四章指数函数与对数函数 知识点易错点解题方法提炼汇总

第四章 指数函数与对数函数

4.1 指数 .......................................................................................................................... - 1 -

4.2 指数函数 .................................................................................................................. - 6 -

4.2.1 指数函数的概念 .......................................................................................... - 6 -

4.2.2 指数函数的图象和性质 .............................................................................. - 9 -

4.3 对数 ...................................................................................................................... - 15 -

4.3.1 对数的概念................................................................................................ - 15 -

4.3.2 对数的运算................................................................................................ - 19 -

4.4 对数函数 .............................................................................................................. - 23 -

4.4.1 对数函数的概念 ........................................................................................ - 23 -

4.4.2 对数函数的图象和性质 ............................................................................ - 28 -

4.4.3 不同函数增长的差异 ................................................................................ - 36 -

4.5 函数的应用(二) .................................................................................................... - 40 -

4.5.1 函数的零点与方程的解 ............................................................................ - 40 -

4.5.2 用二分法求方程的近似解 ........................................................................ - 45 -

4.5.3 函数模型的应用及数学建模 .................................................................... - 49 -

4.1 指数

知识点一 n次方根及根式

如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？

知识梳理 (1)n次方根

定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.

n是个

数

奇数

n是偶数

a＞0

a＜0

a＞0

a＜0

,

(2)根式

n①定义：式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②性质：(n＞1，且n∈N＋)

x＞0

x＜0

nx仅有一个值，记为a

nx有两个值，且互为相反数，记为±a

x不存在

n(ⅰ)(a)n＝a.

a，n为奇数，(ⅱ)a＝

|a|，n为偶数.nn

知识点二 指数幂及运算

知识梳理 (1)分数指数幂的意义

①规定正数的正分数指数幂的意义是：

mnan＝am(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．

②规定正数的负分数指数幂的意义是：

m11a－n＝m＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．

annam③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s；

②(ar)s＝ars；

③(ab)r＝arbr.

(3)无理数指数幂

无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

解题方法探究

探究一 利用根式的性质化简求值

4[例1] (1)化简a＋1－a4的结果是( )

A．1

C．1或2a－1

B．2a－1

D．0

(2)当a、b∈R时，下列各式总能成立的是( )

866A．(a－b)6＝a－b B.a2＋b28＝a2＋b2

1044C.a4－b4＝a－b D.a＋b10＝a＋b

(3)设－3＜x＜3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．

[解析] (1)a＋1－a4＝a＋|1－a|＝1或2a－1，故选C.

(2)取a＝0，b＝1，A不成立．

取a＝0，b＝－1，C、D不成立．

∵a2＋b2≥0，∴B正确，故选B.

(3)原式＝x－12－x＋32

＝|x－1|－|x＋3|.

∵－3＜x＜3，

∴当－3＜x＜1时，

原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；

当1≤x＜3时，

原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，

－2x－2，－3＜x＜1，∴原式＝

－4，1≤x＜3.[答案] (1)C (2)B (3)见解析

(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．

(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：

从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．

探究二 根式与分数幂的转化

[例2] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0)：

3(1)a·a；(2)a·a2；(3)

234

aa；(4)y2x

x33y6y

x3.

115[解析] (1)a2·a＝a2·a2＝a2＋2＝a2.

22113(2)a3·a2＝a3·a3＝a3＋3＝a3.

(3)

11313aa＝(a·a2)2＝(a2)2＝a4.

y2x

x33y6y

x3＝y2x

x3y61yx33＝y2x

x3y2y·x＝y221y2＝xx·(4)21154yxy2＝y＝yy.

x·24

(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．

(2)化简过程中，要明确字母的范围，以防错解．

探究三 指数幂的运算

21111[例3] 计算：(1)[1253＋16－2＋3433]2；

2311(2)40.0273＋50×0.001 64－2.

211111[解析] (1)原式＝[(53)3＋(2－4)－2＋(73)3]2＝(52＋22＋7)2＝362＝6.

127211631＋×50×10 000－＝ (2)原式＝4421 0003421132314103×3＋4×50×104×4－＝

21113212319＋410＋4×50×10－＝40010－＝

22401491791400＋400－＝400－＝202×－2＝

227－12020＝.

7

利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

易错点归纳

一、条件求值的整体代换策略

(教材探究：教材P110第8题拓展探究)

1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．

2．在进行整体代换时常用的一些公式：

(1)完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2，

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.

(2)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

(3)立方和公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．

(4)立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．

(5)完全立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，

(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.

11[典例] 1.已知a2＋a－2＝3，求a3＋a－3的值．

[解析] ∵a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2＋a－2－1)，

1111由a2＋a－2＝3得a＋a－1＝a2＋a－22－2＝7，

a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝72－2＝47，

∴a3＋a3＝7×(47－1)＝322.

－112．如果a＋a－1＝3，求a2＋a－2的值．

11[解析] ∵(a2＋a－2)2＝a＋a－1＋2＝5，

11且a2＋a－2＞0，

11∴a2＋a－2＝5.

二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题

常用指数幂的变换技巧

已知幂 目标指数

a

ak

ak

ak

k变换技巧

ak除：a＝ak－1

乘：ak·a2＝ak＋2

换元、乘方：令ak＝t，

则

差：k－1

和：k＋2

1倒数：k

积：3k

a乘方：(ak)3＝a3k

bc221[典例] 设a，b，c都是正数，且3＝4＝6，求证：c＝a＋b.

[证明] 令3a＝4b＝6c＝t，则因为3×2＝6，所以221所以＝＋.

cab

111，即a＋2b＝c，

.

4.2 指数函数

4.2.1 指数函数的概念

知识点 指数函数的概念

函数y＝x2与y＝2x在解析式上，有什么不同？

知识梳理 (1)函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

(2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)解析式的结构特征

①底数：大于0且不等于1的常数．

②指数：自变量x.

③系数：ax前的系数必须是1.

