欧几里得和他的《几何原本》

欧几里得和他的《几何原本》

（—）欧几里得传略

欧几里得（Euclid,拉丁文拼为Euclides或Eucleides,希腊文Εύκλείδηρ，公元前300年前后）是希腊数学家，以其所著的《几何原本》（Elements,

Σηασεια）闻名于世，对于他的生平，现在知道的很少，他生活的年代，是根据下列的记载来确定的，普罗克洛斯（Proclus,

Ππόκλορ,412？——485）是雅典柏拉图园1

晚期的导师，公元450年左右，他给《几何原本》作注，写了一个简明的《几何学发展概要》2（以下简称《概要》），字数虽不多，但已包括从泰勒斯（Thales,Θαληρ，公元前640？年——546？）到欧几里得数百年间主要数学家的事迹，这是几何学史的重要资料。《概要》中指出，欧几里得是托勒密一世3

时代的人，早年学于雅典，深知柏拉图的学说。又说阿基米德（Archimedes, Άπσιμήδηρ，公元前287~212）的书引用过的《几何原本》的命题4，可见他早于阿基米德。另一位学者帕波斯（Pappus, Πάππορ，公元300~350前后）在《数学汇编》中提到阿波罗尼奥斯（Apollonius, Άπολλώςιορ，约公元前225）长期住在亚历山大，和欧几里得的学生在一起，这说明欧几里得在亚历山大教过学。

综上所述，欧几里得应该是公元前300年前后的人。

《概要》还记述了这样一则故事：托勒密王问欧几里得说，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径，欧几里得回答道：“在几何里，没有专为国王铺设的大56道”(There is no royal road to geometry)，这句话成为传诵千古的学习箴言。斯托比亚斯（Stobaeus,约500）记述另一则故事，说一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何学之后将得到些什么，欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利 。”由此可知欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。帕波斯特别欣赏欧几里得的谦逊，他从不掠人之美，也没有声称过哪些是自己的创造。而阿波罗尼奥斯则不然，他过分突出自己，明明是欧几里得研究过的工作，他在《圆锥曲线7论》（Conics）中也没有归功于欧几里得。

除了《几何原本》之外，欧几里得还有不少著作，可惜大都失传，唯一保存下来的纯粹几何著作（希腊文）是《已知数》（The data,Δεδομέςα），体例和《几何原本》前6卷相似，包括94个命题，指出若图形中的某些元素已知，则另外的一些元素也可以确定。《图形的分割》（On divisions of figures, Πεπώιαιπ

έζεως βιβλίοω）现存拉丁文与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形氛围相等的部分或成比例的部分。《光学》（Optica, ΋πηκα）是早期的几何光学著作之一，研究透视问题，指出光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的8结果等。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。

（二）《几何原本》产生的历史背景

欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大历史意义在于它是用公里建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片段的，可以比作木石、砖瓦。只有借助与逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建立巍峨的大厦。《几何原本》（以下简称《原本》）完成了这一艰巨任务，他对整个数学的发展产生了深远的影响。

《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作。从9泰勒斯算起，已有三百多年的历史。泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者。伊奥尼亚地处小亚细亚西岸，他比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在那里，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性和冒险性，这有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争帮助摆脱传统的信念。希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。科学和哲学开始从宗教分离开来。泰勒斯早年是一个商人，通过商业旅游，很快就掌握了古代流传下来的知识，

并加以发扬。他企图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理。对一切科学问题不满足于知其然，而且还要探索所以然的道理。他对数学的最大贡献开始了命题的证明。所谓证明，就是借助一些公理或真实性经确定的命题来论证某一命题的真实性。这为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步，在数学史上是一个不寻常的飞跃。

接着是毕达哥拉斯(Pythagoras, Πςθγόπαρ.公元前580？——500？)学派，活动于意大利半岛南部一带。这个学派企图用数来解释一切，进一步将数学从具体应用中抽象出来，建立自己的理论体系。他们发现了勾股定理、不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容。这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了榜样。

希、波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心。雅典的智人（Sophist,—译诡辩）学派提出几何作图的三大问题：1.三等分任意角；2.倍立方——求作—立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；3.化圆为方——求作—正方形，使其面积等于—已知圆。问题的难处，是作图只许用直尺和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作用，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向演绎体系靠近的又一步。作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯（Ocnopdes, Ούςοπίδηρ，约公元前465年）提出的，后来《原本》用公10设的形式规定下来，于是成为希腊几何的金科玉律。

