数学 {数学符号,表达式,等式,恒等式,方程,变量,多项式,方程的等效变换}

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数学 {数学符号,表达式,等式,恒等式,方程,变量,多项式,方程的等效变换}

数学 {数学符号,表达式,等式,方程,变量,多项式,方程的等效变换}, @LOC_COUNTER=6

数学符号

定义

用于表达数学的最小单位, 你在数学里看到的一切, 都是由数学符号组成的;

数学符号的分类:
1 常数;
. 如 123 , π , e , i = − 1 123, \pi, e, i=\sqrt{-1} 123,π,e,i=−1 ​, 也可用 a , b , c a,b,c a,b,c来代指;
2 变量;
. 用 x , y , z x,y,z x,y,z来表示, 代指某些数学对象(给定集合中的任意元素);
3 函数;
. {自定义函数(用 f , g , h f,g,h f,g,h来表示(如 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2)), 系统函数(如 s i n ( x ) , l o g a ( x ) sin(x), log_a(x) sin(x),loga​(x))};
4 集合;
. 系统集合: {N(自然数), Z(整数), Q(有理数), R(实数), C(复数)};
. 集合操作: { ∈ , ⊂ \in, \subset ∈,⊂};
5 逻辑;
. { ∀ , ∃ , ⟺ \forall, \exists, \iff ∀,∃,⟺};
6 运算;
. {加减乘除, 根号, 取幂, 极限, 微积分, …};
7 标点;
. {括号(表示强优先级)};
8 关系;
. {等号不等号, 大于小于};

数学表达式

定义

不包含关系符号(如 = , ≠ , > , < =,\neq,>,< =,=,>,<)的数学符号的组合;

比如 1 + 2 , 3 x , f ( x ) + 5 1 + 2, \ 3x, \ f(x) + 5 1+2, 3x, f(x)+5;

相关术语

{算式, 多项式, 代数式, 解析式} @Mark_2

{算式, 多项式, 代数式, 解析式} 都属于数学表达式的子集;
. 他们依次属于包含关系: 算式 ⊂ \subset ⊂ 多项式 ⊂ \subset ⊂ 代数式 ⊂ \subset ⊂ 解析式 ⊂ \subset ⊂ 数学表达式; 换句话说, 算式属于特殊的{多项式/代数式}, 多项式属于特殊的代数式;

@DELIMITER

等式

定义

形如: 表达式 1 = 表达式 2 表达式1 = 表达式2 表达式1=表达式2;

性质

分类

恒等式: 在任何条件下都成立的等式; 比如2 = 2;

矛盾式: 也称之为不等式; 比如2 = 3是错误的 即矛盾式 等价于2 != 3;
. 换句话说, 一个等式 可能为真 可能为假;

方程式: 包含未知数的等式;

相关知识

恒等式: 参见@Mark_0;

–

方程式: 参见@Mark_1;

恒等式 @Mark_0

定义

在任何条件下都成立的等式.

示例

二项式定理

( a + b ) n = ∑ i = 0 n C n i a i b n − i n ∈ N + \displaystyle (a + b) ^ n = \sum_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n-i} \quad n \in N^+ (a+b)n=i=0∑n​Cni​aibn−in∈N+.

对于 a − b a-b a−b的情况, 可以变成 ( a + ( − b ) ) n (a + (-b))^n (a+(−b))n的形式.

当 n = 2 n=2 n=2时, 此等式又称为和平方; 当 n = 3 n=3 n=3时 称为和立方;

–

平方差

a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) a2−b2=(a−b)(a+b).

–

立方和

a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ∓ a b + b 2 ) a^3 \pm b^3 = (a \pm b) (a^2 \mp ab + b^2) a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2).

{变量,未知数}

定义

通常使用 x , y , z x,y,z x,y,z来标识, 本质上 {变量,未知数}都是表示不确定的量, 但在不同情况下 稍有不同;

1 在方程里, x x x称为未知数.
. 如对于 x 2 = 4 x^2 = 4 x2=4中, x x x并不能说是变量, 因为他只可以取 ± 2 \pm 2 ±2.
2 在表达式中, x x x称为变量.
. 如在 f ( x ) = 2 x , x ∈ N f(x)=2x, \ \ x \in N f(x)=2x,  x∈N这个表达式中, x x x可以取给定集合里的任意元素, 他不受限制 可以任意变化;

算式

定义

根据@Mark_2, 算式属于数学表达式的一种, 他是由: {常数, 变量, 四则运算}组成;