解题方法探究

探究一 指数函数的概念

[例1] 下列函数中，哪些是指数函数？

(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)．

[解析] (1)y＝10x符合定义，是指数函数．

(2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数．

(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数．

(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数．

(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．

判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：

(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；

(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；

(3)ax的系数是1.

探究二 指数函数的定义域及值域

[例2] 求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝21；

x－42(2)y＝3－|x|.

1[解析] (1)令t＝，∵x∈R且x≠4.∴t≠0.

x－4∴y＝2t∈(0,1)∪(1，＋∞)，

故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)，

值域为(0,1)∪(1，＋∞)．

(2)令t＝－|x|，可知x∈R，∴|x|≥0，t≤0.

2t∴y＝3∈[1，＋∞)，

故原函数的定义域为R，值域为[1，＋∞)．

函数y＝af(x)的定义域、值域的求法

(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．

(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：

①换元，令t＝f(x)；

②求t＝f(x)的定义域x∈D；

③求t＝f(x)的值域t∈M.

易错点归纳

一、底数a必须大于0且不等于1的理由

x＞0，ax恒等于0，1．若a＝0，则

x≤0，ax无意义.112．若a＜0，则对于一些函数，比如y＝(－4)x，当x＝±，±24，…时，在实数范围内函数值不存在．

3．若a＝1，则y＝1x＝1是常量，没有研究的必要．为了避免以上情况，所以规定a＞0且a≠1.

[典例] 下列各函数中，是指数函数的是( )

A．y＝x3

C．y＝5x＋1

B．y＝(－4)x

D．y＝52x

[解析] A中虽然是一个幂，但自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中虽然是一个幂，且自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“大于0且不等于1”这个条件，故不是指数函数；C中虽然是一个幂，x也出现在指数上，但指数并不是自变量x，故不是指数函数；D中52x＝25x恰好符合指数函数的三个特点，故是指数函数．

[答案] D

二、忽视指数函数的值域致错

1x1x[典例] 求函数y＝4＋2＋1的值域．

113[解析] 令t＝2x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝t＋22＋4.

13因为函数y＝t＋22＋4在(0，＋∞)上是增函数，

13所以y＞0＋22＋4＝1，

即原函数的值域是(1，＋∞)．

1x纠错心得 此题换元后，误认为t∈R.忽视2的值域．

求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞)．一般地，对于y＝af(x)型函数，先求出f(x)的值域A，再画

y＝ax(x∈A)的草图或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域．

4.2.2 指数函数的图象和性质

知识点 指数函数的图象和性质

1y＝2x与y＝(2)x的单调性有什么不同？

知识梳理

0＜a＜1 a＞1

图象

定义域

R

值域

性

质

(0，＋∞)

过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1

减函数

无奇偶性

解题方法探究

增函数

探究一 利用指数函数单调性比较大小

[例1] 比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5和1.53.2；

(2)0.6－1.2和0.6－1.5；

(3)1.50.3和0.81.2.

[解析] (1)函数y＝1.5x在R上是增函数，

∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.

(2)函数y＝0.6x在R上是减函数，

∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.

(3)由指数函数的性质知

1．50.3＞1.50＝1，

而0.81.2＜0.80＝1，

∴1.50.3＞0.81.2.

三类指数式的大小比较问题

(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．

(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．

(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小.

探究二 利用指数函数的单调性解不等式

[例2] [教材P12010题拓展探究]

(1)如果a－5x＞ax＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值范围．

7[解析] ①当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，则－5x＜x＋7，解得x＞－6.

②当a＞1时，y＝ax为增函数，

则－5x＞x＋7，

7∴x＜－6，

7综上，当0＜a＜1时，x∈(－6，＋∞)，

7当a＞1时，x∈(－∞，－6)．

1(2)设f(x)＝ax，g(x)＝(a)x(a＞0，a≠1)，如果对于∀x∈(0，＋∞)都有f(x)＞g(x)，求a的取值范围．

1[解析] 由f(x)＞g(x)得ax＞ax

∴a2x＞1，∀x∈(0，＋∞)都成立．

∴a＞1.

9(3)设f(x)＝3x，g(x)＝10－3x，如果f(x)＜g(x)，那么x的取值范围是多少？

9[解析] 由f(x)＜g(x)得3x＜10－3x，

即(3x)2－10×3x＋9＜0.

设t＝3x＞0，故有t2－10t＋9＜0，

1＜t＜9，

即1＜3x＜9，

∴0＜x＜2.

解含指数式的不等式的策略

(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：

当a＞1时，f(x)＞g(x)；

当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．

(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的1底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝ax(a＞0，且a≠1)等．

探究三 指数函数性质的综合应用

[例3] 已知f(x)＝x(11＋)．

2x－12(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)求证：f(x)>0.

[解析] (1)由2x－1≠0得2x≠20，故x≠0，

∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．

(2)函数f(x)是偶函数．

理由如下：

由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，

11x2x＋1∵f(x)＝x(x＋)＝·，

2－1222x－1－x2x＋1∴f(－x)＝－2·－x

2－1－2xx2x＋1·＝－2·－x

2－1·2xx1＋2x＝－2·

1－2xx2x＋1＝2·x＝f(x)，

2－1∴f(x)为偶函数．

x2x＋1(3)证明：由(2)知f(x)＝2·x.

2－1对于任意x∈R，都有2x＋1>0

若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，

x2x＋1于是2·x>0，即f(x)>0，

2－1若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，

x2x＋1于是2·x>0，即f(x)>0，

2－1综上知：f(x)>0.

解决指数函数性质的综合问题的注意点

(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．

(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．

(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．

(4)形如y＝af(x)的函数的单调性，若a＞1，y＝af(x)的单调性与u＝f(x)的单调性相同，若0＜a＜1，y＝af(x)的单调性与u＝f(x)的单调性相反.

