截断策略下正则化参数的后验选择方法

２０１０　赣南师范学院学报　Ｎｏ．６　第六期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇａｎｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｄｅｅ．２０１０　・基础数学・　截断策略下正则化参数的后验选择方法　罗兴钧　，李玉娟　，李繁春　，刘　洋　（１．赣南师范学院数学与计算机科学学院；２．江西应用技术职业学院基础教学部，江西赣州３４１０００）　摘要：基于截断投影方法，构造了求解半正定病态积分方程的Ｌａｖｒｅｎｔｉｅｖ截断快速算法，给出了先验误差估　计，并提出了新的后验参数选择准则，与传统投影方法相比得到了相同的最优收敛率，但内积的计算个数少于传统　投影方法．　关键词：病态积分方程；Ｌａｖｒｅｎｔｉｅｖ正则化；截断投影；后验参数选择　中图分类号：Ｏ１７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００４—８３３２（２０１０）０６—０００１—０６　１　引言　数学物理反问题中多数问题可以归结为第一类病态积分方程¨　．病态积分方程的数值计算对舍入误差　非常敏感，通常要采取正则化方法，普遍采用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ及Ｌａｖｒｅｎｔｉｅｖ正则化方法求解　Ｊ．正则化方法中正　则化参数的确定是非常关键的，与数值计算结果密切相关．正则化参数的确定有很多方法　，本文提供正　则化参数快速算法．　由于病态积分方程正则化后是第二类良态积分方程，如何快速求解带参数的第二类良态积分方程，是正　则化技术中具有挑战性的重要课题．截断投影方法早期广泛用来快速求解不带参数的第二类良态积分方　程　］．近期，截断投影方法用来快速求解第一类病态积分方程　．相比较第二类良态积分方程，第一类　病态积分方程的数值计算更复杂，因为涉及到正则化参数的确定问题．现有的截断投影方法文献，多数是求　解第一类病态积分方程，文献［１３］采用截断投影方法求解第一类病态半正定积分方程，提出了截断投影方　法，考虑了计算复杂度并给出了先验误差估计，遗憾的是没有给出后验参数选择方法．因此，本文先给出简化　后的截断投影算法，提出了新的正则化参数后验选择准则，证明了近似解达到最优．　２截断投影算法　假设Ｅ是ｄ维欧氏空间Ｒ　（ｄ　１）的紧集，　是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｌ　（Ｅ），用（・，・）与ｌＩ・ｌ１分别表示Ｈｉｌｂｅｒｔ　空问　的内积及范数．假设　：　—　是线性半正定紧算子，即对任意ｘｅＸ，（Ａｘ，　）≥０．定义Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分算　子Ａ　Ａｘ（ｔ）：＝ｊ　（ｓ，ｔ）　（ｓ）ｄｓ＝Ｙ（ｔ），ｔｅＥ；　（２．１）　士　这里，ｋｅＣ（Ｅ×Ｅ）．以下，考虑第一类积分方程的求解：　Ａｘ＝Ｙ，　（２．２）　即ｙｅＸ是已知的，而　（ｔ）是待求的．显然，算子Ａ：　—　是紧算子．因此，方程（２．２）是病态问题．容易得到算　子４的共扼算子　为　Ａ　（ｔ）：＝Ｉ　（ｔ，ｓ）　（ｓ）ｄｓ＝Ｙ（ｔ），ｔｅＥ．　士　以下，假设＿ｙＥ尺（Ａ）且（２．２）有一个最小范数解　，满足　＝Ａ　・　，ｌｌ　ｌＩ≤Ｐ，Ｐ，　＞０，　（２．