(完整版)高中的常见函数图像及基本性质

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常见函数性质汇总及简单评议对称变换

y

b

O

常数函数

f(x）=b

(b∈R)

1）、y=a 和 x=a 的图像和走势

f(x)=b

x

2）、图象及其性质：函数f(x）的图象是平行于x轴或与x轴重合(垂直于y轴）的直线

一次函数

f(x)=kx+b

(k≠0，b∈R）

y

f(x)=kx+b

1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——

点斜式——

x

2）、对斜截式而言,k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势：

O

3）、|k｜越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓

4）、定 义 域:R 值域:R

单调性：当k〉0时 ；当k<0时

奇 偶 性：当b=0时，函数f（x)为奇函数;当b≠0时,函数f(x）没有奇偶性；

反 函 数:有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候)。

补充：反函数定义：

例题:定义在rR

上的函数y=f（x）； y=g（x）都有反函数,且f（x-1）和g(x）函数的图像关于y=x对称，若g(5)=2016，求f（4）=

周 期 性:无

5）、一次函数与其它函数之间的练习

1、常用解题方法：

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—12）点关于直线（点）对称，求点的坐标

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2、与曲线函数的联合运用

k

(k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远）

x图象及其性质:永不相交，渐趋平行;当k〉0时，函数f(x）的图象分别在第一、f(x)=第三象限；当k<0时，函数f(x）的图象分别在第二、第四象限；

y

axb双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；

cxd既是中心对成图形也是轴对称图形

反比例函数

f(x）=定 义 域：(,0)(0,) 值 域：(,0)(0,)

单 调 性：当k>

0时；当k<

0时 周 期 性:无

奇 偶 性：奇函数

反 函 数：原函数本身

O

x

补充：1、反比例函数的性质

2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积)—-入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）

3、反函数变形（如右图）

1）、y=1/（x—2）和y=1/x—2的图像移动比较

2)、y=1/(—x)和y=—（1/x)图像移动比较

axb3）、f（x）=

(c≠0且 d≠0）（补充一下分离常数）

cxd（对比标准反比例函数，总结各项内容)

二次函数

y

f(x)=axbxc

2一般式：f(x)ax2bxc(a0)

顶点式:f(x)a(xk)2h(a0)

两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

x

图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为

O

②当a0时，开口向上，有最低点 当a0时。。。。.

③当 = 〉0时，函数图象与x轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x轴有一个交点（ ）；当=0时,函数图象与x轴没有交点.

④f(x)ax2bxc(a0)

关系

f(x)ax2(a0)

定 义 域：R 值 域：当a0时，值域为（ ）；当a0时,值域为（ )

单 调 性:当a0时；当a0时. 奇 偶 性:b=/≠0

反 函 数：定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数

周 期 性：无

补充：

1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以,a决定二次函数的 ）

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2、

3、二次函数的对称问题：关于x轴对称；关于y轴对称;关于原点对称；关于(m,n）对称

4、二次函数常见入题考法：⑴交点（交点之间的距离） ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势(选择题）

指数函数

f(x)ax(a0,a1)，系数只能为1.

图象及其性质：

1、恒过(0,1)，无限靠近x轴；

12、f(x)ax与f(x)()xax关于y轴对称；但均a不具有奇偶性.

3、在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”—-靠近关系

定 义 域：R 值 域：(0,)

单 调 性：当a0时;当a0时。 奇 偶 性：无

反 函 数：对数函数f(x)logax(a0,a1) 周 期 性：无

补充：

1、

xf(x)=a(0a1)

y f(x)=a(a1)

xO

x

2、图形变换

1/x- x

Log2和Log2ln（x—1）和lnx - 1

y

f(x)=logax(a1)

对数函数(和指数函数互为反函数)

f(x)logax(a0,a1)

图象及其性质：①恒过(1,0)，无限靠近y轴;

②f(x)logax与f(x)log1xlogax关于x轴对aO

x

f(x)=logax(0a1)

称；

③x＞1时“底大图低”；0＜x＜1时“底大图高”（理解记忆）

定 义 域：R 值 域：(0,)

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单 调 性：当a0时；当a0时; 奇 偶 性：无

反 函 数：指数函数f(x)ax(a0,a1) 周 期 性：无

补充：

1、

双钩函数

1（变形式 )

x图象及其性质：①两条渐近线： ②最值计算:

定 义 域: 值 域：

单 调 性: 奇 偶 性：奇函数

反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无

f(x)x注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法

幂函数（考察时，一般不会太难）

无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

不需要背记,只要能够快速画出n=±1， ±1/2，±3,，1/3，0，的图象就行

注意：

掌握y=x的图像；

32掌握y=ax+bx+cx+d的图像（当a〉0，当a<0时)；

补充：

利用数形结合，判断非常规方程的根的取值范围。

例：P393，例题10

3

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函数yf(x)图象变换

一．平移变换

y=f(x)+b向上平移b个单位向左平移a个单位二．对称变换

①y＝f（－x)与y＝f（x）关于y轴对称；

②y＝－f(x）与y＝f（x）关于x轴对称;

③y＝－f(－x)与y＝f（x）关于原点对称;

y=f(x+a)y=f(x)向右a平移个单位y=f(x-a)向下平移b个单位y=f(x)-b④y＝f－1（x）与y＝f（x）关于直线y＝x对称;

⑤y＝｜f(x）｜的图象可将y＝f（x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变．

⑥y＝f（|x｜）的图象：可将y＝f（x）,x≥0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性．

三、伸缩变换

①y＝Af（x)（A＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A倍,横坐标不变而得到．

②y＝f（ax)（a＞0)的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点的横坐标伸(0＜a＜1）缩(a＞1）到原来的1，纵坐标不变而得到．

a四、函数及图象（大致图象)

