《函数的概念及其表示》教学设计

《函数的概念及其表示》教学设计

一、内容和内容解析

1.内容：函数的概念．

2.内容解析

函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具．在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用；在高等数学中，函数是基本数学对象；在实际应用中，函数是数学建模的重要基础．

学生在初中学习了函数概念，函数定义采用“变量说”．高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性．与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域，引入抽象符号（．

fx）函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x ,数集B中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是“每一个”和“唯一确定”．集合A，B及对应关系f是一个整体，函数是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念．

fx）（2）理解y（的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数．

（3）在由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中，培养学生的数学抽象素养．

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念．

（2）学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号 f 表示对应关系的必要性．

（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养．

三、教学问题诊断分析

学生在初中学习函数概念时，没有涉及自变量与函数值的取值范围，也不知道为何要研究变量的取值范围，这是教学中首先遇到的问题．教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较，让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性．

如何认识函数的对应关系，就成为了第二个教学问题．教学中，要让学生通过三个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系，通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应，由此抽象出函数的对应关系 f 的本质．

在对三个实例分析的基础上，学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性，但是如何在此基础上让学生进行归纳、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽象素养，成为第三个教学问题，这也是本节课的教学难点．教学中可以将三个实例各自得到的三个要素表格化，让学生从表格中抽象出函数要素及其表示，并在此基础上给出一般的函数概念．

在得出函数概念后，如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数，建立知识之间的联系，是第四个教学问题．教学中，除让学生按函数定义，仿照三个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外，还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习，也可以根据学生的学习状态适当增加一些题目供练习．

四、教学支持条件分析

本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念，会涉及函数值的计算、图象的运用及分析所得信息，因此可以借助于信息技术解决以上问题，以让学生有更多的时间用于观察与思考函数的基本要素和抽象概念上．

五、教学过程设计

引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x ,而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数，这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，x2你能用已有的函数知识判断y=x与y=是否相同吗？要解决些问题，就需要进一步学习x函数概念．

（一）函数概念的抽象

问题1：请同学们根据如下情境回答问题．

某高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．

（1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？

（2）如果有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？

（3）你认为如何表述S与t的对应关系才能更精确？

师生活动：教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点，并提醒学生先不要看教科书．

学生对问题（3）可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范．

设计意图：问题（1）是为了让学生回顾初中所学数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题；问题（2）是要激发认知冲突，发现其中的不严谨；问题（3）是为了让学生关注到 t 的变化范围，并尝试用精确的语言表述．

问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：

（1）你认为该怎样确定一个工人的每周的工资？

（2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d 的函数吗？

（3）你能仿照问题1中对S与t 的对应关系的精确表述，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表述吗？

追问：问题1和2中函数的对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

师生活动：学生阅读题目后，自主回答．

设计意图：问题（1）是引导学生使用不同表示方法，例如表1的形式：

表1

工作时间/天

所得工资/元

1

350

2

700

3

1 050

4

1 400

5

1 750

6

2 100

解析式w=350d ；等等．

问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力．

通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题．

问题3：图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．

（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I？

（2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗？

图1

师生活动：给学生适当时间阅读思考，有些学生可能认为 I 不是时间 t 的函数，对此可进行如下追问．

追问：（1）你能根据图1找到中午12时的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？

｛t | 0≤t≤24｝（2）对于数集A3中的任意一个值，你会用什么方法寻找此时对应的I值？

｛t | 0≤t≤24｝在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集A3中的任意一个值t，都有唯一确定的AQI的值与之对应，所以，我们可以根据初中所学的函数定义，得出I是t的函数，而且还可以断定I的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围．如果｛I | 0＜I＜150｝我们设I的取值范围是C，那么从图中可以确定，C3B3．这样，我们可以把I与t的对应关系描述为：

对于数集A3中的任一时刻t，按照图1中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应，因此I是t的函数．

设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的．实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射．为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点．这里，只要学生能够理解I是t的函数，并能够接受这种描述方式就可以了．

问题4：上述问题1到问题3中的函数有哪些共同特征？由此你概括出函数的本质特征

吗？

师生活动：给学生充分思考的时间，可以给出表2帮助学生思考，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程．

表2

问题情境

问题1

问题2

问题3

自变量的集合

A1｛t | 0≤t≤0.5｝

对应关系

S 350t

w 350d

或表1

图1

函数值所在集合

B1｛S| 0≤S≤175｝B2｛350， 700， 1 050，

1 400， 1 750， 2 100｝B3｛I| 0＜I＜150｝

函数值的集合

B1

B2

C（

3C3B3）

A2｛1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ｝A3｛t | 0≤t≤24｝

教师引导学生得出：

（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；

（2）都有一个对应关系；

（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．

在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系．然后给出函数的一般性定义，并解释函数的记号y（，xA．

fx）设计意图：让学生通过归纳三个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念．在此过程中，要突破“如何在三个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素)，用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点．