比如 2 x + 3 2x + 3 2x+3就是一个算式;

多项式(又称整式)

定义

根据@Mark_2, 多项式属于数学表达式的一种, 他比算式多了一个整数幂操作, 即他是由: {常数, 变量, 四则运算, N次幂}组成;

比如 2 x 2 + 3 2x^2 + 3 2x2+3就是一个多项式;

任意多项式由若干个单项式的相加组合, 即 多项式 = ∑ 单项式 \text{多项式} = \sum \text{单项式} 多项式=∑单项式;
. 单项式: 假如一个多项式由 x , y , z x,y,z x,y,z三个变量组成, 则多项式的每一项(即单项式) 都是形如: A x n 1 y n 2 z n 3 A x^{n1} y^{n2} z^{n3} Axn1yn2zn3的形式(其中A为常数, n 1 , n 2 , n 3 ∈ N n1,n2,n3 \in N n1,n2,n3∈N);

代数式

定义

根据@Mark_2, 代数式属于数学表达式的一种, 他比多项式多了{有理数幂}操作, 即他是由: {常数, 变量, 四则运算, 有理数幂}组成;
. 有理数幂包含了两个操作: { x − 1 x^{-1} x−1(即此时变量成为了分母(这是多项式所不允许的), x 1 / 3 x^{1/3} x1/3(即变量可以开方根(这也是多项式不允许的)};

相关术语

{有理式, 无理式, 整式, 分式}

有理式: 不包含变量的开方根操作, 即 x n , n ∈ Z x^n, n \in Z xn,n∈Z (如 x 2 , x − 2 x^2, x^{-2} x2,x−2都是有理式);

无理式: 包含变量的开方根, 即 x a x^a xa 其中 a a a一定是有分母的(如 x \sqrt{x} x ​);

有理式分为: {整式(即多项式), 分式};
. 因为有理式是 x n , n ∈ Z x^n, n \in Z xn,n∈Z; 当 n ≥ 0 n \geq 0 n≥0时 为整式, 当 n < 0 n < 0 n<0时 为分式; ( x 2 x^2 x2是多项式, 而 1 x 3 \displaystyle \frac{1}{x^3} x31​为分式)

@DELIMITER

方程 @Mark_1

定义

方程有一些概念:

未知数集合X
. 自己要主动明确说明未知数有哪些; (X是个集合);
. . 比如规定方程的未知数集合为X = {x,y,z}, 则该方程一定可以写成 f ( x , y , z ) = g ( x , y , z ) f(x,y,z) = g(x,y,z) f(x,y,z)=g(x,y,z)的形式 (两个多元函数);
. 未知数不一定出现在方程里; (比如规定方程的未知数是X = {x}, 方程为 0 = 0 0=0 0=0, 这是可以的); 但方程里的未知数 必须出现在X你 (比如方程2x = 3y, 那么X至少包含x,y两个未知数);
. 2个未知数的类型 不一定相同; 比如X = {x,y}, x是实数 而y是矩阵, 这是可以的;

定义域D
. 自己要主动明确说明: 每个未知数的定义域是什么; (D是个集合);
. 比如方程 x = y x=y x=y, 规定定义域为 x ≤ 0 , y ≥ 0 x \leq 0, y \geq 0 x≤0,y≥0, 则方程的解为{x=0, y=0};
. 定义域里面 包含了未知数集合, 因为定义域的形式是: x ∈ D x , y ∈ D y , . . . x \in D_x, y \in D_y, ... x∈Dx​,y∈Dy​,..., 他一定要包含每个X里面的未知数; (因此, 两个定义域相同 一定说明他们的未知数集合X也是相同的);

解集
. 在定义域内 满足该等式的未知量取值; 可能为空, 可能为有限个, 也可能为无限个;

值类型
. 方程 f ( . . ) = g ( . . ) f(..) = g(..) f(..)=g(..)中, f ( . . ) f(..) f(..)返回值的类型 (等于 g ( . . ) g(..) g(..)的返回值类型);
. . 如果 f , g f,g f,g的返回值类型都不同, 那么 f ( . . ) = g ( . . ) f(..) = g(..) f(..)=g(..)就不能称之为方程; 因为中间是 = = =等号 即他俩要比较大小关系, 当然只有属于同一数学类型的两个对象 才可以比较大小;
. 比如方程为 2 x = 5 2x = 5 2x=5, 因为5是实数 所以该方程的值类型为实数 (不用管左侧的 2 x 2x 2x, x x x的定义域 也一定是实数集);
. 比如方程为 A x = . . . Ax = ... Ax=... (E为矩阵, x定义域为实数), 那么该方程的值类型为矩阵;