典型例题精讲

例1：已知y＝f（x）的图象如图2—7所示,则下列式子中能作为f（x）的解析式是(

A ）

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A．x22|x|1 B．x－2|x｜＋1 C．｜x－1｜ D．x22x1

22解析:当f（x）＝x22|x|1时,

f(x)(|x|1)2||x|1|

(x1)x1

1x (0x1)

 (1x0)1x

(x1) (x1)

其图象恰好是上图．

例2：画出函数y＝lg|x＋1｜的图象．

lg(x1) (x1)解析:y＝lg|x＋1｜．

lg(x1) (x1)例3：要将函数y＝2x的图象通过平移变换得到y＝1的图象，需经过怎样的变换?

x1x解析:y＝1－1,先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位,即可得x11到y＝的图象．

x例4：方程kx＝解析：设y＝kx

11(x2)2有两个不相等的实根,求实数k的取值范围．

②

①

y2＝1(x2)2

方程①表示过原点的直线,方程②表示半圆，其圆心（2，0)，半径为1，如图2—9．易知当OA文案大全

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与半圆相切时，kOA333 ，故当0≤k＜时，直线与半圆有两个交点，即0≤k＜时，原333方程有两个不相等的实根．

例5:作函数f（x）＝x＋1的图象．

x分析：f（x）＝x＋1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究．

x解析：函数的定义域是（－∞,0）∪（0，＋∞），

∵f(－x)＝－f（x），

∴f（x）是（－∞，0)∪（0，＋∞）上的奇函数，

11又|f(x）|＝|x＋｜＝｜x|＋≥2，当且仅当|x|＝1时等号成立，

|x|x∴当x>0时y≥2；当x<0时，y≤－2;

当x∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；

当x∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x≠0，y≠0，

∴图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象,

再利用对称性可得函数在定义域上的图象,如图2—10所示．

评述：

（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性．

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(2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用．

例6：f（x)是定义在区间［－c，c]上的奇函数，其图象如图所示．

令g(x）＝af（x）＋b，则下列关于函数g(x）的叙述正确的是（

B ）

A．若a<0,则函数g（x）的图象关于原点对称

B．若a＝－1，－2

C．若a≠0，b＝2，则方程g（x）＝0有两个实根

D．若a≥1，b〈2，则方程g（x）＝0有三个实根

解析：将f（x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,再将所得图象向上（b〉0）或向下（b〈0)平移|b｜个单位，得g(x）＝af(x）＋b的图象．

例6：（全国Ⅱ）把函数y＝e的图象按向量a＝（2，3)平移，得到y＝f(x）的图象，则f(x）x＝ （

C )

(A)ex－3＋2 （B)ex＋3－2 (C)ex－2＋3 (D）ex＋2－3

n例7：（菏泽模拟）如图为函数y＝m＋log结论正确的是 (

D

）

x的图象,其中m，n为常数，则下列（A）m〈0，n>1 (B）m〉O，n>l （C）m>O,0〈n<1 (D）m〈0，0〈n〈1

例8:(安庆模拟）函数y＝e －｜x－1|的图象大致是(

D )

例9:在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x＝0,y＝0,2x＋3y＝30,文案大全

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则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点)的总数是(

A．95 B．91 C．88

B ）

D．75

解析：画出图象，补形做出长方形AOBC,共有整点数11×16＝176，而六点(0，10），(3，8），（6，6），(9,4）,(12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176＋6）1×＝91．

2

例10：将函数y＝log12x的图象沿x轴方向向右平移一个单位,得到图象C，图象C1与C关于原点对称，图象C2与C1关于直线y＝x对称，那么C2对应的函数解析式是_____．

解析：C:y＝log得y＝－1－2x．

12（x－1）；由－y＝log1（－x－1）得C1:y＝log2（－x－1)；求C1的反函数2例11:若函数y＝|－x＋4x－3|的图象C与直线y＝kx相交于点M(2,1），那么曲线C与该直2线有 个交点．

解析：（数形结合法）作y＝｜－x＋4x－3｜的图象,知其顶点在M（2，1)．过原点与点M（2，21）作直线y＝kx，如图．

∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．

例12：作函数y＝（1）2文案大全

｜x－1｜的图象．

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2(x1) (x1),解析：（1）y＝x1故它在区间［1，＋∞)上的图象，

2 (x1).可由y＝2（x≥0)的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到

在区间（－∞，1）上的图象，可由y＝2(x<0)的图象沿x轴方向

向右平移1个单位得到．

x－x

例13:已知函数y＝f(x)（x∈R）满足f(a＋x)＝f(a－x)，求证y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．

证明:设p(x，y）是y＝f（x)图象上的任一点，则有y＝f（x），

0000x2ax0设点P关于直线x＝a的对称点为p′（x′，y′），则有，

yy0x02ax即 由y0＝f（x0）

y0yyf(2ax)f[a(ax)]］＝f（x′)．



y′＝f［a－（a－x′）又f(ax)f(ax)即点p′(x′，y′)也在y＝f（x）的图象上．

∴y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．

例14:画出函数y＝2x1的图象，并利用此图象判定方程2x1＝x＋a有两个不同的实数解时，实数a所满足的条件．

解析:图象是抛物线y＝2x＋1在y≥0上的部分．把y＝x＋a代入y＝2x＋1,得（x＋a）＝2222x＋1，即x2＋2（a－1）x＋a2－1＝0,由Δ＝0得a＝1,

1此时直线与抛物线相切．又因抛物线顶点是（－，0），

2文案大全

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11可知当直线过点（－，0）时,即a＝时直线与抛物线有两交点，

221故当≤a＜1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解．

2

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