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2024年1月24日发(作者:switch框是什么意思)

二进制数第0位的权值是2的0次方,第1位的权值是2的1次方……

所以,设有一个二进制数:0110 0100,转换为10进制为:

下面是竖式:

0110 0100 换算成 十进制

第0位 0 * 20 = 0

第1位 0 * 21 = 0

第2位 1 * 2 = 4

第3位 0 * 23 = 0

第4位 0 * 24 = 0

第5位 1 * 25 = 32

第6位 1 * 26 = 64

第7位 0 * 27 = 0 +

---------------------------

100

用横式计算为:

0 * 20 + 0 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 + 0 * 24 + 1 * 25 + 1 * 26 + 0 * 27 = 100

0乘以多少都是0,所以我们也可以直接跳过值为0的位:

1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 = 100

2.2 八进制数转换为十进制数

23562八进制就是逢8进1。

八进制数采用 0~7这八数来表达一个数。

八进制数第0位的权值为8的0次方,第1位权值为8的1次方,第2位权值为8的2次方……

所以,设有一个八进制数:1507,转换为十进制为:

用竖式表示:

1507换算成十进制。

第0位 7 * 80 = 7

第1位 0 * 81 = 0

第2位 5 * 82 = 320

第3位 1 * 83 = 512 +

--------------------------

839

同样,我们也可以用横式直接计算:

7 * 80 + 0 * 81 + 5 * 82 + 1 * 83 = 839

结果是,八进制数 1507 转换成十进制数为 839

2AF5换算成10进制:

第0位: 5 * 160 = 5

第1位: F * 161 = 240

第2位: A * 162 = 2560

3第3位: 2 * 16

= 8192 +

-------------------------------------

10997

直接计算就是:

5 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 = 10997

(别忘了,在上面的计算中,A表示10,而F表示15)

现在可以看出,所有进制换算成10进制,关键在于各自的权值不同。

假设有人问你,十进数 1234 为什么是一千二百三十四?你尽可以给他这么一个算式:

1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100

10进制数转换成二进制数,这是一个连续除2的过程:

把要转换的数,除以2,得到商和余数,

将商继续除以2,直到商为0。最后将所有余数倒序排列,得到数就是转换结果。

听起来有些糊涂?我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。

“把要转换的数,除以2,得到商和余数”。

那么:

要转换的数是6, 6 ÷ 2,得到商是3,余数是0。(不要告诉我你不会计算6÷3!)

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是3,还不是0,所以继续除以2。

那就: 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是1,还不是0,所以继续除以2。

那就: 1 ÷ 2, 得到商是0,余数是1 (拿笔纸算一下,1÷2是不是商0余1!)

“将商继续除以2,直到商为0……最后将所有余数倒序排列”

好极!现在商已经是0。

我们三次计算依次得到余数分别是:0、1、1,将所有余数倒序排列,那就是:110了!

6转换成二进制,结果是110。

把上面的一段改成用表格来表示,则为:

被除数

6

3

1

计算过程

6/2

3/2

1/2

3

1

0

余数

0

1

1

(在计算机中,÷用 / 来表示)

如果是在考试时,我们要画这样表还是有点费时间,所更常见的换算过程是使用下图的连除:

(图:1)

请大家对照图,表,及文字说明,并且自已拿笔计算一遍如何将6转换为二进制数。

说了半天,我们的转换结果对吗?二进制数110是6吗?你已经学会如何将二进制数转换成10进制数了,所以请现在就计算一下110换成10进制是否就是6。

3.2 10进制数转换为8、16进制数

非常开心,10进制数转换成8进制的方法,和转换为2进制的方法类似,惟一变化:除数由2变成8。

来看一个例子,如何将十进制数120转换成八进制数。

用表格表示:

被除数

120

计算过商

120/8 15

余数

0

15

1

15/8

1/8

1

0

7

1

120转换为8进制,结果为:170。

非常非常开心,10进制数转换成16进制的方法,和转换为2进制的方法类似,惟一变化:除数由2变成16。

同样是120,转换成16进制则为:

被除数

120

7

120转换为16进制,结果为:78。

请拿笔纸,采用(图:1)的形式,演算上面两个表的过程。

4 二、十六进制数互相转换

二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算,每个C,C++程序员都能做到看见二进制数,直接就能转换为十六进制数,反之亦然。

我们也一样,只要学完这一小节,就能做到。

首先我们来看一个二进制数:1111,它是多少呢?