３）　在实际问题中，知道的仅是Ｙ的近似值Ｙ　，且满足　收稿日期：２０１０—１１—１２　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１　１０６１００１）；江西省自然科学基金资助项目（２００８ＧＺＳ００２５）；江西省教育厅科学技术研究资助项　目（ＧＪＪ１０５８６）　作者简介：罗兴钧（１９６５一），男，江西泰和人，赣南师范学院数学与计算机科学学院教授、博士，研究方向：正反问题计算方法与理论．　

２　赣南师范学院学报　２０１０　ｌｌ　Ｙ—Ｙ。ｌ　Ｉ，　（２．４）　由于方程（２．２）是不适定的，要使用正则化策略．本文采用Ｌａｖｒｅｎｔｉｅｖ正则化方法Ⅲ２　求　的近似解　（４＋ｏｄ）ｘ　＝Ｙ　，　（２．５）　从（２．５）可以得到　。＝（ａＩ＋４）一Ｙ　．为了得到ｚ　的近似解，必须离散化问题（２．５）．以下介绍多尺度　Ｇａｌｅｒｋｉｎ离散方法．定义Ｎ：＝｛１，２…｝，Ｎｏ：＝｛０，１，２，…｝以及Ｚ　＝｛０，１，２，…，ｎ一１｝，Ｅ＝｛Ｅ　：ｉ　ｅＮｏ｝，　Ｅ　＝｛Ｅ　：　ｅＺ　）｝满足　、Ｅ　Ｊ＝Ｅ，ｍｅａｓ（Ｅ　ｎ　Ｅｉｊ／）＝０，ｊ，ｊ　ＥｚＰ（ｆ）√≠／，与ｍａｘ｛ｄ（　Ｊ）：　ｅＺ州））～　，，　这里对每个非负的　，Ｅ　都是Ｅ的一个剖分，而ｅ（ｉ）就表示剖分Ｅ　中包含的子集个数，即第ｉ层的剖分数，　ｍｅａｓ（Ｅ）表示集合Ｅ的测度，ｄ（Ａ）表示集合Ａ的直径，ａ～ｂ表示存在正数Ｃ　，ｃ：使得ｃ。ａ　ｂ　Ｃ２ａ．ｄ是　Ｅ的维数，ｄ，　是正整数．假设　是相对于分割Ｅ　，次数不超过正整数ｆ的多项式空间，则以下关系成立　Ｕ　：Ｌ　（Ｅ），Ｘ　Ｃ　Ｘ　，凡ＥⅣ０．对任意ｉ　ｅＮ，假设　是　Ｘ　＝　假设子空间　在Ｘ　中的正交补，则有以下多尺度空间分解　，　（２．６）　ｏ　Ｗ　①　…①　其中，Ｗｏ＝Ｘ。．定义ｓ（ｎ）：＝ｄｉｍＸ　和Ｗ（ｉ）：＝ｄｉｍＷｉ，则有　ｓ（ｎ）～　及Ｗ（ｉ）—　．　的基底是｛Ｗ　：　ｅＺ　）｝，这意味着Ｘ　＝ｓｐａｎ｛Ｗ　：（ｉ，　）Ｅ　｝，这里，Ｕ　：＝｛（ｉ，Ｊ＿）：　ｅＺ　，ｉ　ｅＺ　｝．假设Ｐ　是Ｌ。（Ｅ）到　正交投影算子．有了这些准备后，现在介绍解（２．５）的投影算法．关键　是如何选择４　作为Ａ的近似，其选择决定了精确度和算法的复杂性．传统Ｇａｌｅｒｋｉｎ全投影方法　选取Ａ　＝　Ｐ，　ＡＪＰ　，需要进行大量的内积计算．文献［１３］提出了截断投影算法，但是投影算法表达式比较繁，项数也更　多，文献［７］提出了一种简便且有效的截断投影方法，即修正的投影方法　＝∑（　一　一　）ＡＰ　（２．７）　这里，Ｐ一，＝０．相比传统投影方法，这种投影方法可以通过更少的内积计算达到相同的最优收敛率．此时，　求解正则化方程（２．５）变成寻找　：∈　使得　（　＋　，）　＝Ｐ　Ｙ　，　（２．８）　以下指出，改进的截断投影算法（２．８）会导致快速算法，即计算量减少了．为了把方程（２．８）写成等价的矩阵　形式，利用　的多尺度小波基底｛Ｗ　：（　，　）ｅＵ￣｝，（２．８）的解表示成　＝∑ＸｑＷ　Ｅ　为方便起见，引入　向量Ｘ　：＝［　：（ｉ，　）ｅＵ　］　，ｆｎ：：［（Ｗ　，　，，Ｙ　）］，以及矩阵　Ｅ　：＝［（　，，，，ｗｉｊ）：（ｉ　，　），（ｉ，．，）Ｅ　】　，　Ａ　：＝［Ａ　：（　），（ｉ，　）］ｅＵ　，　；　（２．９）　（２・这里，　Ａ　，　，　｛。（ｗ其它，　＋　ｉｔ，Ａｗ　’，．