三角函数的图像

. .

三角函数的图象

一、知识回忆

〔一〕熟悉.三角函数图象的特征：

y＝tanx

y＝cotx

〔二〕三角函数图象的作法：

1.几何法〔利用三角函数线〕

2. 描点法：五点作图法〔正、余弦曲线〕，三点二线作图法〔正、余切曲线〕.

3. 利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y＝Asin〔ωx＋φ〕+B的作法．

函数y＝Asin〔ωx＋φ〕的物理意义：

振幅|A|，周期T2，频率f||1||，相位x;初相〔即当T2x＝0时的相位〕．〔当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号〕，

〔1〕振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．〔用y/A替换y〕由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长〔当|A|＞1〕或缩短〔当0＜|A|＜1〕到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象.

〔2〕周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不. v .

. .

变，横坐标伸长〔0＜|ω|＜1〕或缩短〔|ω|＞1〕到原来的|1|倍，得到y＝sinωx的图象.

〔3〕相位变换或叫做左右平移．(用x＋φ替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向左〔当φ＞0〕或向右〔当φ＜0〕平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin〔x＋φ〕的图象.

〔4〕上下平移〔用y+(-b)替换y〕由y＝sinx的图象上所有的点向上〔当b＞0〕或向下〔当b＜0〕平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象.

注意：由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin〔ωx＋φ〕+B〔A＞0，ω＞0〕〔x∈R〕的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

二、根本训练

1、为了得到函数ysin(3x)的图象，只需把函数ysin3x的图象 〔 〕

6A、向左平移B、向左平移C、向右平移D、向右平移

6186182、函数f(x)2sin|x2y

|的局部图象是 〔 〕

y

2

O

y

2

y

2

O

2

x

O

x

O

x x

A

B

C

D

3、函数y2cosx(sinxcosx)的图象一个对称中心的坐标是 〔 〕

33,0)B、(,1)C、(,1)D、(,1)

8888A、(4、〔00〕函数y=-xcosx的局部图象是

. v .

. .

5、函数f(x)4sin2x4cosx1a，当x[

24,3]时f(x)＝0恒有解，那么a的围是＿＿＿＿＿＿。

6、方程lg|x|sin(x)有＿＿＿个实数根。

3三、例题分析

例1、函数y2sin(2x)。

3〔1〕求它的振幅、周期和初相；

〔2〕用五点法作出它的图象；

〔3〕说明y2sin(2x)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到.

3例2、把函数y3cosxsinx的图象向左平移m(m0)个单位，所得的图象关于y轴对称，求m的最小值。

y

3

例3、如图为yAsin(x)

O

3

3

56

x

(A0,0,||2)的图象的一段，求其解析式。

例4、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋。某港口水的深度y〔米〕是时间t〔0t24，单位：时〕. v .

. .

的函数，记作yf(t)，下面是该港口在某季节每深的数据：

t〔时〕 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y〔米〕 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

经长期观察，yf(t)曲线可以近似地看做函数yAsintk的图象。

(1) 根据以上数据，求出函数yf(t)的近似表达式；

(2) 一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是平安的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米。如果该船想在同一天平安进出港，问它至多能在港停留多长时间(忽略进出港所需的时间).

例5.〔00〕 函数

〔I〕当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

〔II〕该函数的图象可由y=sinx〔x∈R〕的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到.

四、作业同步练习 三角函数的图象

1、假设函数f(x)3sin(x)对任意实数x，都有f(x)f(x)，那么f()等于

444 A、0 B、3 C、－3 D、3或－3

2、把函数y3cos(2x)的图象向右平移m(m0)个单位，设所得图象的解析式为yf(x)，3那么当yf(x)是偶函数时，m的值可以是

. v .

. .

A、B、C、D、

364123、函数ysin(x)(xR,0,02)的局部图象如图，那么

A．2,4 B．3,6

5C．, D．,

44444、函数yAsin(x)(0,图，那么函数表达式为〕

,xR)的局部图象2如下列〔A〕y4sin(x)〔B〕y4sin(x)

8484〔C〕y4sin(x)〔D〕y4sin(x)

84845、函数y3sin(2x)与y轴距离最近的对称轴是＿＿＿＿＿＿.

66、将函数yf(x)sinx(xR)的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数4y12sin2x的图象，那么f(x)可以是＿＿＿＿＿＿＿。

7、给出以下命题：①存在实数，使sincos1；②存在实数，使sincosysin(3；③2552x)是偶函数；④x是函数ysin(2x)的一条对称轴方程；⑤假设、是第一824象限角，且，那么tantan。其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿＿。〔注：把你认为正确命题的序号都填上〕

8、函数f(x)sinx2|sinx|,x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，那么k的取值围是__________。

9、设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，函. v .

. .

22数y＝sinnx在[0，]上的面积为〔n∈N*

〕，〔i〕y＝sin3x在[0,]上的面积为；〔ii〕y＝sin〔3x－π〕nn34＋1在[，]上的面积为.

3310、函数f(x)2sinx(sinxcosx)。

〔1〕求它的振幅、周期和初相；〔2〕用五点法作出它的图象；

〔3〕说明f(x)2sinx(sinxcosx)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到.

11、假设函数yf(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得图象先向左平移达式。

1个单位，再向下平移1个单位，得到的曲线与ycosx的图象一样，求yf(x)的表2212、函数yAsin(x)(A0,0,||x2)在x(0,2)只取到一个最大值和一个最小值，且当312时，函数的最大值为3，当x7时，函数的最小值为－3，试求此函数的解析式。

1213、设函数f(x)sin(x)(0,||2)，给出以下四个论断：

①它的图象关于直线x对称；②它的图象关于点(,0)对称；

123③它的周期是； ④它在区间[6,0]上是增函数。

以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明。

参考答案：

根本练习：1、B2、C 3、B 4、D 5、[-4, 5] 6、6

. v .

. .

例题分析：例1〔1〕振幅2，周期，初相；〔2〕略；〔3〕把ysinx的图象上所有的点左移个331单位，得到ysin(x)的图象，再把ysin(x)的图象上的点的横坐标缩短到原来的〔纵233坐标不变〕，得到ysin(2x)的图象，最后把ysin(2x)图象上点的纵坐标伸长到原来的2335倍〔横坐标不变〕，即可得到y2sin(2x)的图象 例2、 例3、y3sin(2x)例6334(1)

y3sint10(0t24)；(2) 该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口至多停6留16小时

作业：1—4、DBCA

5、直线x66、f(x)2cosx7、③④8、1k3 9、2

3；〔2〕略；〔3〕把ysinx的图象上所有的点右移个单位，得到341，得到ysin(x)的图象，再把ysin(x)的图象上的点的横坐标缩短到原来的〔纵坐标不变〕244然后最把ysin(2x)图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍〔横坐标不变〕，ysin(2x)的图象，44得到y2sin(2x)的图象，最后把y2sin(2x)的图象向上平移1个单位，即可得到44y2sin(2x)1的图象，即f(x)2sinx(sinxcosx)的图象

410、振幅2，周期，初相111、ysin2x112、y3sin(2x)

2313、①③②④；②③①④

. v .