智人学派的安蒂丰（Anliphon, ΆςηιΦως,公元前430年）为了解决化圆为方问题，提出11颇有价值的“穷竭法”（method of exhaustion）,孕育着近代极限论的思想。后来经过欧多克索斯（Eudoxus, Εύδοξορ，公元前408？——355？）的改进，使其严格化，成为《原本》12中重要的证明方法。

埃利亚（意大利半岛南端）学派的芝诺（Zeno, Ζγπως，约公元前450年）提出四个饽13论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。无穷历来是争论的焦点，在《原本》中，欧几里得实际上是回避了这一矛盾。例如《原本》第Ⅸ卷20命题说：“素数的个数比任意给定的素数都多”，而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多。

原子论学派的德谟克利特（Democritus, Δημόκπιηορ，约公元前410年）用原子法得到的结论：锥体体积是同底等高柱体的1/3，后来也是《原本》中的重要命题。

柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响，欧几里得早年也许就是这个学派的成14员。公元前387年左右，柏拉图在雅典创办哲学学园(Academia),他非常重视数学，但片面强调在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。他在学园门前大书：“不懂几何者免进”（ μηπείρ άγεωμ έηπηηορ ειζίηω μος ηής ζηεγης,Let no one ignorant of

geometry enter my door）15,是尽人皆知的事。

柏拉图的门徒亚里士多德（Aristotel, Άπιοηοηεληρ，公元前384——322）是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件。

这个学派另一个重要人物欧多克索斯创立了比例论。过去毕达哥拉斯学派的比例论只适用于可通约量，欧多克斯打破了这个限制，用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量。《原本》第V卷比例论大部分采自欧多克索斯的工作。

公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑学理论渐臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋。这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了。

建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现在的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造。公里的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用特别是命题的严格证明都需要有高度的智16慧并要付出巨大的劳动。从事这宏伟工作的并不是个别的学者，在欧几里得之前有好几个数学家做过这种综合整理工作。其中有希波克拉底（Hippocrates, Ίπποκπαηηρ，约公元前460），17勒俄(Leo或Leon，公元前4世纪)，修迪奥斯（Theudius,公元前4世纪）等。但经得起历

史考验的，只有欧几里得的《原本》一种，其余的同类著作均已散失。在漫长的岁月里，欧几里得《原本》历尽沧桑而没有被淘汰，表明它有顽强的生命力。它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路。

（三）版本和流传

欧几里得本人的《原本》手稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的。古希腊的海伦（Heron, Ήπως，约62），波菲里奥斯（Porphyrius, ΠοπΦςπιορ，232？—304？），帕波斯（Pappus, Πάππορ，约300），辛普休斯（Simplicius,6世纪前半叶）等人注释过。最重要的是赛翁（Theon, Θέως，约390）的修订本，对原文做了校勘和补充，这个本子是后来所有流行的希腊文本及译本的基础。赛翁是亚历山大人，那时离开欧几里得已有700年，赛翁究竟做了多少补充和修改，在19世纪之前是不清楚的。19世纪初，拿破仑称雄欧洲，1808年他在梵蒂冈图书馆找到一些希腊文的手稿，带回巴黎去。其中有两本欧几里得著作的手抄本，以后为佩拉尔（d,1760～1822）所得。1814—1818年，佩拉尔将这两本书用希腊、拉丁、法三种文字出版，一本是《原本》。另一本是《已知数》，通常叫做梵蒂冈本。《原本》的梵蒂冈本和过去的版本不同，过去的版本都声称来自赛翁的版本，而且包含卷VI第33命题。赛翁在注释托勒密（Ptolemy,约150）的书时自称他在注《原本》时曾扩充了这个命题并加以证明。而梵蒂冈没有上述这些内容，可见是赛翁之前的本子，当更接近欧几里得的原著。

9世纪以后，大量的希腊著作被译成阿拉伯文。《原本》的阿拉伯文译本主要有三种：第一种译者是赫贾季（aL—Ha—jjai ibn Yusuf,9世纪）；第二种是伊沙格（Ishaq,ibn

Hunain,?—910），这一种后来为塔比﹒伊本﹒库拉（Thabit ibn Qurra,826?—901）所修订，一般称为伊沙格—塔比本；还有一种是纳西尔﹒丁（Nasir ad—Din al-Tusi,1201—1274）译的。