易错点归纳

一、“同为幂值，差别这么大”——指数函数与幂函数的区别

指数函数y＝ax与幂函数y＝xα，其函数值都是幂的形式．但是自变量的位置发生了变化，其图象性质也会有变化．

1[典例] 一个函数y＝f(x)是幂函数或指数函数，过点(－2，4)，研究这个函数的定义域、值域、单调性，如果该函数具有奇偶性，能确定f(x)是什么函数吗？

[解析] 若y＝f(x)为指数函数，设为y＝ax(a＞0，a≠1)．

1∵函数过点(－2，4)，

1∴4＝a－2，

∴a＝2.

f(x)＝2x，定义域为R.

值域为(0，＋∞)．

单调增函数，是非奇非偶函数．

若y＝f(x)为幂函数，设为y＝xα，

1过点(－2，4)，

1∴4＝(－2)α，

∴α＝－2.

1∴f(x)＝x－2，即f(x)＝x2.

定义域为{x|x≠0}，值域为(0，＋∞)．

在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．

此时f(x)是偶函数，具有奇偶性．故可确定f(x)＝x－2.

二、忽视对底数的讨论致错

1[典例] 函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为2，则a＝________.

[解析] (1)当a＞1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是增函数．

所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；

当x＝0时，函数f(x)取最小值．

11由题意得f(1)－f(0)＝2，即a－a0＝2，

3解得a＝2.

(2)当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是减函数．

所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；

当x＝0时，函数f(x)取最大值．

111由题意得f(0)－f(1)＝2，即a0－a＝2，解得a＝2.

31综上知a＝2或2.

31[答案]

2或2

纠错心得 既要考虑当a＞1时，函数f(x)在[0,1]上是增函数的情况，也不能忽视当0＜a＜1时，函数f(x)在[0,1]上是减函数的情况．

4.3 对数

4.3.1 对数的概念

知识点一 对数的概念

如果2＝1.11x，如何求x？

知识梳理 (1)如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N.

(3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作ln_N.

(4)对数与指数的关系

当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.

知识点二 对数的基本性质

由a0＝1，a1＝a，可想到怎样的对数关系？

知识梳理

性质1

性质2

负数和0没有对数

1的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1)

性质3 底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1)

解题方法探究

探究一 指数式与对数式的互化

[例1] (1)将下列指数式化成对数式：

1111－①23＝8；②32＝9；③43＝64；④3x＝3.

(2)将下列对数式写成指数式：

1①log28＝3；②log4＝2；③logaa＝2(a>0，且a≠1)；④log327＝－3.

221111[解析] (1)①3＝log18；②－2＝log39；③3＝log464；④x＝log13.

23

11(2)①23＝8；②22＝4；③a2＝a2(a>0，

1且a≠1)；④3＝27.

－3

(1)logaN＝b与ab＝N(a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．

(2)对数式与指数式的关系如图：

探究二 利用指数与对数的互化求变量的值

[例2] [教材P123例2拓展探究]

3(1)若logx27＝2，则x＝________.

2(2)log2x＝－3，则x＝________.

(3)若－ln e3＝x，则x＝________.

(4)若xlog34＝1，则4x＋4－x＝________.

(5)若f(x)＝3x，则f(log32)＝________.

3[解析] (1)由logx27＝2，可得∴2(2)由log2x＝－，可得33132＝

4＝2.

＝27，

.

.

∴x＝(3)由－ln e3＝x，则ln e3＝－x.

∴e－x＝e3，∴x＝－3.

(4)由xlog34＝1，

11∴log34＝x，∴3x＝4，

14x＝3，∴4－x＝3，

1104x＋4－x＝3＋3＝3.

(5)设t＝log32，则3t＝2，

∴f(log32)＝f(t)＝3t＝2.

210[答案] (1)9 (2)2 (3)－3 (4)3 (5)2

指数与对数互化的本质

指数式ab＝N(a>0，且a≠1)与对数式b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式.

探究三 对数的性质及应用

[例3] 求下列各式中x的值：

(1)log2(log4x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3)ln[log2(lg x)]＝0.

[解析] (1)∵log2(log4x)＝0，

∴log4x＝20＝1，

∴x＝41＝4.

(2)∵log3(lg x)＝1，

∴lg x＝31＝3，

∴x＝103＝1 000.

(3)∵log2(lg x)＝1，

∴lg x＝21＝2，

∴x＝102＝100.

3

(1)对数的性质：

①在指数式中N＞0，故零和负数没有对数．

②设a＞0，a≠1，则有a0＝1.∴loga1＝0.即1的对数等于0.

③设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1.

(2)涉及两个以上对数，方法由外向里，逐层解决，其中将1或0化成同底对数，有利于去掉log，从而最终解出x.

易错点归纳

一、“完璧归赵”——指数式与对数式的换算

由ax＝N得x＝logaN，再代回到ax＝N中，

可得出alogaN＝N(a＞0，a≠1)

[典例] 计算

[解析]

(2)原式＝(3)原式＝二、忽视对数式的存在条件致错

[典例] 若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值．

.

[解析]

由题意得x－2＞0

x－2≠1

x2－7x＋13＝1 ① ② ③

，

由①得x2－7x＋12＝0.

∴x＝3或x＝4.

又由②③得x＞2且x≠3.

∴x＝4.

纠错心得 在对数的定义中：ab＝N⇔b＝logaN要注意条件：a＞0且a≠1，N＞0，b∈R.对数本身的限定条件为底数大于0且不等于1，做题时常因忽略此条件而出错，要特别注意底数含有字母的情况．

4.3.2 对数的运算

知识点一 对数的运算性质

1lg 2＋lg 5如何计算？lg10能直接计算吗？

知识梳理 如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.

M(2)logaN＝logaM－logaN.

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

知识点二 对数换底公式

lg N与ln N之间有联系吗？

logcb知识梳理 logab＝loga(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．

c1特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．即logab＝loga.

b解题方法探究

探究一 对数运算性质的应用

[例1] 求下列各式的值：

(1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；

(2)log271＋log212－log242；

482lg 5·lg 8 000＋lg 232(3)；

11lg 600－2lg 0.036－2lg 0.1(4)lg(3＋5＋ 3－5)．

[解析] (1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg(5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×lg 5＋lg 2＋(lg

2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.

