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2023年12月24日发(作者：关于c语言scanf的输入问题)
高等数学试题
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
2( x+1)
1．设f ( x) =l nx ，且函数( x) 的反函数1( x) =
，则f
( x)
（
x- 1
x- 2A.l n
x+2
0
）
2.
lim
x0
et et 2dt
x1 cos x
x+2B.l n
x- 2
2- xC.l n
x+2
x+2D.l n
2- x
（ ）
C．-1 D．
）
C.
dy 0 D.
y dy
A．0
3.
设y
x0
B．1
f (x0
x) f (x0
)
且函数
f (x)
在
x x0
处可导，则必有（
B.
y 0
A. lim y 0
2x2, x 1
4.
设函数f ( x) =
，则f ( x) 在点x=1处（
3x 1, x 1
A.
不连续
2
）
C.连续但不可导 D. 可导
B.连续但左、右导数不存在
）
D. - 2e- x
25．设xf ( x) dx=e-
x C ，则f ( x) = （
A. xe- x
2B. - xe- x
2C. 2e- x
2二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设函数 f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数 f(x+ )+f(x- )的定义域是
1 1
7．
lim
a aq aq2 aqn
q 1
n4 4
.
8.
lim
arctan x
x
x9.
已知某产品产量为 g 时，总成本是C( g) =9+
，则生产 100 件产品时的边际成本MC
g 100
800
g2
3函数 f (x) x 2x 在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是
10.
32函数 y 2x 9x 12x 9 的单调减少区间是
11.
.
.
12.
,则a
设
13.
aet 1
6
cos2 x
设
z
则 dz=
14.
y
2ln 2
微分方程
xy ' y 1 x3
的通解是 .
.
dt
.
15.设
D (x, y) 0 x 1, 0 y 1，则
xe2
ydxdy
D
.
三、计算题（一）（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
x
1
16.设
y
，求 dy.
x
17.
求极限
lim
ln cot x
x0ln x
18.
求不定积分
1
5x 1
ln
5x 1dx.
I=
19.
计算定积分
a
0
a2 x2 dx.
2z设方程
x y 2xz e 1确定隐函数 z=z(x,y)，求
z ' ,
。
x
z '
y
20.
四、计算题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
v 的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径 r 和高 h 分别为多少时，所用材料最省？
21.
要做一个容积为
22.
计算定积分
x sin2 xdx
0
2
sin y
x23.
将二次积分I
dx
0
y
dy 化为先对 x 积分的二次积分并计算其值。
五、应用题（本题 9 分）
已知曲线
y x2
，求
24.
（1）
曲线上当 x=1 时的切线方程；
（2）
求曲线
y x2
与此切线及 x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积V
x
.
六、证明题（本题 5 分）
25．证明：当x>0
时，
x ln(x 1 x2 )
1 x2
1
参考答案
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1.
答案：B
2.
答案：A
3.
答案：A
4.
答案：C
5.
答案：D
二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分）
1 3
,
4 4
a
7.
答案：
1 q
6．答案：
8.
答案：0
9.
答案：
14
1
10.
答案：
12.
答案：
3
x3
2
11．答案：（1，2）
1 Cx
13.
答案：
a ln 2
1
cos2 x
dy
14.
答案：
sin 2xdx y
y
1
15．答案：
1 e2
4
三、计算题（一）（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
1
ln x 1
16. 答案：
dx
x 17．答案：-1
18.
x2
答案：
ln
5x 1C
5
4
'
19.
答案：
a
22xy 2z
z20.
答案：
Zx
，Z y2x e 2x ez
' x2
四、计算题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
V V
21．答案：
r0
，h0
2
3
4V
2
r0
3
22.
答案：
23.
答案：1
2
4
五、应用题（本题 9 分）
24. 答案：（1）
y=2x- 1（2）
1
12
，
1
30
3
12
2
1
1
y 1 2
y 1
y )dy
（2） 所求面积
S
(
y
0
2 4 3
0
12
1
2
2
1
2 1
所求体积Vx
x
dx 1
0
3
2 5 6 30
六、证明题（本题 5 分）
25．证明：
f (x) x ln(x 1 x2 ) 1 x2 1
2x
122 1 x
x
21 x ) x
f '(x) ln(x x 1 x2 1 x2
x x21 x )
ln(x 21 x 1 x2
ln(x 1 x2 )
x 0
2 x 1 x 1
f '(x) ln(x 1 x2 ) 0
故当
x 0
时
f (x)
单调递增，则
f (x) f (0),
即
x ln(x 1 x2 ) 1 x2 1
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