１。）　利用这些记号，（２．８）可以表示成如下矩阵形式　（ａＥ　＋Ａ　）Ｘ　＝厂ｎ，　（２．１１）　由于Ａ　矩阵具有稀疏结构，因而方程（２．１１）的求解是快速的．以下分析截断算法的计算复杂度．　引理１　如果截断矩阵　是根据截策略（２．９）和（２．１０）选择的，则有　Ⅳ～（ｎ＋１）　，　（２．１２）　其中Ⅳ表示求解方程（２．１１）要计算的内积数量．　证明　要证明（２．１２），只需估计出计算（　ｒ，，，Ａｗ　）和（Ｗ　ｒ，ｒ，Ｙ　）的计算量．由（２．１０）可知　Ⅳ＝∑ｄｉｍ　ＷＫｄｉｍ　一　＋∑ｄｉｍ　～（ｎ＋１）　“　注：如果采用全投影算法求近似解，计算内积需要计算次数是　，计算量显然高于截断投影算法．　３误差分析　以下估计误差ｌＩ鼋　一　ｌ１．为此，假设Ｈｒ（０＜ｒ＜∞）是　的线性赋范子空间，且　＿Ｉ厂ｌＩ　＝ＩＩ川＋ｌ　ｌＤｆｌｌ，Ｖ，　这里Ｄ　：∥一Ｘ是线性算子．假设　

第６期　罗兴钧，李玉娟，李繁春，等截断策略下正则化参数的后验选择方法　３　（Ｈ　）存在常数ｃ　三１使得Ｊｌ（，一Ｐ　）ｌＩ　ｃ　，　（日：）存在常数　１使得ｌ　ｌＡ　Ｉ１　＋ｌ　ＩＡ　ｌＩ　＋ＩＩ（Ｄ　Ａ）　Ｉｌ　，　以下先估计误差Ｉ　ｌ一　ｌ１．　引理２假设条件（　。），（Ｈ２）成立，则　ｌＩ　Ａ—Ａ　Ｉｌ　Ｃ。（ｎ＋１）ｔｘ…　，　（３．１）　其中，ｃ１：＝２ｃ　２　．　证明　由（２．７）可知　Ａ—Ａ　＝Ｐ　ＡＰ　一∑（Ｐ　一Ｐ　）ＡＰ　一　：　‘∈Ｚｎ＋１　∑（Ｐ　—Ｐ　）Ａ（Ｐ　一Ｐｎ－ｉ）＝∑Ｐｉ（，一Ｐ　）４（，一Ｐ，￣－ｉ）Ｐ　（３．２）　由条件（Ｈ　），（　）及（３．２）可知　ｌＩ　一　Ｉ　ｌ∑ｌ＝ｌ　Ｉ，一Ｐ　Ｉ　ｌＩｌ　ａ（１一Ｐ…）ｌ　ｉ∑Ｉｌ，一Ｐ　（１　ｌａ（Ｉ—Ｐｎ－ｉ）ｌＩ　＋Ｉｌ　Ｄ，ａ（１～Ｐ，￣－ｉ）ｌＩ…）＝　Ｉ　∑Ｉｌ，一Ｐ　Ｉ　Ｉ（１　ｌａ（Ｉ—Ｐｎ－ｉ）ｌ１卜　＋ｌｌ（，一Ｐｎ－ｉ）（Ｄ　Ａ）　ＩＩ…）曼　２ｃ；　∑　吖“　吖　ｄ　Ｃ１　ｎ／ｘＩ，　（３．３）　其中，ｃ　：＝２ｃ２　．注意到　Ａ—Ａ　＝（，一Ｐ　）Ａ＋Ｐ　４（，一Ｐ　）＋／４　一　，　（３．４）　由（３．３）及条件（Ｈ　），（Ｈ２）可知　Ｉ　ｌＡ　一Ａ　ｌ　ｌ２ｙＣ　ｒｌＸ　＋ｃｌｎｔｘ…，ｄ　ｃｌ（凡＋１）　Ｉ，　（３．５）　以下证明要用到熟悉的不等式　］　ｌｌ（ｏｌ，＋　ｌ　，ｌ１（　，＋Ａ　＿　Ｉ（３．６）　引理３假设条件（Ｈ。），（　）成立，０＜ｃ。＜１，若ｎ满足　（　＋１）　…／ｄ　，　（３．７）　Ｃ１　则　ｊ＋　是可逆的，且　ｌ　ｌ¨　｝１　・　（３．８）　证明　由于　，＋　＝　，＋Ａ　一　＋　＝（　，＋Ａ　）［，＋（　，＋Ａ　）　（　一Ａ　）］，　（３．９）　由（３．３），（３．８）和（３．９）可知　（ｏｉｌ＋Ａ，　）　（Ａ　一２４　）　吉ｃ　≤ｃ。＜　（３．１０）　结合（３．３），（３．９）和（３．１ｏ）可得Ｉ　Ｊ（　，＋　）　Ｉ　ｆｌｌ（　，＋Ａ　）　ｌＩ　１一Ｉｌ（　，＋Ａ　）　（Ａ　一　）　一（１二＜一三三　一ｃｏ）　，以下估计　Ｊ　卜４……“　　１十　误差ＩＩ嚣　一　ｌｌ，为此，引入　：＝（ｃｄ＋Ａ）～Ｙ，Ｘ～ｎ：＝（　，＋　）～Ｐ　Ｙ　（３．Ｉ　Ｉ）　定理４假设条件（Ｈ　），（　）成立，若ｒｌ，满足（３．７），则　童：　一　１ｌ≤ｌＩ　一　Ｉｌ＋　＋　，　（３．１２）　其中，　…ｔ　ｃ　｝　