现存的是早拉丁文本是1120年左右阿德拉德（Adelard of Bath）从阿拉伯文译过来的。后来杰拉德（Gerard of Cremona,1114—1187）又从伊沙格—塔比本译出。1255年左右，坎帕努斯（Campanus of Novara,?—1296，意大利诺瓦拉人）参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文文本重新将《原本》译成拉丁文。两百多年之后（1482年）以印刷本的形式在威尼斯出版，这是西方最早印刷的数学书，在这之后到19世纪末，《原本》的印刷本用各种文字出了一千版以上。从来没有一本科学书籍像《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物。它流传之广，影响之大，仅次于基督教的《圣经》。

15世纪以后学者们的注意力转向希腊文本，赞贝蒂（Bartolomeo Zamberti,约出生于1473年）第一次直接从赛翁的希腊文译成拉丁文，1505年在威尼斯出版。

目前权威的版本是海伯格（John Ludwig Heiberg,1854—1928，丹麦人）与门格（）校订注释的Euclidis opera omnia(《欧几里得全集》，1883—1916年出版)，是希腊文与拉丁文对照本。最早的完整英译本（1570）的译者是比林斯利（Henry Billingsley,？—1606）。而最流行的标准英译本是希思（Thomas Little Heath,1861—1940，英国人）译注的The thireen books of Euclid’s Elements(《欧几里得几何原本13卷》，1908年初版，1925年再版，1956年新版)，这书译自上述的海伯格本，附有一篇长达150多页的导言，实际是对欧几里得研究的历史总结，又对每章节都做了详细的注解，其他文字的版本，包括意、德、18法、荷、英、西、俄、瑞典、丹麦以及现代希腊等语种，此书导言均有论例。

中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁末）利玛窦（Matteo Ricci,1552—1610）和徐光启（1562—1633）合译出版的。所根据的版本是德国人克拉维乌斯（s,1537—1612）校订增补的拉丁文本Euclidis Elementorum Libri

XV(《欧几里得原本15卷》，157419年初版，以后再版多次)，定名为《几何原本》，几何的名称就是这样来的。

有的学者认为元代（13世纪）《原本》已经输入中国，根据是元代王士点、商企翁《元

秘书监志》卷7“回回书籍”条有《兀忽烈四擘算术段数十五部》的书目，其中兀忽烈的应2021、22是Euclid的音译。但也有可能仍是阿拉伯文本，只译出书名，以后似更可信。

克拉维乌斯本是增补本，和原著有很大的出入。欧几里得原著只有13卷，14、15卷是后人添加上去的。14卷一般认为出自许普西克勒斯（Hypsicles, γθικληρ，约公元前180年）23之手，而15卷是6世纪初大马士革乌斯（Damascius, Δαμάζκιορ，叙利亚人）所著。

利玛窦、徐光启共同译完前6卷之后，徐光启说：“意方锐，欲竟之”，利玛窦不同意，24说：“止，请先传此，使同志者习之，果以为用也，而后徐计其余”.三年之后，利玛窦去世，留下校订的手稿。徐光启据此将前6卷旧稿再一次加以修改，重新刊刻传世。他对未能完成全部的翻译而深表遗憾，在《题<几何原本>在校本》中感叹道：“续成大业，未知何日，书以俟焉”。

整整250年之后，到1857年，后9卷才由英国人伟烈亚力（Alexander Wylie,1815—1887）和李善兰（1811—1882）共同译出。但所根据的底本已不是克拉维乌斯的拉丁文本而是另一种英文版本。伟烈亚力在序中只提到底本是希腊文译成英文的本子，按照英译本的流25传情况，可能性最大的是巴罗（lsaac Barrow,1630—1677，牛顿的老师）的15卷英译本，他在1655年将希腊文本译成拉丁文，1660年有译成英文。

徐、利译前6卷（通称“明本”）时，在“原本”之前加上“几何”二字，称译本为《几何原本》。李、伟的后9卷（通称“清本”，两者合称“明清本”）沿用这个名称一直到现在。这“几何”二字是怎么来的？目前有三种说法：1.几何是geometria字头geo的音译。此说颇为流行，源出于艾约瑟（Josph Edkins,1825—1905）的猜想，记在日本中村正直（183226—1891）的书（1873）中.那时离《原本》的最初翻译已二百多年，虽属猜想，倒不见得27全无道理。2.在汉语里，几何原是多少、若干的意思，而《原本》实际包括了当时的全部数学，故几何是mathematica(数学)或magnitude(大小)的意译。3.《原本》前6卷讲几何，7—10卷是数论，但全用几何方式来叙述，其余各卷也讲几何，所以基本上是一部几何书。内容和中国传统的算术很不相同。为了区别起见，应创新词来表达。几何二字既和geometria28的字头音近，又反映了数量大小的关系，采用这两个字可以音、意兼顾。这也许更接近徐、29利二氏的原意。