值域
. 因为方程是形如 f ( x , y , . . . ) = g ( x , y , . . . ) f(x,y,...) = g(x,y,...) f(x,y,...)=g(x,y,...)的形式, 当未知量 x , y , . . . ∈ D x,y,... \in D x,y,...∈D定义域时, 得到对应的 f , g f,g f,g函数的值域 记作 R f , R g R_f, R_g Rf​,Rg​, 则 R f ∪ R g R_f \cup R_g Rf​∪Rg​称为该方程的值域;

项
. 比如方程 x y + 2 x = 3 y − 4 xy + 2x = 3y - 4 xy+2x=3y−4, 其中有4项: xy, 2x, 3y, -4;
. 方程两侧, 就是若干项的相加减;

相关术语

元

方程中未知数的个数, 称为元;
. 比如: 一元方程 即形如: f ( x ) = g ( x ) f(x) = g(x) f(x)=g(x);

@DELIMITER;

{等式函数, 布尔等式函数}; MARK: @LOC_5;

对于方程 f ( X ) = g ( X ) f(X) = g(X) f(X)=g(X) (未知数为X, 定义域为D);

等式函数: 对于任意 X 0 ∈ D X_0 \in D X0​∈D 将 X 0 X_0 X0​代入方程里 得到 f ( X 0 ) = g ( X 0 ) f(X_0) = g(X_0) f(X0​)=g(X0​), 这个等式记作 E ( X 0 ) E(X_0) E(X0​), 因此 X 0 X_0 X0​就对应这个等式;
. 这个等式是恒等式 ⟺ \iff ⟺ X 0 X_0 X0​是个解, 否则就是矛盾式;
那么, 对应所有的定义域 D D D, 就得到了一个等式函数 E ( X ) E(X) E(X); (定义域为 D D D (和原方程定义域相同), 函数值为一个等式);

布尔等式函数 B ( X ) B(X) B(X): 根据等式函数 E ( X ) E(X) E(X), 如果为恒等式 返回true, 否则为矛盾式 返回false;
. 该函数的定义域仍然为 D D D, 值域为布尔值;

两个布尔等式函数 f , g f,g f,g相同 ⟺ \iff ⟺ ( D f = D g ) ∧ ( f ( x ) = g ( x ) , ∀ x ∈ D f ) (D_f = D_g) \land (f(x) = g(x), \forall x \in D_f) (Df​=Dg​)∧(f(x)=g(x),∀x∈Df​) (也就是函数相同的定义);

@DELIMITER;

方程相同; MARK: @LOC_4;

两个方程相同 的定义为: {定义域, 解集}是相同的; (定义域相同 ⟹ \implies ⟹ 未知数集合X是相同的)
. 值域可以不同; 比如方程x = x (未知数为x, 定义域为 R \mathbb R R) 值域为 R \mathbb R R, 该方程可以等效变换为0 = 0 (未知数为x, 定义域为 R \mathbb R R) 该方程的值域为 0 0 0; 虽然值域不同, 但这两个方程是相同的;
. 值类型可以不同; 比如方程0 = 0 (未知数为x, 定义域为 R \mathbb R R) 值类型为实数, 方程A = A (未知数为x, 定义域为 R \mathbb R R) (A表示某个矩阵) 值类型为矩阵; 虽然值类型不同, 但这2个方程是相同的;

方程相同的 计算式: 两方程相同 ⟺ \iff ⟺ 他俩的布尔等式函数相同; LINK: @LOC_5;

@DELIMITER;

隐式方程;

令未知量集合为{x1, x2, ..., xn}, 则 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 f(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 f(x1​,x2​,...,xn​)=0 称为隐式方程; (其中 f f f为多元函数), (也就是将未知数 全部放到左侧);
. 比如 x + y + 3 = 0 x + y + 3 = 0 x+y+3=0为隐式方程;

–

显式方程;

令未知量集合为{x1, x2, ..., xn}, 则 x 1 = f ( x 2 , . . . , x n ) x_1 = f(x_2, ..., x_n) x1​=f(x2​,...,xn​) 称为显式方程; (其中 f f f为多元函数), (也就是: 某一个未知数在左侧, 其他未知数都在右侧);
. 比如 y = x + 3 y = x + 3 y=x+3为显式方程;
其实显式方程 已经就是个函数了;

