。函数

在某区间上单调的区间，既可以是最大的单调区间也可以是最大单调区间的

子区间。如：yx2（xR），既可以说在0,10上单调增，也可以说在0,

（或0,）上单调增；但yx2（xR）的单调递增区间只能是0,（或

。

0,）3.2.2 奇偶性

1.定义

（1）奇函数：一般地，设函数fx的定义域为I，如果xI，都有xI，

且fxfx，那么函数fx就叫做奇函数。

【注】fxfxfxfx0fx。

1（fx0）fx

6