（四）内容简介

第Ⅰ卷首先给出23个定义。如“点是没有部分的”，“线只有长度而没有宽度”等等。还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义。前面的7个定义实际上只是几何形象的直观描述，后面的推理完全没有用到。接着是5个公设，前4个是显而易见的，第5个很复杂：“若一直线与两直线相交，所构成同旁同角小于二直角，那么，把这两直线延长，一定在那两内角的一侧相交。”这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设。大家很快就认为，欧几里得把这一命题列为公设，不是因为它不能证明，而是找不到证明。这实在是《原本》这部千古不朽巨著的白璧微瑕。从《原本》的产生到19世纪初，许多学者投入无穷无尽的精力，力图洗刷这唯一的“污点”，最后导致非欧几何的建立。

公设之后是五个公理，近代数学不分公设与共理，凡是基本假定都叫公理。《原本》后面各卷不再列出其他公理。这一卷在公理之后给出48个命题。命题4是“两三角形两边与夹角对应相等，则这两三角形相等”。这里相等指的是全等，即两图形可以重合。但在35命题以后，相等又有另外的含义，它可以指面积相等。不过欧几里得从来没有把面积看作一个数来加以运算，面积相等是指“拼补相等”。

中世纪时，欧洲数学水平很低，学生初读《原本》，学到第5命题“等腰三角形底角必相等”时就觉得困难。因此这个命题被谑称为“驴桥”（pons asinorum，英文asses' bridge，意思是“笨蛋的难关”）.第47命题就是有名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形（以

斜边为边的正方形）等于直角边上两个正方形。”

第Ⅱ卷包括14个命题，用几何的语言叙述代数的恒等式。如命题4“将一线段任意分为两部分，在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上这两个部分线段为边的矩形的二倍”就相当于aba22abb2.命题11是分线段为中末比，后来被称2为黄金分割。第12、13命题相当于余弦定理。

第Ⅲ卷有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形。

第Ⅳ卷有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，圆内接正多边形（5边、10边、15边）的作图。

第Ⅴ卷是比例论。后世评论家认为这是《原本》的最高成就。毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量。如果a,b两个量可公度，那么a:b是一个数（有理数）。但若a,b不可通约，希腊人包括欧几里得就根本不承认a:b是一个数。为了摆脱这一困境，30欧多克索斯用公理法重新建立了比例论，使它适用于一切可公度与不可通约的量。这一卷主要取材于欧多克索斯的工作，给出25个命题。

第Ⅵ卷把Ⅴ卷已建立的理论用到平面图上去，共33个命题。

第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷是数论，分别有39、27、36个命题，也完全用几何的方式叙述，第Ⅶ卷第1命题是欧几里得辗转运算法的出处。第Ⅸ卷第20命题是数论中的欧几里得定理：素数的个数无穷多。

第Ⅹ卷是篇幅最大的一卷，包括115个命题，占全书1/4，和其他各卷不很相称。主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），但只涉及相当于ab之类的无理量。第1个命题“给定大小两个量，从大量中减去它的一大半，再从剩下的量中减去它的一大半，这样重复这一手续，可使所余的量小于所给的小量”相当重要，它是极限论的雏形，也是“穷竭法”的理论基础，和后面各卷有密切关系。

第Ⅺ卷讨论空间的直线与平面的关系。第Ⅻ卷利用穷竭法证明“圆面积的比等于直径平方的比”。用现在的符号来表示就是A∝d或A=kd(A表圆面积，d表直径)，但欧几里得却没有说这比例常数是多少，此外还证明“球体积的比等于直径立方的比”、“锥体体积等于同底等高的柱体的1/3”等。

第XIII卷着重研究5种正多面体。

公理化结构是近代数学的主要特征。而《原本》是完成公理化结构的最早典范，它产生于两千多年前，这是难能可贵的。不过用现代的标准去衡量，也有不少缺点。首先，一个公理系统都有若干原始概念，或称不定义概念，作为其他概念定义的基础。点、线、面就属于这一类。而在《原本》中一一给出定义，这些定义本身就是含混不清的。例如定义4：“直线是这样的线，在它上面的点都是高低相同地放置着的。”31