@DELIMITER

线性方程(又称一次方程) @Mark_3

A x + b = 0 Ax + b = 0 Ax+b=0为一元一次方程 ( f ( x ) = A x + b f(x) = Ax + b f(x)=Ax+b的图像, 在二维坐标系中 为一条直线);

A x + B y + c = 0 Ax + By+ c = 0 Ax+By+c=0为二元一次方程 ( f ( x ) = A x + B y + b f(x) = Ax +By+ b f(x)=Ax+By+b的图像, 在三维坐标系中 为一个平面);

n元一次方程, 为n维空间的超平面(即n维度空间中的, 维度为 n − 1 n-1 n−1的子空间);

@DELIMITER

方程组

由多个方程组成 (即解不再是只满足一个方程, 而是要满足多个方程);

@DELIMITER

{代数方程, 有理方程, 无理方程}

任意方程 A = B A = B A=B, 都可以化简为 A − B = 0 A - B = 0 A−B=0的形式, 因此任意方程 都可以形如 ? = 0 ? = 0 ?=0的形式, 根据 ? ? ?的分类, 若 ? ? ?是代数式, 则为代数方程; 若他是多项式 则为多项式方程; 以此类推;

@DELIMITER

{解析解, 数值解}

解析解
. 可以通过解析该方程来表达的解, 他是 有限次常见运算的组合;
. 最经典的, 一元二次方程的解 就是解析解;

数值解
. 使用数值分析方法, 可得到近似解; (比如 2 \sqrt{2} 2 ​ 无法求出其精确解, 就估算/近似为 1.414 1.414 1.414)

–

较复杂的方程可能会不存在解析解, 此时可以通过数值分析进行近似 可得到其数值解.

@DELIMITER

性质

显式方程 一定可以转换为隐式方程, 但反之不然;
. 显式方程y = f(x1,x2,...) 通过(等效变换–未知量变换) 得到g(x1,x2,...,y) = y - f(x1,x2,...) = 0 就是个隐式方程;
. 但隐式方程 比如 f ( x , y ) = x 2 + y 2 = 1 f(x,y) = x^2 + y^2 = 1 f(x,y)=x2+y2=1 就无法变成显式方程; 而隐式方程 x + y 2 = 1 x + y^2 = 1 x+y2=1 可以变成显式方程 x = 1 − y 2 x = 1 - y^2 x=1−y2;

@DELIMITER

方程 a , b a,b a,b: 定义域为 D a , D b D_a, D_b Da​,Db​, 解集为 R a , R b R_a, R_b Ra​,Rb​, 对应的布尔等式函数为 B a , B b B_a, B_b Ba​,Bb​ (定义域分别为 D a , D b D_a, D_b Da​,Db​);
方程 a , b a,b a,b相同 的定义为: ( D a = D b ) ∧ ( R a = R b ) (D_a = D_b) \land (R_a = R_b) (Da​=Db​)∧(Ra​=Rb​);
还有一个等价定义: ( B a = B b ) (B_a = B_b) (Ba​=Bb​);

@DELIMITER;

对于方程 f ( . . ) = g ( . . ) f(..) = g(..) f(..)=g(..) 定义域为 D D D;
. 当未知量取定义域里的某个值 x 0 x_0 x0​时, 此时将该值代入方程里替换掉未知量, 会得到 f 0 = g 0 f_0 = g_0 f0​=g0​;
. 如果 f 0 = g 0 f_0 = g_0 f0​=g0​ 是矛盾式 则说明 x 0 x_0 x0​不是解; 否则, x 0 x_0 x0​是一个解;
. 比如, 2 x = 3 y 2x = 3y 2x=3y (定义域为 x , y ∈ R x,y \in \mathbb R x,y∈R); 当未知量取x=1, y=2时 得到2 = 6 显然他是矛盾式 (即x=1, y=2不是解); 而当未知量取x=3, y=2时 得到6=6 显然他是恒等式 因此x=3, y=2是一个解;
. 因此, 对定义域里的每一个取值 都会得到一个形如 f i = g i f_i = g_i fi​=gi​的等式 (如果他是恒等式 则得到一个解; 否则是矛盾式 则不是解);

@DELIMITER

不定方程(又称丢番图方程)

