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2023年12月24日发(作者：js 拼接字符串)

反比例函数

一、基础知识

kk1. 定义：一般地，形如y（k为常数，ko）的函数称为反比例函数。yxx还可以写成ykx1

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数k0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

k⑵反比例函数的图像是双曲线，y（k为常数，k0）中自变量x0，x函数值y0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是yx或yx）。

⑷反比例函数ykk（k0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y

xx（k0）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4．反比例函数性质如下表：

k的取值 图像所在象限 函数的增减性

ko

ko

一、三象限

二、四象限

在每个象限内，y值随x的增大而减小

在每个象限内，y值随x的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,k但是反比例函数y中的两个变量必成反比例关系。

x7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数ykx2k是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y2k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值k，（k0）即ykx1x（k0）又在第二，四象限内，则k0可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：

12k2k21k1或k解得2

k0k0k1

21k1时函数ykx2kk2为y

x1【例2】在反比例函数y的图像上有三点x1，y1，x2，y2，x3，y3 。x若x1x20x3则下列各式正确的是（ ）

A．y3y1y2 B．y3y2y1 C．y1y2y3 D．y1y3y2

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得y1111，y2，y3

x1x2x3x1x20x3，y3y1y2所以选A

1解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y的图像

x描出三个点，满足x1x20x3观察图像直接得到y3y1y2选A

解法三：用特殊值法

1x1x20x3,令x12,x21,x31y1,y21,y31,y3y1y2

23nm【例3】如果一次函数ymxnm0与反比例函数y的图像相交于点x12）（，，那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

2【解析】

1m23nm1mn2

直线ymxn与双曲线yx相交于，2，2解得n1x23nm1

y2x111直线为y2x1,双曲线为y解方程组yxxx1得1

y111x22y22另一个点为1，1

【例4】 如图，在RtAOB中，点A是直线yxm与双曲线y限的交点，且SAOB2，则m的值是_____.

m在第一象x图

解:因为直线yxm与双曲线y 则有yAxAm,yAm过点A,设A点的坐标为xA,yA.

xm.所以mxAyA.

xA 又点A在第一象限,所以OBxAxA,AByAyA.

111OB•ABxAyAm.而已知SAOB2.

222 所以m4.

所以SAOB三、练习题

21.反比例函数y的图像位于（ ）

xA．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

2.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（ ）

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（ ）

y

o

x

y

o

x

y

o

x

y

o

x

A B C D

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，

气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3

)

的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A、不小于

1的图象上的任意两点，过A作x

x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt53544m B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3

44555．如图 ，A、C是函数yyAΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则 （ ）

A． S1 ＞S2 B． S1

CODBxC． S1=S2 D． S1与S2的大小关系不能确定

n16．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A（-2，1）.

x 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；

（3）△AOB的面积．

k7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、Bx1两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．

2（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

AOCB

8． 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.

（1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求△AOB的面积。

mx四、课后作业

1．对与反比例函数y2，下列说法不正确的是（ ）

xA．点（2,1）在它的图像上

B．它的图像在第一、三象限

C．当x0时，y随x的增大而增大

D．当x0时，y随x的增大而减小

2.已知反比例函数y经过（ ）

A、（2，1） B、（2，-1） C、（2，4） D、（-1，-2）

k3．在同一直角坐标平面内，如果直线yk1x与双曲线y2没有交点，那么k1x和k2的关系一定是（ ）

A.

k1+k2=0 B.

k1·k2<0 C.

k1·k2>0 D.k1=k2

k，则这个函数的图象一定k0的图象经过点（1，-2）x4. 反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．

kx

15. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝__________．

x6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．

12m7. 已知反比例函数y的图象上两点Ax1,y1,Bx2,y2，当x10x2时，x有y1y2，则m的取值范围是？

8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：

(1)求y和x之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y的值；

(3)y＝-2时，x的值。

9. 已知b3,且反比例函数y1b的图象在每个象限内，y随x的增大而增x1b大,如果点a,3在双曲线上y，求a是多少？

x


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