４　赣南师范学院学报　２０１０正　证明易知Ｘ～ｎ　一　＝Ｘ　ｎ　一　＋元：一　＋　一　，结合（２．４），（３．８）得　ＩＩ元：　一面：Ｉ　ＩＩＩ（　，＋　）　Ｐ　Ｉ　ＩＩ　Ｉｙ　一　ＩＩ　，　（３．１３）　由（３．１　１）得　：一　＝（ａｌ＋Ａ　）一　Ｐ　Ｙ一（　，＋Ａ）一。Ｙ：　（ａＩ＋Ａ　）一　（Ｐ　一Ｉ）ａｘ　＋（ａＩ＋Ａｎ）一　（Ａ—Ａ　）（ａＩ＋Ａ）一　Ａｘ　，　（３．１４）　由假设（　）以及关系式（２．３），（３．１），（３．６），（３．１４）得　面：一　“－－≤　竺　ｙ　＋　ｃ　－，　ｃｌｙ　。，　（３．１５）　（ｎ＋１）　＋　丁　结合（３．１４）与（３．１５）可知结论成立．　４后验参数选择方法　数值求解方程（２．８），需要给出正则化参数．正则化参数的选择很重要，也是难点．受文献［１０］的影响，　但又区别于文献［１０］，献文［１０］采用的是Ｍｏｒｏｚｏｖ偏差原理，缺陷是近似解的收敛率不饱和．以下给出修正　的正则化参数后验选择方法，确保近似解收敛率达到最优．为此，引入记号　（　）：＝　（　，＋Ａ）Ｉ１，Ｒ　（　）：＝　（ａｌ＋　）～，△（　）：＝Ｒ　（　）ｙ，△：（　）：＝Ｒ：（　）Ｐ　Ｙ　．　以下给出改进后的后验参数选择算法：　（ｉ）假定（Ｈ　），（Ｈ２）成立；　㈤擞　㈣迭代　（ａ）　＝　＝ｎｏｑ　，　字　南　：＝一｛　（ｎ＋２）　ｍｉｎ｛Ｌ　Ｃ６，．Ｃｏ　｝，　１　Ｊ　）　［　＋　・　（４．１）　（６）确定离散层ｎ＝ｎ（　，６），使得　（ｃ）计算Ｘ～　ｎｍ　＝（　，＋Ａ　）～Ｐ　Ｙ　，直至０　实际上△：（　）＝　ｌＩ△：（　）Ｊ　Ｉ．　（４．２）　（　）（Ａ　Ｘ　ｎ　一Ｐ　ｙ　）．以下将证明采用算法（４．１）一（４．２）选取的参数　，近似解收敛率　达到最优．　引理５　假设　满足（２．３），条件（Ｈ　）和（Ｈ２）成立，ｎ满足（４．１），则有　ＩＩ△　（　）一△（ａ）Ｉ　Ｉ和　ＩＩ△（　）ｌ　ｌ（ｃ　＋７　）６，　（４．３）　（４．４）　ｐａ　，　这　：　ｍａｘ｛　及（ｍ　（　）一　，ｃｓ）・　＋　】Ｉ　Ｉａ　ＩＩ　Ｉ　ＩＩ　Ｉ证明　容易得到△：（　）～△（仅）＝　（　）Ｐｎ（ｙ　一），）＋ｍ　（仅）（Ｐ　一Ｉ）ｙ＋（　（０【）一　（　））ｙ，以　（　））），：　（ａＩ＋Ａ　）　（Ａ—　）（ａＩ＋　）　Ｙ＋　（ａｌ＋　）＿２（　—　）（　，＋Ａ）＿。Ｙ，于是，　由（２．３）＇（３．１），（３．６）和（３．８）得到ＩＩ（毗：（　）一｛ｙ｝　（　ｙ　Ｉｌ＜［　ｃ。（ｎ＋１）　，这里，ｃ，：＝【　＋　Ａ）Ｉ２Ａ　＋　］ｃ　．结合以上不等式，有Ｉ　Ｉａ￣（　）一△（　）Ｉ　ｌ（ｃ　＋　ｐａ　．　＋ｃ，（凡＋１）　…　Ｉ　Ｐ　ｓｕｐ　（Ｉ　＋ｔ）－２ｔ　－＿＿　・下证（４・４）．显然ＩＩ　ａ（　ｌ　＝ｌ　ＩＩ　，＋　

第６期　罗兴钧，李玉娟，李繁春，等截断策略下正则化参数的后验选择方法　５　引理６假设　＝　及ｎ＝ｎ（　，　是依据算法（４．１）一（４．２）选择的，则存在正数ｄ。，ｄ　，使得　ｄｌ８≤Ｉｌ△（　）ｌｌ　ｄ２８　（４．５）　证明　显然ＩＩ△（　）ＩＩ　ＩＩ△　（　）一△（　）ｌＩ＋ｌｌ△：（０５　ｌｌＩ由（４．２）及（４．３）可知【ｌ△（　）Ｉ　ｄ２ｌ８，其　＝ｌ　２ｌ　（ＯｔＮ，＋　中，ｄ：：＝ｃ　＋ｄ＋１．以下证明（４．４）左边不等式．假设Ｅ　是算子Ａ的谱集，则Ｉｌ△（　）　）一　Ａ　ＩＩ　＝　（　）　ｄ（Ｅ　，　）三：ｇ　ＩＩ△（　—ｔ）Ｉ　，也就是有　Ｉ１Ｉ　Ａ（　）ｌ　ｌｑ　ｌｌ△（Ｏｔ　）Ｉ１．　