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2023年12月25日发(作者：xsx系统架构师)

指数函数与对数函数知识点总结

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。

a(a0)nn当n是奇数时，当n是偶数时，

an|a|ana，a(a0)2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

amnnam(a0,m,nN*,n1)mna1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

rrrs（1）a·aa

(a0,r,sR)；

rsrs(a)a（2）

(a0,r,sR)；

rrs(ab)aa （3）(a0,r,sR)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 0

0

0

定义域 R

值域y＞0

在R上单调递增

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

定义域 R

值域y＞0

在R上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)ax(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果axN(a0,a1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：xlogaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式）

说明：○1 注意底数的限制a0，且a1；

2

axNlogaNx；

○3 注意对数的书写格式．

○logaN

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN；

○2 自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数○lnN．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

ab＝ NlogaN＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：

1

loga(M·N)logaM＋logaN； ○2

loga○MlogaM－logaN；

N3

logaMnnlogaM

(nR)． ○注意：换底公式

logablogcb （a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca利用换底公式推导下面的结论

（1）logabnm1n（2）logab．

logab；logbam（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，

注意辨别。如：y2log2x，ylog5而只能称其为对数型函数．

x5 都不是对数函数，2 对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．

○2、对数函数的性质：

a>1 0

110101

定义域x＞0

值域为R

在R上递增

函数图象都过定点（1，0）

定义域x＞0

值域为R

在R上递减

函数图象都过定点（1，0）


本文标签： 对数 指数函数 函数 注意 图象

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