你可能还要这样计算:1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1

* 4 + 1 * 8 = 15。

0123计算过商

120/16 7

7/16 0

余数

8

7

然而,由于1111才4位,所以我们必须直接记住它每一位的权值,并且是从高位往低位记,:8、4、2、1。即,最高位的权值为23 = 8,然后依次是 22 = 4,21=2, 20 = 1。

记住8421,对于任意一个4位的二进制数,我们都可以很快算出它对应的10进制值。

下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值(中间略过部分)

仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值

1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F

1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E

1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D

1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C

1011 = 8 + 4 + 0 + 1 = 11 B

1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A

1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 10 9

....

0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1

0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0

二进制数要转换为十六进制,就是以4位一段,分别转换为十六进制。

如(上行为二制数,下面为对应的十六进制):

1111 1101 , 1010 0101 , 1001 1011

F D , A 5 , 9 B

反过来,当我们看到 FD时,如何迅速将它转换为二进制数呢?

先转换F:

看到F,我们需知道它是15(可能你还不熟悉A~F这五个数),然后15如何用8421凑呢?应该是8 + 4 + 2 + 1,所以四位全为1 :1111。

接着转换 D:

看到D,知道它是13,13如何用8421凑呢?应该是:8 + 2 + 1,即:1011。

所以,FD转换为二进制数,为: 1111 1011

由于十六进制转换成二进制相当直接,所以,我们需要将一个十进制数转换成2进制数时,也可以先转换成16进制,然后再转换成2进制。

比如,十进制数 1234转换成二制数,如果要一直除以2,直接得到2进制数,需要计算较多次数。所以我们可以先除以16,得到16进制数:

被除数

1234

77

4

结果16进制为: 0x4D2

然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式: 0100 1011 0010。

其中对映关系为:

0100 -- 4

1011 -- D

0010 -- 2

计算过商

1234/16 77

77/16 4

4/16 0

余数

2

13 (D)

4

同样,如果一个二进制数很长,我们需要将它转换成10进制数时,除了前面学过的方法是,我们还可以先将这个二进制转换成16进制,然后再转换为10进制。

下面举例一个int类型的二进制数:

01101101 11100101 10101111 00011011

我们按四位一组转换为16进制: 6D E5 AF 1B

5 原码、反码、补码

结束了各种进制的转换,我们来谈谈另一个话题:原码、反码、补码。

我们已经知道计算机中,所有数据最终都是使用二进制数表达。

我们也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数。

不过,我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。

比如,假设有一 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为:

00000000 00000000 00000000 00000101

5转换成二制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。

现在想知道,-5在计算机中如何表示?

在计算机中,负数以其正值的补码形式表达。

什么叫补码呢?这得从原码,反码说起。

原码:一个整数,按照绝对值大小转换成的二进制数,称为原码。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。

反码:将二进制数按位取反,所得的新二进制数称为原二进制数的反码。

取反操作指:原为1,得0;原为0,得1。(1变0; 0变1)

比如:将00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反,得11111111

11111111 11111111 11111010。

称:11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000

00000101 的反码。

反码是相互的,所以也可称:

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000

00000101 互为反码。

补码:反码加1称为补码。

也就是说,要得到一个数的补码,先得到反码,然后将反码加上1,所得数称为补码。

比如:00000000 00000000 00000000 00000101 的反码是:11111111 11111111

11111111 11111010。

那么,补码为:

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111

11111011

所以,-5 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制:0xFFFFFFFB。

再举一例,我们来看整数-1在计算机中如何表示。

假设这也是一个int类型,那么:

1、先取1的原码:00000000 00000000 00000000 00000001

2、得反码: 11111111 11111111 11111111 11111110

3、得补码: 11111111 11111111 11111111 11111111

可见,-1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为:0xFFFFFF。


本文标签: 进制 二进制 转换 计算 计算机