(二)函数概念的初步应用

问题5：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？

师生活动：在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习．

设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三要素．

（三）区间的概念

研究函数时常会用到区间的概念．

设 a，b 是两个实数，而且a＜b．我们规定：

（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；

（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a， b）；

（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a， b），（a，b］．

这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点．

这些区间的几何表示如表3 所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．

表3

符号

［a，b］

（a，b）

［a，b）

（a， b］

数轴表示

实数集R可以用区间表示为（－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．

如下表，我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，用区间分别表示为［a，＋∞），（a，＋∞），（－∞，b］，（－∞，b）．

区间

［a，＋∞）

（a，＋∞）

（－∞，b］

（－∞，b）

（四）函数的三要素

问题6：如何判断两个函数相等？问题１和问题２中函数的对应关系相同，你认为它们数轴表示

是同一函数吗？

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

两个函数如果仅有对应关系相同但定义域不相同，那么它们不是同一个函数．例如，前面的问题１和问题２中，尽管两个函数的对应关系都是 y = 350x，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R，而是R的真子集，因此它们与正比例函数 y = 350x（xR）也不是同一个函数．

22，sr，r，问题7：函数ut，t∈，与yx，x，，2是同一个函数吗？

虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数．

例1 下列函数中哪个函数与函数 y = x 是同一个函数？

2（x）（1）y；

（2）u3v3；

（3）yx2；

n2（4）m．

n师生活动：先由学生思考，之后教师示范（1）：

2y（x）x（x），它与函数y = x（xR）虽然对应关系相同，但是定义｛x|x≥0｝域不相同，所以这个函数与y = x（xR）不是同一个函数．

学生练习（2）～（4）．

设计意图：进一步强化学生明确函数的三要素，抓住函数的本质．

例2 已知函数（fx）x3（1）求函数的定义域；

1．

x22f3）（2）（，（的值．

f）3fa1）（3）当a＞0时，求（，（．

fa）

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y（，而没有fx）指明它的定义域，那么函数的定义域指能使这个式子有意义的实数的集合．

解：（1）使根式x3有意义的实数x的集合是{x| x≥3 }，使分式数x的集合是．所以，这个函数的定义域是

｛x|x2 ｝．

{x|x≥3 }｛x|x2 ｝｛x|x≥3，且x2｝即[3，．

2）（2，+∞）（2）将3与1有意义的实x22代入解析式，有

311；

3+2f(3)3+3221113333．

（f）+32333883+23fa1）fa）（3）因为a＞0，所以（，（有意义．

（fa）a31；

a211．

a2a12a1（fa1）a13

练1 求下列函数的定义域：

（1）（fx）1fx）1xx31． ；（2）（4x7解：使分式71有意义的实数x的集合是xx．所以，这个函数的定义域是4x74777．

（∞，）（，∞）+xx，即444（2）使根式1x有意义的实数x的集合是{x| x≤1 }，使根式x3有意义的实数x的集合是{x| x≥3 }，所以，这个函数的定义域是

{x| x≤1 }{x|x≥3 }｛x|3≤x≤1｝．

1]． 即[3，

fx）3x32x． 练2 已知函数（（1）求（，（，（的值；

f2）f2）f2）+（f2）（2）求（，（，（的值．

fa）fa）fa）+（fa）f2）3232228； 解：（1）将2代入解析式，有（3f2）3（2）2（2）28； 将2代入解析式，有（（f2）+（f2）28+（28）0．

fa）3a32a3a32a； （2）（3（fa）3（a）2（a）3a32a；

（fa）+（fa）3a32a+（3a32a）0．

练3判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h130t5t2和二次函数y130x5x2；

（x）x0． （2）（fx）1和g｛t|0≤t≤26｝解：（1）h130t5t2（t），它与函数y130x5x2（xR）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以不是同一个函数；

（x）x01（xfx）1（xR）和g｛x|x0｝（2）（）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以不是同一个函数．

（五）课堂小结

教师引导学生回顾本节课的学习内容．

师生活动：教师进行总结．要强调如下几点：

（1）函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准；

（2）要通过具体例子理解函数的对应关系f的特征，特别是对于“A中任意一个数”“ B中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会；

（3）对应关系f的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同，在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验；等等．

设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程，关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解．

（六）布置作业

教材72页——习题3.1

1．复习巩固1，2，4．

2．综合应用10．

六、目标检测设计

1．近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况．

（1）臭氧层空洞的面积是时间的函数，这个函数的对应关系是 ；

（2）上述函数的定义域是 ；值域是 ．

设计意图：考查学生对函数三个要的认识，巩固函数概念．

2．习题3.1第8题．

设计意图：考查学生运用函数概念刻画实际问题的能力．