定义

不定方程: 所有常数均为整数, 且解也均为整数的, 且任意单项式最多包含1个变量,的 多项式方程;
. 不定方程一定形如: a 1 ∗ x 1 b 1 + . . . + a n ∗ x n b n = A a_1 * x_1 ^{b_1} + ... + a_n * x_n ^{b_n} = A a1​∗x1b1​​+...+an​∗xnbn​​=A; 要注意几点:
. 1 a i , A a_i, A ai​,A这些常数 都必须是整数 (这和多项式的定义不同);
. 2 每一项 最多包含一个变量, 比如 2 x y 2xy 2xy这个单项式 是不允许的(这和多项式定义不同);
. 3 每个 x i x_i xi​的范围 一定是整数(这和多项式定义不同); 所以谈到有解, 一定是指有整数解;
. b i ∈ N + b_i \in N^+ bi​∈N+这是自然的, 从多项式的定义可知;
. 令 B = m a x ( b i ) B = max(b_i) B=max(bi​), 则该不定方程称为: n n n元 B B B次不定方程;

相关术语

一次不定方程

形如: a 1 ∗ x 1 + . . . + a n ∗ x n = A a_1*x_1 + ... + a_n*x_n = A a1​∗x1​+...+an​∗xn​=A;

其有解的充要条件是: g c d ( a 1 , . . . , a n ) ∣ A gcd(a_1, ..., a_n) \ | \ A gcd(a1​,...,an​) ∣ A;

–

当 n = 2 n = 2 n=2 即2个变量的情况时, 该方程为: 裴蜀方程, 参见126819431/ @Mark_0;

@DELIMITER

方程的等效变换

定义

方程1, 经过等效变换 后, 得到方程2, 且方程1和方程2 是相同的; (方程相同: LINK: @LOC_4);

等效变换分为2类: {未知量变换, 复合变换};

@DELIMITER

未知量变换:
设方程1为 f ( X ) = g ( X ) f(X) = g(X) f(X)=g(X), 定义域 D D D; 方程两侧同时加减乘除一个h(X) (关于未知数集合的函数, 定义域为D (这很重要, 定义域 与方程的定义域 是相同的) 值域为实数);
. 比如方程3x = x (定义域为 R \mathbb R R); 如果两侧同减去h(X)=x 变成了2x = 0 他和原方程是等价的; 可如果两侧同除以h(X)=x 变成了3 = 1 这就不是等价的 (原方程的解的x=0 而新方程是无解的);
假设方程的值类型为实数, 从等式函数的角度, 分析下 未知量变换需要满足哪些条件;
. 原方程的等式函数 E ( X ) E(X) E(X), 对于 X 0 X_0 X0​ 他的等式为 f ( X 0 ) = g ( X 0 ) f(X_0) = g(X_0) f(X0​)=g(X0​) (可能是恒等式 可能是矛盾式), 进行未知数变换后 不可以影响该等式的布尔值 (原来是恒等式 现在必须还得是恒等式);

{加/减}操作;
对于 X 0 X_0 X0​ 他的新等式为 f ( X 0 ) ± h ( X 0 ) = g ( X 0 ) ± h ( X 0 ) f(X_0) \pm h(X_0) = g(X_0) \pm h(X_0) f(X0​)±h(X0​)=g(X0​)±h(X0​), 因为 h ( X 0 ) h(X_0) h(X0​)是个标量, 从1维坐标系的角度看 两个实数 f ( X 0 ) , g ( X 0 ) f(X_0), g(X_0) f(X0​),g(X0​) 同加减一个标量 他俩的相对大小关系 不会变化;
因此, 加减操作 是等效的;