711×12×＝－. (2)原式＝log227×643(3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg

5＋lg 2)＝3；

分母＝(lg 6＋2)－lg3∴原式＝4.

1111(4)原式＝2lg(3＋5＋3－5)2＝2lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝2lg 10＝2.

1．对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数．

2．注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的．

3．对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg 5＋lg 2＝1”解题．

探究二 用换底公式求对数值

[例2] [教材P126练习3变式探究]

14(1)计算(log43＋log83)(log32＋log92)－log232.

14[解析] (log43＋log83)(log32＋log92)－log232

log32log23log23＝log4＋log8log32＋log9－2231log23241111＝(log23＋log23)log32＋log32＋21234log2236161 000×10＝lg 6＋2－lg100＝4.

535535555log232＝6log23×2log32＋4＝6×2×log23×log32＋4＝4＋4＝2.

(2)计算(log43－log83)(log32－log92)．

lg 3lg 3lg 2lg 2[解析] 原式＝(lg 4－lg 8)(lg 3－lg 9)

lg 3lg 3lg 2lg 2＝(2lg 2－3lg 2)(lg 3－2lg 3)

lg 3lg 21＝6lg 2×2lg 3＝12.

(3)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．

[解析] (1)法一：

log54log583log225log25log5＋＋log2＋＋原式＝2

log24log28log525log512552log25log252log523log521＝3log25＋2log2＋3log2(log52＋2log5＋3log5)＝(3＋1＋3)log25·(3log52)＝2255log2213log25·log5＝13.

2法二：

lg 8lg 125lg 25lg 5lg 2lg 4＋＋＋＋原式＝lg 2

lg 4lg 8lg 5lg 25lg 1253lg 52lg 5lg 5lg 22lg 23lg 213lg 5＝lg 2＋2lg 2＋3lg 2lg 5＋2lg 5＋3lg 5＝3lg 2

lg 23lg 5＝13.



换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

探究三 含附加条件的对数式的求值

[例3] (1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.

[解析] 因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是

log1845log189×5法一：log3645＝log36＝182

18log189＝log189＋log185a＋b＝.

2log1818－log1892－alg 9法二：因为lg 18＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18，

同理得lg 5＝blg 18，

lg 9＋lg 5alg 18＋blg 18a＋blg 45lg9×5所以log3645＝lg 36＝＝＝＝.

1822lg 18－lg 92lg 18－alg 182－alg

911(2)设3＝5＝15，求a＋b的值．

ab[解析] ∵3a＝5b＝15，两边取常用对数，

1得alg 3＝blg 5＝2lg 15，

lg 15lg 15∴a＝2lg 3，b＝2lg 5，

112lg 32lg 52lg 3＋lg 52lg 15∴a＋b＝lg 15＋lg 15＝＝lg 15＝2.

lg 15

应用换底公式应注意的两个方面

(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．

(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．左右两边同时取常用对数．

易错点归纳

一、对数运算性质及换底公式的拓展变形

1．换底公式的意义在于把对数的底数改变，把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．

2．几个特殊的对数换底公式的拓展变形(a＞0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈N*)

n(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝logab；

m1(3)logab＝loga；(4)logab·logbc＝logac.

b[典例] 已知f(3x)＝4xlog[解析] f(3x)＝4xlog223＋234，求f(2)＋f(4)＋…＋f(28)．

3＋234，

即f(3x)＝4xlog23＋234，

即f(3x)＝4log23x＋234，

∴f(x)＝4log2x＋234.

∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝(4log22＋234)＋(4log24＋234)＋…＋(4log228＋234)＝8×234＋4(log22＋log24＋…＋log228)＝1 872＋4(log22＋2log22＋…＋8log22)＝1

872＋144＝2 016.

二、忽略对数的限制条件导致错误

x[典例] 若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求y的值．

[解析] 因为lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，

所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0，

xx所以(x－2y)(x＋y)＝0，所以y＝2或y＝－1.

xxx因为x＞0，y＞0，所以y＞0，故舍去y＝－1，所以y＝2.

纠错心得 对数式中，若含字母参数，要注意其有意义的隐含条件，此题易忽x略x－y＞0，x＋2y＞0，x＞0，y＞0，而出现增解y＝－1.

4.4 对数函数

4.4.1 对数函数的概念

知识点 对数函数的概念

我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？

知识梳理 (1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数(logarithmic

function)，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．

(2)对数函数概念的注意点

①形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：yx＝2log2x，y＝log5

5都不是对数函数，可称其为对数型函数．

②定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数

的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．

③底数：对数函数对底数的限制：a＞0，且a≠1.

解题方法探究

探究一 对数函数的概念

[例1] 指出下列函数中哪些是对数函数？

(1)y＝logax2(a＞0且a≠1)；

(2)y＝log2x－1；

(3)y＝2log7x；

(4)y＝logxa(x＞0且x≠1)；

(5)y＝log5x.

[解析] 只有(5)为对数函数．

(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；

(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；

(3)中log7x前的系数是2，而不是1，

∴不是对数函数；

(4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.

判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

探究二 对数函数的定义域

[例2] [教材P130例1的拓展探究]

(1)①y＝log2|x|的定义域为________．

②y＝loga(4－x)＋lg(x－2)的定义域为________．

③y＝loga(4－x)＋1的定义域为________．

x－3

④y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域为________．

6－5x－x2⑤y＝的定义域为________．

lgx＋3[解析] ①|x|>0，∴x≠0.

②由{4－x>0x－2>0

得2＜x＜4.

③由{4－x>0x－3≠0

得x＜4且x≠3.

④由{16－4x>0x＋1>0x＋1≠1

得{x＜4，x＞－1，x≠0.