（４．６）　于是有ＩＩ△（Ｏ／Ｎ）ＩＩ　ｑ　Ｉ　ＩＡ（　川）ｌ　ｑ（１ＩＩ△　（Ｏ／　）ｌｌ—Ｉｌ△　（Ｏｔ　）一△（　）Ｉ１）　ｄｌ　其中，ｄ。：＝（ｄ一　）ｇ　．　定理７　设　满足（２．３），条件（Ｈ。），（Ｈ２）满足，Ｏ／＝Ｏ／　及ｎ＝ｎ（　，８）是按（４．１）一（４．２）选取的，　则对于　Ｅ［０，１］有Ｉｌ嚣　一　Ｉｌ　Ｄ（６　）．　证明　由定理４可知，对任意　＝Ｏ／　以及ｎ＝ｎ（ｏｔ　，８），均有　：一一　Ｉ　ｌｌ　一　ｌＩｌ＋　＋　＋　，　Ｏ／　（４．７）　其中，ｃ５：＝　一十Ｃａ，由（４．３）及（４．４）可知ｌ１△：（　）Ｉ　ｌ１　）６，Ｉ１△：（　）一△（　）ｌｌ＋ｌ】△（　）Ｉ　ｐ　＋（ｃｌ　＋　）６≥　ＩＩ△（　）　Ｉ　—　ＩＩＩ△　（　）　一△（　）　ＩＩ　一　（ｃ　＋　）＞０．于是　≥　于是ｐ　¨　ＩＩ／ｘ￣（　）　ＩＩ　一　（ｃ　＋　）　１　１　（ｄｔ一２（ｃ　＋　））６＝ｃ　６这里，ｃ　：　ｑｄ一（２＋ｇ）（ｃ　＋　（　）　６　，从而　鱼　（卫）　６　．　（４．８）　利用能量不等式　得到　Ｉ　Ｉ一　ＩＩ＝ＩＩ毗（　）Ａ　ＩＩ＝ＩＩ（　（ａＮ）　）　２　ＩＩ（ｍ（ＯｔＮ）Ａ）”　一　（　）　ｌＩ　卜　（　）　ＩＩ奇ＩＩ　ｍ　（ａ　）　ＩＩ　１　．　（４．９）　２　Ｉｌ△（　Ⅳ）ｌｌ　ｐ　ｓ　２６　由（４．７），（４．８）以及（４．９）可知结论成立．　５数值例子　这一节，我们给出一个数值例子来说明以上算法的有效性．考虑积分方程（２．１），其中　（　，ｔ）＝ｓｔ，（ｓ，　ｔ）ｅ（０，１）×（０，１），显然，积分方程（２．１）中对应于右端数据ｙ（　）　１　ｆ的精确解是　１　，易知，　＝Ａ∞，　∞＝１，　＝１．因此，从理论上可以知道最优收敛率可以达到０（８ｆ）．以下结果是采用如下多尺度小波基底通　过ＭＡＴＬＡＢ计算所得．其中　的基函数为　。。（ｔ）＝１，　。　（ｔ）＝　（２ｔ一１），ｔ　Ｅ［０，１］．Ｗ　的基函数为　∞　。ｃ　：一１－６ｔ—　，　ｔ　ｅ　［Ｏ１／２　］，’，。／２，．ｃ　－ｃ　＝｛　三　－一４３ｔ），，　ｅＥ　［Ｏ／　，２１／，２　］．，　ｅ［Ｏ　，　１／２　…　一　子空间Ｗｉ＝ｓｐａｎ｛　：　＝０，１，２，…，２　一１｝，其基函数由如下公式生成　）ｆ　Ｌ　（２　），　∈［０，１／２］，　：０，１，２，…，２　一１　０　，ｔ∈ｌ　１／２，１　Ｊ．　～㈩　’，　，　，

６　赣南师范学院学报　２０１０年　为计算方便，取ｙ　（￡）＝ｙ（ｆ）＋　×ｒａｎｄ（ｔ）作为扰动后的右端数据，实验中参数见表１：　ａ０：１，ｑ＝０．９５，。４＝１／２，ｒ＝２ｍ＝１００，Ｙ＝１，Ｐ＝１　，表１　实验中参数选取表　表中结果表明，此时最优收敛率是０（　１）与理论分析相吻合．表明算法的有效性．　，参考文献：　［１］Ｔｉｋｈ。ｎ０Ｖ　Ａ　Ｈ，Ａｒｅｎｓｉｎ　Ｖ　Ｙ．Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｉｌｌ—ｐｃ）ｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：ｗｉｌ。ｙ，１９７７．　．［２］Ｔａｕｔｅｎｈａｈｎ．ｕ．０ｎ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈ。ｄ。ｆ　ＬａｖｒｅｎｔｉｅＶ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｎ。ｎｌｉｎｅａｒ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］ｉｎｖｅＩｓｅ　Ｐｍｂｌｅｍｓ，２００２，１８：１９１—２０７　［３］Ｈ・ｗ．Ｅｎｇｌ，Ｍａｒｔｉｎ　Ｈａｎｋｅ，Ａｎｄｒｅａｓ　Ｎｅｕｂａｕｅｒ，Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉ。ｎ。ｆｉｎｖｅｒｓ　ｐｍｂｌｅｍｓ［Ｍ］．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｋ１ｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｊｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅ坞２０００．　．［４］Ｚ　Ｃｈｅｎ，Ｃ．Ａ．Ｍｉｃｃｈｅｌｌｉ，Ｙ．Ｘｕ．Ｔｈｅ　ＰｅＩｒｎＶ—Ｇａｌｅｒｋｉｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｓｅｃ。ｎｄ　ｋｉｎｄ　ｉｎｔ。ｇｒａｌ。ｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］ＩｌＩ：ＭｕｈｉｗａｖｅＩｅｔ　ｓｃｈｅｍｅ．Ａｄｖ　．Ｍａｔｈ．，１９９７，７：１９９—２３３．　［５】ｚ・Ｃｈｅｎ。Ｃ．Ａ．Ｍｉｅｃｈｅｌｌｉ，Ｙ．Ｘｕ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｗａｖｅｌｅｔ　Ｐｅｔｒｏｖ—Ｇａｌｅｒｋｉｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．Ａｄｖ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｍａｌｈ．，２００２。１６：１—２８．　．［６］Ｒａｊａｎ，Ｍ・Ｐ・Ａ　ｐｏｓｔｅｒｉｏｒｉ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｃｈｏｉｃｅ　ｗｉｔｈ　ａｎ　ｅｆｆｃｉｅｎｔ　ｄｉｓｃｒｅｈｚａｔｉｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｓ０Ｉｖｉ“ｇⅢ一ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００８，２０４（２　Ｊ：８９１～９０４．　［７］Ｚｈｏｎｇｙｉ“ｇ　Ｃｈｅｎ，ＹｕｅｓｈｅｎｇＸｔｌ　ＴＨｏｎｇｑｉ　Ｙａｎｇ．Ｆａｓｔ　ｃ。ｌｌｏｃａｔｉ。ｎｍｅｔｈ。ｄｓｆｏｒ　ｓ。Ｍｎｇｉｌｌ～ｐｏｓｅｄｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａ【ｉ。ｎｓ。ｆｔｈｅｒｓｔ　ｋｉｎｄ［Ｊ］Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ．　．２００８，２４（６）：０６５００７．　［８］Ｓ・Ｇ・Ｓｏｌｏｄｋｙ．Ｏｎ　ｑｕａｓｉ—ｏｐｔｉｍａｌ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ。ｐｅｒａｔｏｒ　ｅｑｕａｔｉ０ｎｓ　Ｏｆ　ｔｈｅｒｓｔ　ｋｉｎｄ［Ｊ］Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ，２００５，２１：　．１４７３—１４８５．　［９］Ｓ・Ｖ－ＰｅｒｅｖｅｒｚｅｖＩＥ．Ｓｅｈｏｅｋ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ａｄａｐｔｉＶｅ　ｓｅｌｅｃｔｉ０ｎ　０ｆｔｈ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｉｎ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　Ｏｆ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］ＳｌＡＭ　Ｊ　Ｎｕｍｅｒ．Ａｎａ１．，２００５。　．４３：２０６０—２０７６．　［１Ｏ］Ｐ．Ｍａａｓｓ，Ｓ．Ｖ．ＰｅｒｅＶｅｒｚｅｖ。Ｒ．Ｒａｍｌａｕ，ｅｔ　ａ１．Ａ｜ｌ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｄｉｓｅｒｅｔｉｚａｔｉ。ｎ　ｆｏｒ　Ｔｉｋｈｏｎ０ｖ　ＰｈｉＵｉｐｓ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ａ　ｐ０ｓｔｅｒｉ０ｒｉ　ｐａｍｍｅｔｅｒ　ｓｅｌｅｃｔｉ０ｎ　［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒ．Ｍａｔｈ．，２００１。８７：４８５—５０２．　［１　１］ＬｕｏＸｉｎｇｊｕｎ．Ｆａｓｔ　ｍｕｈｉｌｅｖｅｌ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ．Ｍａｔｈ．Ｊ２００８，２４　ｆ　１）：１—９．　［１２］Ｌｕ。Ｘｉｎｇｊｕｎ，Ｃｈｅｎ　Ｚ　Ｙ．ＭｕｌｔｉｌｅＶｅｌ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｓ。ｌｖｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｌｌ—ｐ。ｓｅｄ　ｐｒ０ｂｌｅｍｓ［Ｊ］Ｎｕｍｅ　ｒ．Ｍａｔｈ．Ｊ．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ。２００５。１４　．．（３）：２４４—２５１．　［１３］Ｓ・Ｖ．ＰｅｒｅｖｅｒｚｅｖＳ．Ｇ．Ｓｏｌｏｄｋｙ．Ｏｎ　０ｎｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｄｉｓｅｒｅｔｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｌａｖｒｅｎｔ＂ｅｖ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］Ｕｋｍｉｎｉａｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ１　ｊｏｕｒｎａｌ。１９９６，４８　．（２）：２３９—２４７．　