乘法操作;
因为 h ( X i ) h(X_i) h(Xi​)是个标量, 从1维坐标系的角度看 两个实数 f ( X i ) , g ( X i ) f(X_i), g(X_i) f(Xi​),g(Xi​) 同乘一个标量 他俩的相对大小关系 可能会变化的; (比如1 < 2 可是同乘0后 变成了0 = 0);
准确的说, 只有当 ( f ( X i ) ≠ g ( X i ) ) ∧ ( h ( X i ) = 0 ) (f(X_i) \neq g(X_i)) \land (h(X_i) = 0) (f(Xi​)=g(Xi​))∧(h(Xi​)=0)时, 会出错; 也就是 f ( X ) ∗ h ( X ) = g ( X ) ∗ h ( X ) f(X) * h(X) = g(X) * h(X) f(X)∗h(X)=g(X)∗h(X) 并不是等效于 原方程, 你需要保证 h ( X i ) ≠ 0 h(X_i) \neq 0 h(Xi​)=0;
因此, 乘法是不能直接等效变换的 (除非定义域里 不存在使得 h ( X ) = 0 h(X)=0 h(X)=0的情况); 但如果从解方程的角度 如果你等效变换的目的是为了解方程 (即求解), 那么可以进行如下操作:
. 令 D 0 ⊂ D D_0 \subset D D0​⊂D为: 所有使得 h ( X ) = 0 h(X) = 0 h(X)=0的取值; (即 ∀ X ∈ D 0 , h ( X ) = 0 \forall X \in D_0, h(X) = 0 ∀X∈D0​,h(X)=0);
. 对于要求所有 D 0 D_0 D0​里的解的情况, 一个个的代入原方程 f ( X ) = g ( X ) f(X) = g(X) f(X)=g(X)里, 看看有哪些解;
. 对于要求所有 D / D 0 D/D_0 D/D0​里的解的情况, 求解新方程 f ( X ) ∗ h ( X ) = g ( X ) ∗ h ( X ) f(X) * h(X) = g(X) * h(X) f(X)∗h(X)=g(X)∗h(X) (且定义域为 D / D 0 D/D_0 D/D0​, 这样保证了在定义域里 h ( X ) ≠ 0 h(X) \neq 0 h(X)=0);
. 比如方程 x = 1 x = 1 x=1 (定义域为 R \mathbb R R), 令 h ( X ) = x h(X) = x h(X)=x, 则 D 0 = { 0 } D_0 = \{0\} D0​={0}; (对于 D 0 D_0 D0​里, 没有解); (对于 D / D 0 D/D_0 D/D0​里, 新方程为 x 2 = x x^2 = x x2=x 解为 1 1 1);

除法操作;
跟乘法的情况一样, 当 h ( X ) = 0 h(X) = 0 h(X)=0时 发生了除0错误;
因此, 除法是不能直接等效变换的 (除非定义域里 不存在使得 h ( X ) = 0 h(X)=0 h(X)=0的情况); 但如果从解方程的角度 如果你等效变换的目的是为了解方程 (即求解), 那么可以进行如下操作:
. 令 D 0 ⊂ D D_0 \subset D D0​⊂D为: 所有使得 h ( X ) = 0 h(X) = 0 h(X)=0的取值; (即 ∀ X ∈ D 0 , h ( X ) = 0 \forall X \in D_0, h(X) = 0 ∀X∈D0​,h(X)=0);
. 对于要求所有 D 0 D_0 D0​里的解的情况, 一个个的代入原方程 f ( X ) = g ( X ) f(X) = g(X) f(X)=g(X)里, 看看有哪些解;
. 对于要求所有 D / D 0 D/D_0 D/D0​里的解的情况, 求解新方程 f ( X ) / h ( X ) = g ( X ) / h ( X ) f(X) / h(X) = g(X) / h(X) f(X)/h(X)=g(X)/h(X) (且定义域为 D / D 0 D/D_0 D/D0​, 这样保证了在定义域里 h ( X ) ≠ 0 h(X) \neq 0 h(X)=0);
. 比如方程 x 2 = x x^2 = x x2=x (定义域为 R \mathbb R R), 令 h ( X ) = x h(X) = x h(X)=x, 则 D 0 = { 0 } D_0 = \{0\} D0​={0}; (对于 D 0 D_0 D0​里, 0 0 0是个解); (对于 D / D 0 D/D_0 D/D0​里, 新方程为 x = 1 x = 1 x=1 解为 1 1 1), 因此0, 1是解;

@DELIMITER

复合函数变换:
设方程1为 f ( X ) = g ( X ) f(X) = g(X) f(X)=g(X), 定义域 D D D 值域为 R R R;
函数 h ( x ) h(x) h(x) 定义域为 D h D_h Dh​, 且在定义域上 为单射函数 ( h ( ) h() h()的自变量类型 与方程1的值类型是相同的);
如果 R ⊂ D h R \subset D_h R⊂Dh​, 则 h ( x ) h(x) h(x)函数为等效变换 (即方程 h ( f ( X ) ) = h ( g ( X ) ) h( f(X)) = h( g(X)) h(f(X))=h(g(X)) 与方程1相同);

证明:
从等式函数的角度, 对任意 X 0 ∈ D X_0 \in D X0​∈D 得到等式 f ( X 0 ) = g ( X 0 ) f(X_0) = g(X_0) f(X0​)=g(X0​) (他是{恒等式/矛盾式}), 经过复合函数后 变成了 h ( f ( X 0 ) ) = h ( g ( X 0 ) ) h( f(X_0)) = h( g(X_0)) h(f(X0​))=h(g(X0​)), 那么要保证 这个新等式 与 原等式 的布尔值一样 (要么都是恒等式 要么都是矛盾式, 否则解集就不同了);
. 只有当h(x)为单射时, 此时如果其定义域 D h D_h Dh​里的任意两个自变量取值 (如果相同 则函数值也相同, 即恒等式), (如果不同 则函数值一定不同, 即矛盾式);
. 这样就保证了, 任意 X 0 ∈ D X_0 \in D X0​∈D 他在原方程里的等式的布尔值 与在新方程里的等式的布尔值, 是一样的; 即解集是一样的;