⑤要使函数有意义，则有{6－5x－x2≥0，即{－6≤x≤1，x>－3，x＋3>0，lgx＋3≠0，

x>－3，x≠－2.

x＋3≠1，

即{－6≤x≤1，∴－3

故函数的定义域为(－3，－2)∪(－2,1]．

[答案] ①(－∞，0)∪(0，＋∞) ②(2,4) ③(－∞，3)∪(3,4) ④(－1,0)∪(0,4)

⑤(－3，－2)∪(－2,1]

(2)①若函数f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，则a的范围为________．

②若函数f(x)＝log2(4x－a)的定义域为R，则a的范围为________．

③若函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R，则a的范围为________．

[解析] ①f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，

即a－4x＞0的解集为(－∞，1)，

即x＝1是a－4x＝0的根，

∴a＝4.

②由题意得4x－a＞0对∀x∈R都成立，

∴a＜4x恒成立，

∴a≤0.

③只要u＝x2＋ax＋1与x轴无交点，即u＞0恒成立，

∴Δ＝a2－4＜0，

∴－2＜a＜2.

[答案] ①{4} ②(－∞，0] ③(－2,2)

探究三 对数函数值的求解

[例3] (1)设函数f(x)＝{1＋log22－x，x<1，2x－1， x≥1，

则f(－2)＋

f(log212)＝( )

A．3

C．9

B．6

D．12

[解析] 由于f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9.

[答案] C

(2)已知f(x)＝log31－x.

1＋x11①求f(2)，f(－2)；

11②求f(2 019)＋f(－2 019)；

③求f(a)＋f(－a)的值，a∈(－1,1)．

1[解析] ①f(2)＝log311＋211－21＋21＝log3＝－1.

131f(－2)＝log31＝log33＝1.

1－211－2 01912 018②f(2 019)＝log3＝log312 020，

1＋2 0191f(－2 019)＝log311＋2 0192 020＝log312 018，

1－2 019112 0182 020∴f(2 019)＋f(－2 019)＝log32 020＋log32 018＝0.

1－a1＋a1－a1＋a·＝0. ③f(a)＋f(－a)＝log3＋log3＝log31＋a1－a1＋a1－a

计算对数函数的函数值，主要依据对数的运算性质．

易错点归纳

一、对数函数在哪里——对数函数与其他函数的综合问题

对数函数与其他函数的综合，一种是以对数函数“logax”为基本量成为f(logax)型，二是以对数函数为外型，为“logaf(x)”型，无论哪种形式，首先要分清，哪一部分相当于对数函数．

[典例] 已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k，a>0且a≠1.

(1)求a，k的值；

(2)当x为何值时，y＝f(log2x)有最小值？求出该最小值．

[解析] (1)由题意得{log2fa＝2，即{a2－a＋k＝22，解得{k＝4＋a－a2，flog2a＝k，

log2a2－log2a＋k＝k，

log2a＝0或log2a＝1，

a＝2.

因为a≠1，所以{k＝2，17(2)y＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－2)2＋4，

17所以当log2x＝2，即当x＝2时，f(log2x)有最小值，最小值为4.

二、忽视对数函数的定义域致错

[典例] 已知函数y＝f(x)，且lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)．

(1)求f(x)的表达式及定义域；

(2)求f(x)的值域．

[解析] (1)因为lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)，

所以{x>0，3－x>0，lg y>0，

解得{01.

因为lg(lg y)＝lg[3x·(3－x)]，所以lg y＝3x·(3－x)，所以y＝f(x)＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x，其中0

27327(2)因为－3x2＋9x＝－3x－22＋4，0

纠错心得 忽略所给式子的限制条件误认为x∈R，所求的函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号后的解析式去确定函数的定义域．

研究函数的有关性质时，我们不仅要关注转化、变形后的函数解析式有意义，更要关注题目中提供的原始条件的有关式子有意义．

4.4.2 对数函数的图象和性质

知识点一 对数函数的图象和性质

利用列表描点作y＝log2x的图象，单调性如何？y＝log1x图象与y＝log2x图象2有什么关系？

y＝log2x在表中对应的y值是多少？

x

0.5

1

2

4

6

8

12

16

知识梳理

图象

定义域

值R

(0，＋∞)

0＜a＜1 a＞1

y

－1

0

1

域

性质

知识点二 反函数的概念

y＝2x图象与y＝log2x的图象之间有什么关系？

知识梳理 一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．

解题方法探究

探究一 对数函数的图象

[例1] [教材P133图象拓展探究]

(1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．

过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

减函数 增函数

[解析] 由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.

过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c＞0.

[答案] b＞a＞1＞d＞c

(2)函数f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过点________．

[解析] 当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过点(2,2)．

[答案] (2,2)

(3)作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．

[解析] 第一步：作出函数y＝log2x的图象(如图①)；

第二步：将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象(如图②)；

第三步：将函数y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图③)．

1.含绝对值的函数图象的变换

含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称．

2．对数函数y＝logax的底数a越大，函数图象在x轴上方部分越远离y轴的正方向，即“底大图右”，如图所示．

3．两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图①，如图②.

探究二 比较大小、解不等式

[例2] 比较下列各组数的大小：

(1)log5与log7；

221416

(2)log13与log13；

25(3)loga2与loga3.

[解析] (1)y＝log1x在(0，＋∞)上递减，

246又因为5＜7，

46所以log15＞log17.

2211lg 3lg－lg52lg 3lg 311(2)法一：log3－log3＝1－1＝.

1125lg2lg5lg2lg511∵y＝lg x是增函数，∴lg5

∴log13－log13<0，∴log13

2525

法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝log1x的图象在y＝log1x图象的上方，所以52log13＜log13.

25(3)当a＞1时，y＝logax为增函数，所以loga2＜loga3.

当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，所以loga2＞loga3.

