高中函数图像大全汇总

指数函数

概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：

规律：1.

当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4.

指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：

1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；

4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，

我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1).

因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.

据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log1x,y=log1x的草图210

由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.

图

象

a＞1 a＜1

性

质

(1)x＞0

(2)当x=1时，y=0

(3)当x＞1时，y＞0

0＜x＜1时，y＜0

(4)在(0，+∞)上是增函数

(3)当x＞1时，y＜0

0＜x＜1时，y＞0

(4)在(0，+∞)上是减函数

补充

性质

设y1=logax y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1)

当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2

当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2

比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

名称

一般形式

定义域

值域

函

数

值

变

化

情

况

指数函数

y=ax(a＞0，a≠1)

(-∞，+∞)

(0，+∞)

当a＞1时，

对数函数

y=logax(a＞0，a≠1)

(0，+∞)

(-∞，+∞)

当a＞1时

1(x0)ax1(x0)

1(x0)当0＜a＜1时，

0(x1)logax0(x1)

0(x1)当0＜a＜1时，

1(x0)ax1(x0)

1(x0)当a＞1时，ax是增函数；

当0＜a＜1时，ax是减函数.

0(x1)logax0(x1)

0(x1)当a＞1时，logax是增函数；

当0＜a＜1时，logax是减函数.

单调性

图像

y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.

幂函数

幂函数的图像与性质

幂函数yx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握yx，当n2,1,从中可以归纳出以下结论：

nn11,,3的图像和性质，列表如下．

23① 它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

②

a11,,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．32

③

a1,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．

2④

任何两个幂函数最多有三个公共点．

yxn

奇函数

y

偶函数

y

非奇非偶函数

y

n1

O

x

O

x

O

x

y y

y

0n1

O

x

O

x

O

x

y

y

y

n0

O

x

O

x

O

x

定义域

奇偶性

在第Ⅰ象限的增减性

R

奇

在第Ⅰ象限单调递增

R

奇

R

奇

奇

在第Ⅰ象限单调递减

非奇非偶

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

yx幂函数（xR，是常数）的图像在第一象限的分布规律

是：

yx①所有幂函数（xR，是常数）的图像都过点(1,1)；

②当

1,2,3,12时函数yx的图像都过原点(0,0)；

③当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；

yx2,3④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）

⑤当

12时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）

⑥当1时，yx的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）

当0时，幂函数yx有下列性质：

（1）图象都通过点(0,0),(1,1)；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。

当0时，幂函数yx有下列性质：

（1）图象都通过点(1,1)；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点(1,1)后，越大，图象下落的速度越快。

无论取任何实数，幂函数yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。



对号函数

函数yaxb（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”xbbb2（当且仅当axxax而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，ax即xbb时取等号），由此可得函数yax（a>0,b>0,x∈R+）的性质:

ax

当xbbb时，函数yax（a>0,b>0,x∈R+）有最小值2，特别地，当a=b=1aax

时函数有最小值2。函数

yax增函数。

bbb（a>0,b>0）在区间（0，）上是减函数，在区间（，+∞）上是aax因为函数yaxR-）的性质：

当xbb（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数yax（a>0,b>0,x∈xxbbb时，函数yax（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-2，特别地，当a=b=1aaxbb（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上是增函数，在区ax时函数有最大值-2。函数yax间（-b，0）上是减函

a奇函数和偶函数

（1）如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数．

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数．

说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇

(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用这个方法判断此函数较为方便：f(x)

(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，

当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数．

(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形．

(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证．

例 如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．

解 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0

则有－x1＞－x2＞0，

∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，

∴f(－x1)＞f(－x2)

又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立，

∴=－f(x1)＞－f(x2)

∴f(x1)＜f(x2)．

∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．

由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同．

类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反．

时，f(x)的解析式

解 ∵x＜0，∴－x＞0．

又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．

偶函数图象对称性的拓广与应用

我们知道，如果对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真．由此可拓广如下：

如果存在常数a，b，对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，a+x，b-x仍在

(a+b-x，f(x))，而f(a＋b－x)＝f[a＋(b－x)]＝f[b－(b－x)]＝f(x)，对称点P'(a+b-x，

称；

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