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2023年12月25日发(作者：阿里iconfont)

高斯函数

一、 知识概要

1， 定义：设xR，用x表示不超过x的最大整数。则yx称为高斯函数，也叫取整函数。显然，yx的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即xxa0a1，因此，xxx1，这里，x为x的整数部分，而xxx为x的小数部分。

2，性质

1，函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1x2时，有x1x2；

2，nxnx，其中nZ；

3，x1xxx1；

4，若xyn，则xna,ynb,其中0a,b1；

5，对于一切实数x,y有xyxy；

6，若x0,y0，则xyxy；

7，x（x不是整数时）

x1

x（x是整数时）

8，若nN，则xx；当n1时，xx；

nn9，若整数a,b适合abqr（b0,q,r是整数，0rb），则q；

b10，x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有个；

n11，设p为任一素数，在n!中含p的最高乘方次数记为pn!，则有：

ax

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nnnpn!2mpmnpm1。

ppp证明：由于p是素数，所有n!中所含p的方次数等于n!的各个因数1,2,,n所含p的方次数之总和。由性质10可知，在1,2,,n中，有个p的倍数，有npn个p2的倍数，有2pnnn3mm1个的倍数，，当时，

ppnpp3pm1pm20，所以命题成立。高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。

解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。

二、 解题示例

例1， 若实数r使得r

例2，计算：

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192091rr546，求100r。

10010010023n的值。

n1101100

例3，对自然数n及一切实数x，求证：

例4，对任意的nN，证明：nn14n14n24n3。

例5，解方程56x15x785。

例6，解方程x14x12。

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例7，解方程3x3x3。

例8，证明：若p是大于2的质数，则25p2p1被p整除。

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本文标签： 函数 整数 次数 实数 部分

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