admin 管理员组文章数量: 887021
2023年12月24日发(作者：百度平台客服电话)
求已知函数的反函数的方法
一、求已知函数y=f(x)的反函数的步骤
求已知函数y=f(x)的反函数是我们在研究函数时经常会碰到的一类基本问题，其解题的过程一般可分为三步：第一步，求出原函数的值域D，得出反函数的定义域D；第二步，由y=f(x)解出x=f-1(y)；第三步，将x，y互换，并标出x∈D得到所求反函数为y=f-1(x)，x∈D．
二、求己知函致y=f(x)的反函数问题的解法示例
下面举例说明已知函数y=f(x)求其反函数y=f-1(x)的步骤．
解 第一步，求出y=f(x)的值域．
∵－1≤x＜0，∴0＜x2≤1，0≤1－x2＜1，
即原函数的值域为D=(0，1]．
第二步，由y=f(x)解出x=f-1(y)．
x2=1－(1－y)2，又－1≤x＜0．
例2 求函数y=f(x)=log0.5(x2－2x) (x∈(－∞，－1] )的反函数．
解 第一步，求出y=f(x)的值域．
∵x≤－1，∴t=x2－2x=(x－1)2－1≥3．
又y=log0.5t是t的减函数，
∴y≤log0.53，即原函数的值域为D=(－∞，log0.53]．
第二步 由y=f(x)解出x=f-1(y)．
∵y=log0.5(x2－2x)．∴x2－2x=0.5y，即x2－2x－0.5y=0，
当a＞1时，y=logat是t的增函数，得y≥0．即原函数的值域是D=[0，+∞)；当0＜a＜1时，y=logat是t的减函数，得y≤0，即原函数的值域是D=(－∞，0]．
①
②
三、几个需要注意的问题
1．不能忽略求原函数的值域这一步．
组成函数的两要素是定义域和对应法则，两个函数，若定义域不同，即使对应法则相同，也是不同的函数，原函数y=f(x)的值域是其反函数的定义域．因此，忽略求原函数的值域这一步，得出的结果将是不正确的．
x2－2x+3=y2，(x－1)2= y2－2．
∵x≤1，∴x－1≤0．
2．由y=f(x)解出x=f-1(y)时，必须注意原函数y=f(x)的定义域，否则x将不能由y唯一确定的．
例5 求函数y=x(4－x)+3(0≤x≤2)的反函数．
错解 当0≤x≤2时，
y=x(4－x)+3=－(x－2)2+7，故3≤y≤7．
又由y=－(x－2)2+7，得(x－2)2=7－y．
故所求的反函数为
剖析 一个函数若存在反函数，其反函数中因变量的取值必须由自变量的取值
有两个值与之对应．显然结果是错误的．问题在哪里呢？让我们反思上述解题过程,
3．分段函数的反函数必须分段求解．
解 这是一个分段函数，须分段求出其反函数的表达式，最后再合并写出结果来．
则y≠1，且xy=x+1，即(y－1)x=1．
从而y≠1且3xy=3x+1，即3(y－1)x=1．
版权声明：本文标题：求已知函数的反函数的方法解读 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.freenas.com.cn/jishu/1703422320h450668.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
发表评论