Ａ　Ｐｏｓｔｅｒｉｏｒｉ　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　Ｃｈｏｉｃｅ　Ｓｔｒａｔｅｇｙ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｔｒｕｎｃａｔｅｄ　Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ＬＵＯ　Ｘｉｎｇ－ｊｕｎ　，ＬＩ　Ｙｕ－ｊｕａｎ　，ＬＩ　Ｆａｎ　ｃｈｕｎ　，ＬＩＵ　Ｙａｎｇ　ｆ　１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇａｎｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ；　２－Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＢａｓｉｃ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｍｉｎｉｓｔｒｙ，Ｊｉａｎｇｘｉ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＡｐｐｌｉｅｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＧａｎｚｈｏＭ　３４１０００。Ｃｈｉｎａ｝　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｆａｓｔ　ｔｒｕｎｃａｔｅｄ　ＬａｖｒｅｎｔｉｅＶ　ＩＴ／ｅｔｈ。ｄ　ｉｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｌｌ—Ｐ。ｓｅｄ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　—ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｗｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｐｒｉｏｒｉ　ｅｒｒｏｒ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ａｎｄ　ａ　ｎｅｗ　ｐｏｓｔｅｒｉｏｆｉ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｃｈｏｉｃｅ　ｓｔｒａｔｅｇｙ．　Ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｃｏｎｖａｇｅｎｃｅ　ｒａｔｅｂｕｔ　１ｅｓｓ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｉｎｎｅｒ　，　ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｃａｃｕｌａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｌａｖｒｅｎｔｉｅｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ；ｔｒｕｎｃａｔｅｄ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ；ａ　ｐｏｓｔｅｒｉｏｒｉ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｃｈｏｉｃｅ　ｓｔｒａｔｅｇｙ