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2023年12月25日发(作者：在线运行java)

高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)0；通过方程有实数根，a1x2b1xc1判别式0，从而求得原函数的值域，形如y（a1、a2不同时a2x2b2xc2为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）1xx2【例1】求函数y的值域。1x2【解析】原函数化为关于x的一元二次方程有,由于x取一切实数，故（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数yxx(2x)的值域。（1）解得：，得在实数集R有实根，而不能确保求出的范围可能比y的实【解析】两边平方整理得：∵∴但此时的函数的定义域由由，仅保证关于x的方程：其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由际范围大，故不能确定此函数的值域为可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵。

代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。解法二：yxx(2x)x1(x1)2，令x1sin[,]22y1sincos12sin()434442sin()124原函数的值域为：2x2axb【例3】已知函数f(x)的值域为[1，3]，求a,b的值。x212x2axb【解析】y(y2)x2axyb0a24(y2)(yb)02x14y24(2b)y8ba20。2x2axb由于f(x)的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}x21y1y22b13a228bayy3b2124【例4】求函数yx1x22x2的值域。2【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得：yx(2y1)x2y10，(1)

这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式1(2y1)24y(2y1)0，解得：12y2。1故原函数的值域为：y[12,2]。【解法2】当x≠-1时yx12x2x21(x1)1x1，即y[12,0)由于当x+1<0时，(x1)12x1当x+1＞0时，(x1)12，即y(0,12]x1考虑到x=-1时y=0【例5】已知函数y1故原函数的值域为：y[12,2]mxn的最大值为4，最小值为—1，则m=2x1，n=【解析】ymxn22yxmxny0m4y(yn)02x11。4y24nym20………………○2x2axb1的解集为{y|－1≤y≤4}由于f(x)的值域为[－1，4]，故不等式○x21y1y2n3m42myy4m3124m4n3x2的值域。2x2x3【例6】求函数y2【解析】yx(y1)x3y20○1y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点；2y0(y1)24y(3y2)0○

16y24y1)01○2得函数的值域为R.yR，由○y480六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且a0）的函数常用此法求解。对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。【例1】求函数y2x12x的值域。1t2【解析】令t12x（t0），则x，215135∴yt2t1(t)2∵当t，即x时，ymax，无最小值。242845∴函数y2x12x的值域为(,]。4x5y2log3x1(2x10)的值域。【例2】求函数x5y2,y2log3x1则y1,y2在[2，10]上都是增函数1【解析】令所以yy1y2在[2，10]上是增函数当x=2时，ymin23log321185y2log3933max当x=10时，18,33故所求函数的值域为：【例3】求函数yx1x1的值域。y2x1x1【解析】原函数可化为：令y1x1,y2x1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数所以yy1，y2在[1,]上也为无上界的增函数

2所以当x=1时，yy1y2有最小值2，原函数有最大值2显然y0，故原函数的值域为(0,2]2【例4】求函数yx21(x1)2的值域。故可令x1cos,[0,]221(x1)0(x1)1【解析】因即∴ycos11cos2sincos12sin()14∵0,05442sin()12402sin()1124故所求函数的值域为[0,12]x3xy4x2x21的值域。【例5】求函数12x1x2y221x1x2【解析】原函数可变形为：2x1x22sin2,cos22xtg1x可令，则有1x11ysin2cos2sin424当k1ymax428时，k1ymin28时，4当而此时tan有意义。114,4故所求函数的值域为

x,122的值域。【例6】求函数y(sinx1)(cosx1)，【解析】y(sinx1)(cosx1)sinxcosxsinxcosx11sinxcosx(t21)2令sinxcosxt，则11y(t21)t1(t1)222由tsinxcosx2sin(x/4)x,122且2t22可得：∴当t2时，ymax32322ty22时，42，当323,2422。故所求函数的值域为2yx45x7求函数的值域。【例】2【解析】由5x0，可得|x|5故可令x5cos,[0,]y5cos45sin10sin()44∵05444当/4时，ymax410当时，ymin45故所求函数的值域为：[45,410]【例8】求函数y(x25x12)(x25x4)21的值域。599【解析】令tx5x4x，则t。42422ytt821t28t21t45，2

1919当t时，ymin458，值域为y|y84161642【例9】求函数yx21x的值域。【解析】令t1x，则x1t2，t0，y1t22tt122当t0时，tmax10201所以值域为(,1]。2【例10】．求函数yx10xx223的值域。【解析】由yx10xx223=x2x5，2令x52cos，22因为2x5022cos01cos1，[0,]，则2x5=2sin，2于是：y52sin2cos52sin5，[,]，44442sin1，所以：52y7。24七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。x21【例1】求函数y2的值域。x1【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得(y1)x2(y1)，y1（xR，y1），y1∵y1，∴x2y10，∴1y1，∴y1x21∴函数y2的值域为{y|1y1}x1

ex1yxe1的值域。【例2】求函数exy1y1【解析】由原函数式可得：x∵e0y10y1∴解得：1y1故所求函数的值域为(1,1)ycosxsinx3的值域。【例3】求函数y21sinx(x)3yysinxcosx3y，可化为：【解析】由原函数式可得：sinx(x)即3yy211即3yy12∵xR∴sinx(x)[1,1]1解得：22y4422,44故函数的值域为【例4】y3sinx42cosx34y14y2【解法1】sin(x)，sin(x)34y14y21，解得133y133即函数值域为：y[133,1]33【解法2】y看作是两点(4,3)和(2cosx,sinx)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值范围就是y3sinx42cosx聚会取值范围．设y=k(x-4)+3代入椭圆方程x2y214222(4k1)x8(34k)kx4(16k24k8)0，由Δ＝0得答案．得

【例5】已知a>0，x1,x2是方程ax+bx-a=0的二个实根，并且|x1|+|x2|=2,求a的取值范围以及b的最大值。22【解析】由韦达定理知：xx=-a<0,故两根必一正一负，｜x|+|x|=21212从而|x1-x2|=2由韦达定理知：4=|x1-x2|2=(b2+4a3)/a2从而4a2-4a3=b2≥0即4a2(1-a)≥0即a≤1,注意到a>0，从而a的取值范围是0


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