对数值比较大小的常用方法

(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．

(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．

(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较．

(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．

fx>0，(1)logaf(x)1与不等式组gx>0，fx0，(2)logaf(x)0，fx>gx行分类讨论．

探究三 函数y＝logaf(x)单调区间求法

同解．

同解．

(3)特别地：当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0

[解析] 由2x－3x－2>0得函数21f(x)的定义域为xx>2或x<－2

.

1①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在－∞，－2上为减函数，

1∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在－∞，－2上为减函数．

1②0

1∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在－∞，－2上为增函数．

综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为11－∞，－2；当0

对于函数y＝logaf(x)，如果定义域为D.

a>1

y＝logaf(x)的增区间

定义域内f(x)的单调增区间

y＝logaf(x)的减区间

定义域内f(x)的单调减区间

0

定义域内f(x)的单调减区间 定义域内f(x)的单调增区间

探究四 函数y＝logaf(x)的最值与值域

[例5] 求下列函数的值域：

(1)y＝log2(x2＋4)；

(2)y＝log1(3＋2x－x2)．

2[解析] (1)设u＝x2＋4≥4.

而y＝log2u是增函数．

y≥log24＝2.

∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．

(2)y＝log1(3＋2x－x2)，

2设t＝3＋2x－x2

＝－(x－1)2＋4.

令t＞0，－1＜x＜3.

0＜t≤4.

又∵y＝log1t为减函数．

2∴y≥log14＝－2

2∴函数y＝log1(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．

2

求形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的值域的步骤

(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；

(2)求f(x)的定义域；

(3)求u的取值范围；

(4)利用y＝logau的单调性求解．

易错点归纳

一、“化整为零”求解对数综合问题

常见的对数函数的综合问题及解决策略

(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：

①由f(－x)＝±f(x)直接列关于参数的方程(组)求解．

②由f(－a)＝±f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，求解，但此时需检验．

(2)用定义证明y＝logaf(x)型函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．

[典例] 已知函数f(x)＝ln(1)求m的值；

(2)判定f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．

[解析] (1)f(－x)＝ln－f(x)＝－ln1＋mx－1－mx＝ln，

－x－11＋x1－mx是奇函数．

x－11－mxx－1＝ln，

x－11－mx∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

－1－mx－1＋x即ln＝ln，

1＋x1－mx－1－mx－1＋x∴＝，解得m＝±1.

1＋x1－mx1－mx当m＝1时，＝－1，函数无意义，∴m＝－1.

x－1(2)f(x)在(1，＋∞)上是减函数，证明如下：

2x＋1由(1)知f(x)＝ln＝ln1＋x－1.

x－1任取x1，x2满足1＜x1＜x2，则

222x2－x1221＋x－1－1＋x－1＝－＝.

12x1－1x2－1x1－1x2－1∵x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.

2x2－x1∴＞0，

x2－1x1－1

∴1＋22＞1＋，

x1－1x2－1221＋∴ln(1＋)＞ln，即f(x1)＞f(x2)，

x2－1x1－1∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．

二、忽视对对数函数的底数的讨论

[典例] 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．

[解析] 当a＞1时，因为函数 y＝logax(a＞0且a≠1)在[2,4]上的最大值是4loga4，最小值是loga2，所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2.

当0＜a＜1时，y＝logax在[2,4]上的最大值为loga2，最小值为loga4，

∴loga2－loga4＝1，

11∴loga2＝1，∴a＝2.

1综上，a＝2或a＝2.

纠错心得 此题易忽略对底数a的分类讨论，而只解一种情况．求闭区间上函数的最值时必须明确函数的单调性，否则需分类讨论．

三、互为反函数的两个函数图象间的关系

根据指数与对数的关系，由y＝ax(a＞0，且a≠1)可以得到x＝logay(a＞0，且a≠1)，x也是y的函数．通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，将x＝logay(a＞0，且a≠1)中的字母x和y对调，写成y＝logax(a＞0，且a≠1)．则y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)为互为反函数；其图象关于y＝x对称．y＝ax与x＝logay(a＞0，a≠1)是等价形式．

原函数y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域R是反函数y＝logax的值域．

原函数y＝ax的值域(0，＋∞)是y＝logax的定义域．

原函数y＝ax的点(x0，y0)，则(y0，x0)在y＝logax上．

[典例] 设函数y＝－x＋2与函数y＝10x和y＝lg x分别交于A、B两点，若设A(x1，y1)、B(x2，y2)，求x1＋x2的值．

[解析] ∵y＝10x与y＝lg x是互为反函数．

其图象关于y＝x对称．

A(x1，y1)在y＝10x上．

B(x2，y2)在y＝lg x上．

∴A、B两点关于y＝x对称．

即B(y1，x1)，

∴x1＋x2＝x1＋y1.

又∵A(x1，y1)在y＝－x＋2上

∴y1＝－x1＋2

∴x1＋y1＝2.

∴x1＋x2＝2.

4.4.3 不同函数增长的差异

知识点一 函数y＝ax与y＝kx间的增长比较(a＞1，k＞0)

函数y＝2x与y＝2x有几个交点，x在什么范围下，2x＞2x会恒成立？

知识梳理 (1)y＝ax(a＞1)与y＝kx(k＞0)在区间[0，＋∞)都单调递增．

(2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx的增长速度．

因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有ax＞kx.

知识点二 函数y＝logax(a＞1)与y＝kx(k＞0)的增长比较

11函数y＝lg x与y＝10x有几个交点，x在什么范围下，lg x＜10x会恒成立？

知识梳理 一般地，虽然对数函数y＝logax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx.