就很费解，而且后面的证明完全没有用到。其次是公理系统不完备，没有运动、顺序、连续性等公理，所以许多证明不得不借助于直观。此外，有的公理不是独立的，即可以由别的公理推出（如“直角必相等”）。这些缺陷直到1899年希尔伯特（David Hilbert,1862—1943）的《几何基础》（Grundlagender

Geometrie,傅种孙、韩桂丛合译，1924年；江泽涵等译，1958年）出版才得到了补救。尽管如此，毕竟瑕不掩瑜，《原本》开创了数学公理化的正确道路，超过了历史上任何其他著作。

22（五）《原本》对我国数学的影响

中国传统数学的最大特点是以算为中心。虽然也有逻辑证明，但是却没有形成一个严密的演绎体系，这也许是最大的弱点32。明末《原本》前6卷的传入，应该是切中时弊，正好补救我们的不足。可是实际情况并不如想象那么好。

徐光启本人对《原本》十分推崇，也有深刻的理解。他认为学习此书可使人“心思细密”，在《几何原本杂议》中说：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中材而心思缜密，即中材有用；能通几何之学，缜密甚矣，故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也，”在他的大力倡导下，确实也发挥了一定的作用33，可惜言者谆谆，听者藐藐，要在群众中推广，仍然有很大的困难。他在《杂议》中继续写道：“而习者盖寡。窃意百年之后，必人人习之。”他只好将希望寄托于未来。

明末我国正处在数学发展的低潮，号称数学专家的唐顺之、顾应祥对传统的代数（天元术）尚且一窃不通，其他可想而知。《原本》虽已译出，学术界是否看到它的优点，大有疑问。事实上，明清两代几乎没有人对《原本》公理化方法及逻辑演绎体系做过专门的研究34。1665年，发生了“杨光先事件”，西方输入的学术以及传播这些学术的人受到了残酷的镇压。康熙以后，清统治者实行闭关锁国、盲目排外的政策35。知识分子丧失了思想、言论自由，为了逃避现实，转向古籍的整理的研究，以后形成以考据为中心的乾嘉学派。徐光启之后，数学界的代表人物是梅文鼎（1633—1721），他会通中西数学，著书80多种，对发扬中国传统数学及传播西方数学均有贡献，但却没有认识到公理方法的重要性。也许是对“杨光先事件”还心有余悸，不敢公开承认西方的优点。他认为西方的几何学，无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西。他在《几何通解》中写道：“几何不言勾股，然其理并勾股也。故其最难通者，以勾股释之则明„„信古《九章》之义，包举无方”36。又在《勾股举偶》中说：“勾股之用，于是乎神。言测量西术详矣，究不外勾股以立算。故三角即勾股之变通，八线乃勾股之立成也37。”类似的说法还有多处。他见到的只是几何的一些命题，至于真正的精髓——公理体系及逻辑思想方法，竟熟视无睹。梅文鼎这种“古已有之”的观点，也是妄自尊大的保守思想的反应，它是有代表性的，而且相当顽固。这对于吸收外来文化的精华是非常不利的。由于梅文鼎当时的崇高威望，确实产生了一些消极的影响。

我国60年代初期，曾掀起一阵“打倒柯（指柯西）家电”、“打倒欧家店”的浪潮。实践证明这是错误的，它只能削弱基础理论的学习，结果是欲速则不达，我们应该记取这个教训，将几何的学习和逻辑思维的训练放到应有地位上。

38 梁宗巨

1986.12.6

辽宁师大数学史研究室

注释：

1

2

3

4

5

6

7

柏拉图（Plato，公元前427~437）在公元前187年建立的著名学习场所。

参见⑴pie,Dictionary of scientific 4(1971)pp.414~459.⑵

Waerden,Erwachende Wisscnschaft(1996)p.148.

PtolemyI,托勒密王国的创建者，公元前323~285在位，建都在亚历山大。

阿基米德《论球与圆柱》（On the sphere and cylinder）I 命题6明确指出引用了《几何原本》XII的证明。见,The words of Archimedes with the method of Archimedes(1912)p.9.汉译本，1998.