性质

@DELIMITER

等效变换的复合函数变换 必须是单射函数;
. 比如方程x = 3 (令 D = R D = \mathbb R D=R,则值域 R = R R = \mathbb R R=R), 如果令 o p ( x ) = x 2 op(x) = x^2 op(x)=x2 且 D o = R D_o = \mathbb R Do​=R,虽然 R ⊂ D o R \subset D_o R⊂Do​, 但是由于 o p ( x ) op(x) op(x)不是单射函数, 所以方程 o p ( x ) = o p ( 3 ) op(x) = op(3) op(x)=op(3) 即 x 2 = 3 x^2 = 3 x2=3 与原方程 并不相同;
. 原方程的解为x=3, 而新方程的解为x={3, -3};
. 但如果令 D ≥ 0 D \geq 0 D≥0, 则值域 R ≥ 0 R \geq 0 R≥0; 令 o p ( x ) = x 2 op(x) = x^2 op(x)=x2 且 D o ≥ 0 D_o \geq 0 Do​≥0, 此时依然满足 R ⊂ D o R \subset D_o R⊂Do​, 而且 o p ( x ) op(x) op(x)在其定义域上 为单射函数, 故 o p ( x ) = o p ( 3 ) op(x) = op(3) op(x)=op(3) (即 x 2 = 3 x^2 = 3 x2=3) 与原方程是等价的;

@DELIMITER

@MARK_4

对于等式 A = B A = B A=B, 我们分析AB的类型;
. 首先, A|B一定是一个数学对象 (比如, 实数/矩阵/…), 且他俩是相同的类型 (A是实数 而B是矩阵, 这是不可能的); 他俩不仅类型相同, 还相等;
. . 当然, 相等这个概念, 他的定义 是要有其数学类型所定义的; (实数有其 = = =的定义, 矩阵也有其 = = =的定义, 因人而异的)
. 假如A|B的数学类型为 T T T, 若T支持左乘标量, 那么 A = B A=B A=B 与 k ∗ A = k ∗ B k*A = k*B k∗A=k∗B 是完全等价的 ( k k k可以等于0)
. . 但要注意, k ∗ A ≠ B ∗ k k*A \neq B * k k∗A=B∗k, 因为不支持右乘; 即便支持右乘 也不要这样写, 要规范 做相同的处理;
. . 为什么可以这样做呢? 他的本质是, 因为 A , B A,B A,B相等, 因此, 方程 A = B A=B A=B 可推出 A = A A=A A=A (或 B = B B=B B=B), 注意词语可推出, 而不是充要条件;
. . . 注意, 虽然 2 x = 0 2x = 0 2x=0的解是 x = 0 x=0 x=0, 而你变成 2 x = 2 x 2x = 2x 2x=2x后 解就变了, 因为他是个恒等式; 但这里不考虑解的问题, 因为讨论的是 操作 ∗ k *k ∗k的合法性;
. . 对于 A = A A=A A=A恒等式, 你要进行 ∗ k *k ∗k操作, 就相当于, 执行了 k ∗ A k * A k∗A; 因此, 已知A是一个合法对象, 你要保证 k ∗ A k*A k∗A操作之后 依然是一个合法对象;
. . k k k是任何标量都可以, 不可以是 ∞ \infty ∞ (也就是平时说的 / 0 /0 /0除零问题), 因为他不是标量 (标量是明确的一个常数);
. . 因此, 如果你要对方程 A = B A=B A=B 两侧同时执行某操作 o p op op, 即变成 o p ( A ) = o p ( B ) op(A) = op(B) op(A)=op(B); 你只要保证: o p ( A ) op(A) op(A)是合法的即可 (因为 o p ( B ) op(B) op(B)等价于 o p ( A ) op(A) op(A), AB两个对象是相等的);
. . 比如, 如果A是矩阵, 那么 o p ( A ) = A + k op(A) = A + k op(A)=A+k 这是不可以的, 因为矩阵不可以与标量相加;
. . 比如, A A A是 m ∗ n m*n m∗n的矩阵, 那么 o p ( A ) = C ∗ A op(A) = C * A op(A)=C∗A 其中 C C C为 k ∗ m k*m k∗m的矩阵, 这是合法的, 结果是一个 k ∗ n k*n k∗n的矩阵;
. . . 但是, 如果你写成: C ∗ A = B ∗ C C * A = B * C C∗A=B∗C 这就错了! 因为矩阵的乘法不具有交换律, 再说 从规范性角度也不对, 两侧必须做完全相同的处理 C ∗ A = C ∗ B C*A = C*B C∗A=C∗B;

