指数、对数函数基本知识点

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基本初等函数知识点

知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念

一般地，函数的定义域为.

叫做指数函数，其中是自变量，函数 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为2.指数函数函数性质：

；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示函数名称

为.

定义

函数

指数函数

且叫做指数函数

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

2.n次方根的性质：

图象

(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；

定义域

图象过定点，即当时，.

数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指值域

过定点

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奇偶性

单调性

在上是增函数

非奇非偶

在上是减函数

②减法：④⑤③数乘：函数值的

变化情况

变化对图象的影响

⑥换底公式：在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.

1.对数函数定义

一般地，函数知识点四：对数函数及其性质

叫做对数函数，其中是自变量，函.

知识点三：对数与对数运算1.对数的定义 (1)若则叫做以为底真数.

(2)负数和零没有对数.

的对数，记作，其中叫做底数，，数的定义域 叫做2.对数函数性质：

对数函数

函数

且叫做对数函数

函数名称

定义

(3)对数式与指数式的互化：2.几个重要的对数恒等式3.常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即(其中，，.

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图象

…).

4.对数的运算性质

如果，那么①加法：. .word..

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知识点六：幂函数1.幂函数概念 形如其中

为常数.

的函数，叫做幂函数，2.幂函数的性质

(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象

限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象

定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

在上是增函数

图象过定点

，即当非奇非偶

在上是减函数

时，.

关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象

关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

(2)过定点：所有的幂函数在(3)单调性：如果如果都有定义，并且图象都通过点.

，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.，则幂函数的图象在轴.

上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函函数值的

变化情况

变化对图象的影响

数.当(其中

在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向 互质，看图象，逐渐减小.

和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则

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是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.

(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.

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补充：函数

1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象记作f（x）。x称作y的原象。

2.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素

3.求函数的定义域常涉及到的依据为

①分母不为0；

②偶次根式中被开方数不小于0；

③实际问题要考虑实际意义

④零指数幂的底数不等于零；

⑤对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；

⑥注意同一表达式中的两变量的取值X围是否相互影响

4.函数值域：

①y32x

②yx35x

5、函数图像变换知识

①平移变换：

形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a｜个单位，就得到y=f(x+a)的图象。

形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到y=f(x)+a的图象

②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称y=f(x)→ y=－f(x) ,关于ｘ轴对称

③.翻折变换

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y=f(x)→y=f|x|, (左折变换)

把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）

把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y轴。

6函数的表示方法

①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法

②图像法：如果图形F是函数yf(x)的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.

③如果在函数yf(x)(xA)中，f(x)是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法

7．分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

8函数单调性及证明方法:

①增函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1

②减函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。此区间叫做函数f(x)的单调减区间。

③证明方法

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1

第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”；

第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性

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9.函数的奇偶性

⑴奇函数

①设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。

②奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。

③奇函数的定义域必须关于原点（0，0）中心对称，否则不能成为奇函数。

④若F(X)为奇函数，且X在零处有定义，则F(0)=0.

⑤定义域关于原点对称。

（2）偶函数

①设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)= f(x)，则这个函数叫做偶函数。

②如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.

③定义域关于原点对称。

（3）奇函数偶函数运算

①两个偶函数相加所得的和为偶函数.

② 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

③ 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

④ 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

⑤ 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

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⑥ 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

⑦奇函数不一定f(0)=0，也不一定有f(0)=0推出奇函数

⑧定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；

（4）奇偶函数图象。

①奇函数的图象关于原点成中心对称。

②偶函数的图象关于Y轴成轴对称。

③奇偶函数的定义域一定关于原点对称！

④奇函数的偶数项系数等于0，偶函数的奇数项系数等于0。

⑤Y=0即是X轴，既是奇函数也是偶函数~！

10.一次函数二次函数

（1）一次函数

①函数ykxbk0叫做一次函数，定义域为R，值域为R。k叫做直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。一次函数又叫线性函数。

②当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

③当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。

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当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

④解析式类型

一般式：ax+by+c=0

斜截式：y=kx+b （k为直线斜率，b为直线纵截距；其中正比例函数b=0）

点斜式：y-y1=k(x-x1) （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) （已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）

截距式：x/a + y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

⑤当k>0时，函数为增函数； 当k<0时，函数为减函数。

（2）二次函数

①函数yax2bxc(a0)叫做二次函数，定义域为R

②a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

③抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

④定点坐标：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

⑤抛物线与x轴交点个数：

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

11．待定系数法

①定义：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写成为一般的形式，其中系数为待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

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②一般过程：首先确定所求问题含待定系数的解析式； 其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. 最后解方程或消去待定系数。

12、函数与方程

①函数的思想：函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

②方程的思想：方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；

③零点：对于函数y=f(α)，使得f(α)=0的实数α叫做函数f(x)的零点.。

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