知识点三 指数函数y＝ax与幂函数y＝xn(a＞1，n＞0)的增长比较

函数y＝2x与y＝x2有几个交点，x在什么范围下，有2x＞x2恒成立？

知识梳理 (1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函

数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有xn

(2)

函数

性质

在(0，＋∞)上的增减性

增长的速度

解题方法探究

探究一 根据函数的图象规律分析函数模型的增长趋势

[例1] 如图是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶．已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如下图所示，试确定水瓶的形状是图中的( )

y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) y＝kx(k＞0)

增函数

先慢后快

增函数

先快后慢

增函数

相对平稳

增函数

固定不变

[解析] 看图显然图象从左向右，图象上升先快后慢，也就是说，向瓶中注入相同的水量(如单位体积)时，水的高度改变得越来越大．所以，如果向瓶中匀速注水，则水的高度上升速度先慢后快，注入相同的水，高度上升得快，说明瓶的这部分较细，同样如果水的高度上升得慢，说明瓶的这部分较粗，从图象上看，水的高度上升得越来越快，所以瓶子是下面较粗，越向上越细，所以水瓶的形状应是图B.

[答案] B

根据图象反映的增长、快慢、变化规律，直观想象函数模型的特征．

探究二 几类函数变化差异的比较

11[例2] 在同一直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x－2，y3＝log1x在(0，＋∞)2上的图象，并比较这三个函数的变化有何差异．

11x[解析] 先作出三个具体函数y＝2，y＝x－2，y＝log1x的图象，如图所示．

2

(1)这三个函数在(0，＋∞)上都是单调递减的．但递减速度不同．

1(2)随着x的增大，函数y＝2x的衰减速度越来越慢，并且一开始远远大于y1＝x－2的衰减速度，但是它们始终大于0，而对于y＝log1x，衰减速度也是越来越2慢，并且当x＞1时，函数值小于0，会越来越小．因此，存在一个x0，当x＞x0时有.

比较函数衰减、增长的差异，根据图象的相对位置或者根据函数值的变化，进行比较．

易错点归纳

一、谁与争峰——增长函数的选取与拟合

[典例] 政府气候变化专业委员会(I PCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1994年，1995年，1996年大气中的CO2浓度分别比1993年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知1998年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个

可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？

p＋q＋r＝1若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得：4p＋2q＋r＝39p＋3q＋r＝6[解析]

⇒1q＝2，r＝01p＝2

11∴f(x)＝2x2＋2x.

若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，

c＝1ab＋则ab2＋c＝3ab3＋c＝6

3⇒b＝2，c＝－38a＝3

83x∴g(x)＝3·(2)－3.

利用f(x)，g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)＝15可比单位，g(5)＝17.25可比单位，

∵|f(5)－16|<|g(5)－16|，

1111故f(x)＝2x2＋2x作模拟函数与1998年的实际数据较为接近，用f(x)＝2x2＋2x作模拟函数较好．

二、分析不精准致误

[典例] f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(2，＋∞)时，下列选项中正确的是( )

A．f(x)＞g(x)＞h(x)

B．g(x)＞f(x)＞h(x)

C．当x∈(2,4)时，g(x)＞f(x)＞h(x)，当x∈(4，＋∞)时，f(x)＞g(x)＞h(x)

D．当x∈(2,4)时，f(x)＞g(x)＞h(x)，当x∈(4，＋∞)时，g(x)＞f(x)＞h(x)

[解析] 画出函数的图象，如图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数图象上方，二次函数图象位于对数函数图象上方，故g(x)＞f(x)＞h(x)．

[答案] D

纠错心得 函数y＝a·bx＋c(b＞1，a＞0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸，如本例中，当x＞4时，g(x)＞f(x).

4.5 函数的应用(二)

4.5.1 函数的零点与方程的解

知识点一 函数零点

函数f(x)＝x2－2x－3的零点是什么？

知识梳理 (1)对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点(zero point)．

(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

(3)方程f(x)＝0有实数解

⇔函数y＝f(x)有零点

⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

知识点二 函数零点存在定理

函数f(x)＝x2－2x－3在区间(2,4)内有零点吗？f(2)、f(4)符号如何？

知识梳理 函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)

＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0,_这个c也就是方程f(x)＝0的解．

解题方法探究

探究一 求函数的零点

[例1] 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．

[解析] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，

∴x3－x－(6x－6)＝0，

∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝0，

∴(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，

解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，

∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.

函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

探究二 判断函数零点个数

[例2] [教材P143例1拓展探究]

(1)求方程logax＋2x－6＝0的实数解的个数．

[解析] 由logax＋2x－6＝0得logax＝－2x＋6

当a＞1时，作y＝logax与y＝－2x＋6的图象，

y＝logax为增函数，

y＝－2x＋6为减函数，

有一个交点．

当0＜a＜1时，作y＝logax与y＝－2x＋6的图象，

随x的增大，y＝logax的递减逐渐变慢，有两个交点．

故当a＞1时，方程有一个实数解．

当0＜a＜1时，方程有两个实数解．

(2)探求函数f(x)＝ax－x－a零点的个数．

[解析] 作y＝ax及y＝x＋a的图象，当01时，图象如②所示．

由图可知：当0

当a>1时，两图象有2个交点，即原函数有2个零点．

对于一般函数的零点个数的判断问题，不仅要用零点存在性定理来判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需要结合函数的图象和单调性来判断零点个数：

(1)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则f(x)存在零点，且在(a，b)上只有1个零点．

(2)若通过构造f(x)＝g(x)－h(x)，且g(x)、h(x)图象容易作出，则f(x)的零点个数就是g(x)与h(x)图象交点个数，通过作图容易得到f(x)零点个数．

探究三 判断函数的零点、方程的根所在的区间

[例3] (1)函数y＝2x＋x的零点所在的区间是( )

A．(－2，－1)

C．(0,1)

B．(－1,0)

D．(1,2)

(2)若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(k，k＋1)且k∈Z，则k＝________.

7[解析] (1)记f(x)＝2x＋x，则f(－2)＝2－2＋(－2)＝－4<0，f(－1)＝2－1＋(－1)1＝－2<0，f(0)＝20＋0＝1>0，所以零点所在的区间为(－1,0)．

(2)令f(x)＝log3x＋x－3，

则f(2)＝log32－1＜0，

f(3)＝1＞0，由零点存在性定理得f(2)·f(3)＜0，

∴零点所在区间为(2,3)，∴k＝2.