原文见,On mathematics and mathematicians(1914)p.152

另一种说法认为这是门奈赫莫斯（Menaechmus）和亚历山大王的故事。

，Amanual of Greek mathematics(1931)p.203.

这些著作的内容，参见，A history of Greek mathematics(1921).

欧几里得以前希腊数学的各个学派，在下列书中做了较好的描述：George Johnston Allman(1824~1904)，8

9

Greek geometry from Thales to Euclid(1889).

10 《原本》卷I给出5个公设，头3条就是对作图的规定：

⑴两点间可连一直线；⑵线段可任意延长；⑶以任意点为心，任意距离可作一圆。根据这几条公设，作图就只能用直尺圆规。

11

，History of mathematics，vol.I(1923)p.84.

12 详细分析见s，The historical development of the calculus. 另见 Ian Mueller，philosophy of

mathematics and deductive structure in Euclid’s Elements(1981)p.230

13 参见梁宗巨《世界数学史简编》（1980）pp.103~105。

14 在雅典近郊，原是运动场，后改为园林，因希腊英雄阿卡德莫斯（Academus）而得名，后世“学院”（英acdemy，俄академия）一词由此而来。

15 见注5p.292.

16 欧几里得以前希腊几何学家的理论建设参见Arpad， beginnings of Greek mathematics(1978).

又，The ancient tradition of geometric problems(1986).

17

，The thirteen books of Euclid’s Elements vol.I(1908)p.116.

18 近年来的翻译情况参见莫德《〈几何原本〉在国内外流传概况》（全国《几何原本》翻译与研究学术会议论文.1986）。

19 翻译的详细经过见梅荣照、王渝生、刘钝《欧几里得〈原本〉的传入和对我国明清数学的影响》，载席泽宗、吴德铎主编《徐光启研究论文集》（1986）p.49~63.

20 严敦杰《欧几里得几何原本元代输入中国说》，载《东方杂志》39卷（1943）13号。又李俨《中国算学史》（1955）p.139.

21 李约瑟（Joseph Necdham）《中国科学技术史》（Science﹠civilisation in China，1959）汉译本第三卷（1978）p.235.

22 马监《元秘书监志“回回书籍”释义》，载《光明日报》（1955年7月7日）。

23

，History of mathematics，vol.I(1923)pp.119，182.

24 利玛窦《译〈几何原本〉引》。

25 钱宝琮《中国数学史》（1964）p.324.

26 林鹤一《和算研究集》下卷（1937），《几何卜代数卜，语源二就广》p.403.

27 这种用法很早就有，如《诗经·小雅·巧言》（周初到春秋中叶的书）里有“尔居徒几何？”；《左传·僖公二十七年》（公元前5世纪）有“所获几何？”的话。

28 过去很讲究音意兼顾的译法，如club译“俱乐部”，音乐中七个唱名do、re、mi、fa、sol、la、si译成“独揽梅花扫落雪”。数学中topology译“拓扑”早已通行，而fuzzy译“乏晰”本甚佳，惜未通行。

29 梁宗巨《世界数学史简编》（1980）p.91.

30 有的学者认为欧多克索斯的比例论已含有近代无理数论的“戴德金（nd）分划”的思想萌芽。见в.и.Кοстин《几何学基础》（Оснοвания Геοметрин，1948），苏步青译本（1954）p.20.

31 英译“A straight line is a line which lies evenly with the points on itself”.evenly with可译作与„„一般齐，例如The snow is even with the window.积雪与窗平齐。

32 梁宗巨《我国数学发展的特点》，载《数学研究与评论》第6卷（1986.7）3期pp.149—154.

33 何艾生、梁成瑞《〈几何原本〉及其在中国的传播》，载《中国科技史料》第5卷（1984年）3期.

34 见注19

35 参见梁宗巨《从数学史看中国近代科学落后的原因》，载《大自然探索》（1981.1）

36 梅文鼎《梅氏丛书辑要》卷18（1761）.

37 梅文鼎《梅氏丛书辑要》卷17（1761）.

38 梁宗巨，历任辽宁师范学院副教授、辽宁师范大学教授、全国数学史学会第二届副理事长。全国政协委员。长期从事数学史研究。蓍有《世界数学史简编》，主编《数学家传略辞典》。本文为他为《欧几里得〈几何原本〉》（兰纪正、朱恩宽 译，梁宗巨 校对， 陕西科学技术出版社，1990.1）一书所作的导言。 ——编者注