例题

幂指函数 y = u v ( u > 0 ) y = u^v (u > 0) y=uv(u>0), 因为其函数值> 0, 故对于对数函数 ln ⁡ x \ln x lnx (其定义域为x > 0), 可以进行复合函数变换;
即 y = u v ( u > 0 ) y = u^v (u>0) y=uv(u>0) ⟺ \iff ⟺ ln ⁡ y = ln ⁡ u v ( u > 0 ) \ln y = \ln {u^v} (u>0) lny=lnuv(u>0);

@DELI;

x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x2+y2=1 (定义域为 x , y ∈ R x,y \in \mathbb R x,y∈R)
通过未知数变换的减法操作 (令 h ( X ) = x 2 h(X) = x^2 h(X)=x2), 得到 y 2 = 1 − x 2 y^2 = 1 - x^2 y2=1−x2 (他与原方程相同);
此时新方程的值域为 ≥ 0 \geq 0 ≥0, 通过复合函数操作 (令 h ( x ) = x h(x) = \sqrt{x} h(x)=x ​ 定义域为 ≥ 0 \geq 0 ≥0), 因为 R ⊂ D h R \subset D_h R⊂Dh​ 且 h ( x ) h(x) h(x)为单射, 所以可以进行操作, 得到 y 2 = 1 − x 2 \sqrt{ y^2} = \sqrt{ 1 - x^2} y2 ​=1−x2 ​;
. 注意, 根号不可以直接与平方抵消 (即 y 2 ≠ y \sqrt{y^2} \neq y y2 ​=y; LINK: [/?articleId=130472444]--[@LOC_0]), 他等于 ∣ y ∣ |y| ∣y∣ 而不是y;
. 即 ∣ y ∣ = 1 − x 2 |y| = \sqrt{ 1 - x^2} ∣y∣=1−x2 ​; (也可将他拆分开来, 即当 y ≥ 0 y \geq 0 y≥0时 方程为 y = 1 − x 2 y = \sqrt{1 - x^2} y=1−x2 ​; 否则 y < 0 y < 0 y<0时 方程为 − y = 1 − x 2 -y = \sqrt{1 - x^2} −y=1−x2 ​);

@DELIMITER

方程的拆分

定义

将定义域划分为若干子区域, 在子区域上 再单独研究方程;
. 比如 ∣ y ∣ = 2 ∣ x ∣ + 3 |y| = 2|x| + 3 ∣y∣=2∣x∣+3 (定义域为 x , y ∈ R x,y \in \mathbb R x,y∈R);
. 拆分1: (当 y ≥ 0 y \geq 0 y≥0时 得到 y = 2 ∣ x ∣ + 3 y = 2|x| + 3 y=2∣x∣+3), (否则 y < 0 y < 0 y<0 得到 − y = 2 ∣ x ∣ + 3 -y = 2|x| + 3 −y=2∣x∣+3);
. 拆分2: (当 x ≥ 0 x \geq 0 x≥0时 得到 ∣ y ∣ = 2 x + 3 |y| = 2x + 3 ∣y∣=2x+3), (否则 x < 0 x < 0 x<0 得到 y = 2 ( − x ) + 3 y = 2(-x) + 3 y=2(−x)+3);
. 拆分3: (当 x ≥ 0 , y ≥ 0 x \geq 0, y \geq 0 x≥0,y≥0时 得到 y = 2 x + 3 y = 2x + 3 y=2x+3), (当 x ≥ 0 , y < 0 x \geq 0, y < 0 x≥0,y<0 得到 − y = 2 x + 3 -y = 2x + 3 −y=2x+3), (当 x < 0 , y ≥ 0 x < 0, y \geq 0 x<0,y≥0时 得到 y = 2 ( − x ) + 3 y = 2(-x) + 3 y=2(−x)+3), (否则 x < 0 , y < 0 x < 0, y < 0 x<0,y<0 得到 − y = 2 ( − x ) + 3 -y = 2(-x) + 3 −y=2(−x)+3);

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