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2023年12月25日发(作者：mongodb树形结构)
正切、余切函数图象和性质 反三角函数
[知识要点]
1．正切函数、余切函数的图象与性质
2．反三角函数的图象与性质
3．已知三角函数值求角
[目的要求]
1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.
2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.
3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.
4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.
[重点难点]
1．正切函数图象与性质 2．已知三角函数值求角
[内容回顾]
一、正切函数与余切函数图象
由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.
作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法.
与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函
数在区间
上的简图，不妨称之为“三点两线法”.
若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.
二、正、余切函数的性质
由图象可得:
定义域
值域
单调性
在周期性
对称性
10 对称中心20 对称轴；无
注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.
2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:
，奇函数(k∈Z) 10 对称中心20 对称轴；无
，奇函数(k∈Z)
T=π
上单增(k∈Z)
T=π
R R
在上单减(k∈Z)
y=tanx y=cotx
1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.
y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.
y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数.
y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数.
2．反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.
注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是
（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.
（3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和.
（4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象，有
定义域
值域
单调性
对称性
在[-1，1]上单增
10对称中心
（0，0）奇函数
2对称轴；无
0y=arcsinx
[-1,1]
y=arccosx
[-1,1]
[0, π]
y=arctanx
R
y=arccotx
R
(0, π)
在[-1，1]上单减 在R上单增
10对称中心
1对称中心非奇非偶
20对称轴；无
0在R上单减
（0，0）奇函数
2对称轴；无
010对称中心非奇非偶
20对称轴；无
周期性
另外:
无 无 无 无
1．三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x∈) arccos(cosx)=x (x∈[0, π])
arctan(tanx)=x(x∈
2．反三角的三角运算
) arccot(cotx)=x(x∈(0, π))
sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1]) cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])
tan(arctanx)=x (x∈R) cot(arccotx)=x (x∈R)
3．x与-x的反三角函数值关系
arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])
arccos(-x)=π-arccosx (x∈[-1,1])
arctan(-x)=-arctanx (x∈R)
arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)
4．
五、已知三角函数值求角
1. 若sinx=a (|a|≤1)，则x=kπ+(-1)karcsina(k∈Z)
2. 若cosx=a (|a|≤1)，则x=2kπ±arccosa(k∈Z)
3. 若tanx=a (a∈R), 则x=kπ+arctana (k∈Z)
4. 若cotx=a (a∈R), 则x=kπ+arccota(k∈Z)
具体计算和表示时，应根据x的范围来确定x的个数.
[典型例题分析]
例1．比较大小:
(1)
(2)
分析:不在余切函数的同一单调区间内，应利用诱导公式设法将其化到同一单调区间内，再利用单调性来比较大小.
解:（1）∵ ,
而，由余切函数在（0，π）上的单减性，有
， ∴
（2）∵
例2．写出下列函数的单调区间
∴ .
(1)
(2)(3)y=|tanx|
分析:(1)若设，则原函数可看作是由y=tanu, 复合而成的复合函数，由于
在R上单增，由复合函数的单调性确定法则，可解决之.类似地，可解决(2).
解:(1)∵ 上单增，(k∈Z)
此时，(k∈Z)
解之得 (k∈Z)
∴
在区间上单增(k∈Z)
(2)∵ 原函数由y=cotu,
又y=cotu在复合而成，而(k∈Z)上单减，
在R上单减，
此时，(k∈Z)
解之得 (k∈Z)
即 (k∈Z)
∴
在区间(k∈Z) 上单增.
(3)分析:由y=tanx图象作翻折可得y=|tanx|的图象，由图象即可得其单调区间.
∴ y=|tanx|的单增区间是(k∈Z)，单减区间是(k∈Z).
例3．求函数
的值域.
分析:考虑到最简原则，将sec2x化为tan2x+1，这样去分母，作变形，就可以得到关于tanx的二次型方程，而tanx∈R，可考虑用判别式法求值域.有
法一:∵ ， ∴ (y-1)tan2x+(1+y)tanx+(y-1)=0
当y≠1时，， ∴ ，
当y=1时，tanx=0∈R 综上，所求值域为
法二:另分析，先对解析式变形“切割化弦”
.
有........(1)
∵ , ∴
∴
, ∴ .
法三:也可由(1)式 得，
解不等式
， 亦可得 .
例4．设(0,1),若f(1)=g(1)，求f(x),g(x)和T.
，它们有相同最小正周期T，且a,b∈ 分析:先从f(x)与g(x)有共同最小正周期入手，找参数a,b关系.
解:∵ ， ∴ a=2b,
∵ f(1)=g(1), ∴
即 , ∴
∴ 或，
∴ 或
又b∈(0,1), ∴ .
∴
,T=12.
例5．若, cosx+tsinx=t, 求t取值范围.
分析:先将t表示出来，，观察到此式右端与半角正切的有理公式很相像，能否转化？
∵
又.
例6．求值:
， ∴ ， ∴ ，即 (1) (2)
(3)
(4)arctan2+arctan3
解:(1)设，则， ∴
∴ 原式
.
(2)设，
∴
∴ 原， ∴
式，
(3)设，
∴ ，∴ ，
∵
， ∴ 原式值不存在.
(4)设arctan2=a, arctan3=b，则，
∴ .又， ∴ 0 ∴ , ∴ 原式=. 例7．求适合下列条件的x集合: 分析:先对原式变形，讨论. . 解:∵ . 当，即时，角x不存在； 当，即时，原式为sin2x=1，所求集合为； 当 ，即时，所求集合为 反思:对于含字母的三角函数值，必须就字母的不同取值分类讨论
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