[答案] (1)B (2)2

确定函数零点、方程根所在区间，可以利用函数零点存在性定理，转化为区间两端点函数值是否相反．

易错点归纳

一、研究函数零点的个数及参数范围

将函数零点转化为两个函数图象的交点的横坐标．从而利用图象直观想象函数的变化特征，得出交点个数进而得出参数的范围．

[典例] 1.函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为( )

A．0

C．2

B．1

D．3

[解析] 由题意及函数零点的定义，知f(x)在(0，＋∞)内的零点即方程|x－2|－ln x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x＞0)，如图，在同一个直角坐标系中分别作出两个函数的图象．由图象可得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．

[答案] C

－2x－2，x∈－∞，0，2．规定[x]表示不超过x的最大整数，f(x)＝若方程x－[x]，x∈[0，＋∞，

f(x)＝ax＋1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是( )

1A．[－1，－)

211C．[－3，－4)

11B．[－，－)

2311D．[－4，－5)

[解析] 将“方程f(x)＝ax＋1有且仅有四个实数根”的问题，转化为分析函数y＝f(x)与y＝ax＋1的图象交点问题．当x∈[0，＋∞)时，且f(x)＝x－k，x∈[k，k1＋1)(k∈N)；当x∈(－∞，0)时，f(x)是指数型函数，将y＝(2)x的图象向下平移2个单位，则过点(0，－1)，如图所示．而直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)．

显然直线l1与函数图象的交点个数为4，直线l2与函数图象的交点个数为5，则当直线介于图中两条直线l1，l2之间时满足题意．

1又l1的函数解析式为y＝－2x＋1，

1l2的函数解析式为y＝－3x＋1.

故由图象直观想象，

11a的取值范围为－2，－3.

[答案] B

二、忽略限制条件致错

[典例] 若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，则实数a的

取值范围为________．

[解析] 因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，且f(0)＝2＞0，

2a2a0≤≤4，＞4，2所以或2Δ＝4a2－8≥0f4≤0，解得2≤a≤4或a＞4，

即a≥2.

所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．

[答案] [2，＋∞)

纠错心得 函数y＝f(x)的零点可转化为方程f(x)＝0的实数根或函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，解答零点个数问题时，应注意灵活应用．如本例中，将原问题转化为函数f(x)的图象与x轴在[0,4]上至少有一个公共点．

4.5.2 用二分法求方程的近似解

知识点 二分法的概念及步骤

我们已经知道，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

取区间(2,3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)f(3)＜0，那么零点在区间应该是哪个区间？

知识梳理 (1)对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．

(2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：

①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.

②求区间(a，b)的中点c.

③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

a．若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

b．若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；

c．若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.

④判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.

解题方法探究

探究一 用二分法求函数的零点近似值

[例1] 求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数的零点．(误差不超过0.1)

[解析] 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可以取区间[1,2]作为计算的初始区间．

用二分法逐次计算，列表如下：

中点横坐标

1＋2x0＝2＝1.5

x1＝1＋1.52＝1.25

计算中点的函数值

f(x0)＝0.625>0

f(x1)＝－0.984<0

f(x2)＝－0.260<0

区间 |an－bn|

[1,1.5]

[1.25,1.5]

[1.375,1.5]

0.5

0.25

0.125

1.25＋1.5x2＝＝1.375

2x3＝1.375＋1.5＝1.437

25

由上表的计算可知，区间[1.375,1.5]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3＝1.437 5可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值．

函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图象如图所示．

实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点的精确度更高的近似值．

1．用二分法求函数的近似零点，合理确定初始区间是关键，能够减少二分的次数．

2．二分法是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，并根据所要求的精确度，用此区间的所有值均可表示零点的近似值．

3．使用二分法所具备的条件：

“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．

探究二 利用二分法求方程的近似值

[例2] [教材P146例2拓展探究]

(1)证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)

[证明] 设函数f(x)＝2x＋3x－6，

∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，

又∵f(x)是增函数，

∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，

则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．

设该解为x0，则x0∈[1,2]，

取x0＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，

∴x0∈(1,1.5)，

取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，

f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，

取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，

f(1.125)·f(1.25)<0，

∴x0∈(1.125,1.25)．

取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，

f(1.187 5)·f(1.25)<0，

∴x0∈(1.187 5,1.25)．

∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，

∴1.187 5可作为这个方程的实数解．

(2)求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度为0.1)．

[解析] 设f(x)＝x2－2x－1.

∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，

∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一实数根，记为x0，取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，

∴2

再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，

∴2.25

如此继续下去，有

f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；

f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)．

∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，

∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.

用二分法求方程的近似解时应注意事项

(1)先将方程形式转化为函数形式．

(2)准确计算区间中点的函数值，进而判断零点所在的区间．

(3)求近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.

易错点归纳

一、猜中有技巧，二分起作用——生活中的二分法的应用

1．现实生活中，有很多问题可以用二分法来求解，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄露等故障的查找，实验设计，资料查询等．

2．通过实际情景抽象出函数，将实际问题转化为用二分法求函数的最值．

[典例] 中央电视台有一档娱乐节目，主持人会给选手在限定的时间内猜某一物品的售价机会．如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜

一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？

[解析] 取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1

000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点625；若遇到小数取整数．照这样的方案游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次即可猜中价格．

二、用二分法求方程的近似解因区间分得不够而致误

[典例] 用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度0.1)为________．

[解析] 令f(x)＝x2－5，

因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，

所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.

取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，

因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)．

再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，

f(2.25)＝0.062 5，

因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．

由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，

所以原方程的近似正解可取为2.25.

[答案] 2.25

纠错心得 解决本题易对精确度的理解不正确，错误地认为精确度ε满足的关系式为|f(a)－f(b)|＜ε，要明确精确度ε应满足的关系式是|a－b|＜ε.

4.5.3 函数模型的应用及数学建模

知识点 函数模型